中考数学旋转问题.docx

1、中考数学旋转问题中考数学:聚焦“旋转问题”旋转是新课标教材新增的内容，它是图形变换的重要手段之一,因此备受中考命题者的青睐。图形的旋转问题已成为中考试题的一道美丽风景，很值得同学们关注、欣赏。一.旋转角例1如图，在等腰RtB中，P是斜边C的中点，以P为顶点的直角的两边分别与边AB、AC交于点、F，连接F。当EF绕顶点P旋转时(点E不与A、重合）,PE也始终是等腰直角三角形,请你说明理由。 图1 二旋转直线（线段）2如图3,平行四边形ACD中，ABC,AB=1,，对角线AC、BD交于O点,将直线AC绕点O顺时针旋转，分别交B、AD于点E、,（)证明：当旋转角为9时，四边形ABE是平行四边形；（2

2、）试说明在旋转过程中,线段与EC总保持相等;(3）在旋转过程中,四边形ED可能是菱形吗？如果不能，请说明理由;如果能,说明理由并求出此时AC绕点顺时针旋转的度数。 图3图4.如图4，直角梯形ACD中,AD/BC,ABC，D=3,B=5,将腰DC绕点D逆时针方向旋转90至DE,连接AE,则ADE的面积是(). 1B. 2. D 4三旋转三角（板）形4.如图5，将A绕点O逆时针旋转90，得到。若点A的坐标为（a,b),则点的坐标为_。 图5 5已知OB=90，在O的平分线M上有一点C,将一个三角板的直角顶点与重合，它的两条直角边分别与OA、O(或它们的反向延长线）相交于点、E。当三角板绕点C旋转到

3、C与A垂直时如图（1),易证：OD+OE=。当三角板绕点C旋转到C与OA不垂直时，在图6（2）,图6(3）这两种情况下,上述结论是否还成立?若成立,请给予证明;若不成立，线段OD、E、OC之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明。图四.旋转矩形6.如图7,在平面直角坐标系xO中，把矩形COAB绕点C顺时针旋转角,得到矩形FED，设FC与A交于点，且A(,4）、C（，）(如图7)。 图7 图8（)当时,BD的形状是_；（2）当AH=HC时，求直线FC的解析式;（3）当时（如图),请探究：经过点D,且以点为顶点的抛物线，是否经过矩形CFD的对称中心,交说明理由。五旋转正方形7.如图9,AB

4、C是等腰直角三角形,其中CA=C,四边形CDE是正方形,连接AF、BD。图9(1)观察图形，猜想A与BD之间有怎样的关系,并证明你的猜想；（2)若将正方形CDEF绕点C按顺时针方向旋转,使正方形CDEF的一边落在ABC的内部，请你画出一个变换后的图形,并对照已知图形标记字母，题（)中猜想的结论是否仍然成立？若成立,直接写出结论,不必证明;若不成立,请说明理由。若D边在ABC的内部时,如图1；或若CF边在AB的内部时，如图11。六.旋转半圆8.如图12,半圆M的直径AB为20m，现将半圆绕着点顺时针旋转80。（1)请你画出旋转后半圆的图形；(2）求出在整个旋转过程中,半圆M所扫过区域的面积（结果

5、精确到）。图1七.旋转图案9如图1，将正方形图案绕中心旋转180后,得到的图案是（）图4八.旋转抛物线10.把二次函数的图象抛物线绕顶点P旋转180，求旋转后的二次函数解析式。中考数学:聚焦“旋转问题”答案与解析一.旋转角1.如图1,在等腰RAC中,P是斜边B的中点,以P为顶点的直角的两边分别与边B、C交于点E、F，连接EF。当E绕顶点P旋转时（点E不与A、B重合)，P也始终是等腰直角三角形，请你说明理由。图1解析:解答此题必须变“动”为“静”,如图,连接A,易知PC,又AAC,=C=5由EP=P=90,得2=3而PAPF(A）PE=P故PEF始终是等腰直角三角形图二.旋转直线(线段）2.如图

6、3，平行四边形ACD中,BC，AB=1，,对角线AC、B交于点，将直线C绕点O顺时针旋转,分别交C、AD于点E、，（1)证明：当旋转角为0时，四边形EF是平行四边形;(2)试说明在旋转过程中，线段A与EC总保持相等;（3)在旋转过程中，四边形BDF可能是菱形吗?如果不能，请说明理由;如果能，说明理由并求出此时AC绕点顺时针旋转的度数。证明:(1）当AOF=0时，AB/F，又AF/BE,四边形AEF为平行四边形（）相等。四边形ABC为平行四边形O=C,AO=ECO,AOFOE，AOFCE（ASA）AF=EC(3）四边形BEF可以是菱形,理由:如图,连接BF、E,由(2)知AOCOE,得E=OF，

7、EF与BD互相平分,当BD时,四边形BED为菱形，在RtABC中，O=1=AB,又ABAC,AOB=4,O=45,故AC绕点O顺时针旋转5时,四边形BDF为菱形图3.如图4，直角梯形D中，AD/BC，ABB,AD=3,BC=5,将腰DC绕点D逆时针方向旋转9至DE,连接E，则AE的面积是（)A.1B. C. 3D 图解析：此题关键是求出AD的高,于是作DHB于H，EFAD的延长线于F，则CH=。由旋转的性质易证DHDFE。则EFCH=2，故选C。三.旋转三角(板)形如图5,将AO绕点逆时针旋转90，得到。若点A的坐标为（a，b）,则点的坐标为_。图5解析:要求的坐标，就是求、。由旋转知识得，,

8、。则5.已知AOB=90，在A的平分线O上有一点C,将一个三角板的直角顶点与C重合，它的两条直角边分别与OA、OB(或它们的反向延长线）相交于点、。当三角板绕点C旋转到CD与OA垂直时如图6(），易证:OD+OE=。当三角板绕点C旋转到CD与OA不垂直时，在图6（2),图6（3）这两种情况下,上述结论是否还成立?若成立，请给予证明；若不成立,线段D、O、C之间又有怎样的数量关系?请写出你的猜想，不需证明。图6析证：本题是将三角板进行旋转,由特殊到一般,结论由不变到变,先提出结论，再由学生操作实验猜出结论,然后加以证明,图（2）结论：，过分别作、OB的垂线,垂足分别为P、Q，如图6（），易证CD

9、Q,P=EQ，P=OD，DQOE，又OP+O=，即，图(3）结论:四.旋转矩形6.如图，在平面直角坐标系x中,把矩形COAB绕点C顺时针旋转角，得到矩形E,设C与A交于点H,且A（0,4)、(6,）（如图)。图7(1)当时,CBD的形状是_；（2)当AC时,求直线FC的解析式;（3）当时(如图8),请探究：经过点D，且以点为顶点的抛物线,是否经过矩形CFED的对称中心M,交说明理由。图8解析：这是一道旋转问题的综合题,它把图形与旋转,图形与坐标,坐标与函数有机地结合起来。（1）利用旋转的性质得BC=D,易知BC=6，故CBD为正三角形。(2)设AH=x，则，由题意得在BHC中,，即，解得设,把

10、、C(6,0)代入，得解得(）抛物线顶点为(6，4）,设,把点（0,0）代入得，依题可得，点M坐标为(8，3)。把代入，得y=3。故此抛物线经过矩形FD的对称中心M。五.旋转正方形7.如图9,ABC是等腰直角三角形,其中CA=C,四边形DF是正方形，连接AF、BD。图9()观察图形,猜想AF与D之间有怎样的关系，并证明你的猜想;(2)若将正方形CDE绕点C按顺时针方向旋转，使正方形CDEF的一边落在AB的内部,请你画出一个变换后的图形,并对照已知图形标记字母，题(）中猜想的结论是否仍然成立?若成立,直接写出结论,不必证明；若不成立，请说明理由。析证：本题是一道实验推理性题目,主要考查同学们的观

11、察、动手操作、逻辑推理和探究等能力。()猜想：AF=BD且AD。理由：设AF与DC交点为G。BCD90+ACD,AC90+CD，BCDACF，而FC=D,AC=BCCFBD(AS)=B,AFC=BD而AFCFG，FDA，BDC+GA90AFBD。故AF=BD且AFBD。（2)结论：D且ABD。若D边在AC的内部时，如图1;或若CF边在ABC的内部时，如图1。图1图1六.旋转半圆8.如图12,半圆M的直径AB为20cm，现将半圆M绕着点A顺时针旋转80。（1)请你画出旋转后半圆M的图形;（）求出在整个旋转过程中,半圆M所扫过区域的面积(结果精确到)。图12解析：半圆所扫过的区域是由半圆M和以A点为圆心，AB长为半径的半圆两部分组成的，找出这样的区域是解题的关键。（1）画图如图13,（2）半圆M所扫过的面积图1七旋转图案9如图1，将正方形图案绕中心旋转180后,得到的图案是(）解析：将图形旋转180后的图形与原图形关于旋转中心对称,图案中的两个三角形恰好是中心对称图形,圆图案绕中心O旋转80后,在它的中心对称位置,故选D。图14八旋转抛物线1.把二次函数的图象抛物线绕顶点P旋转180,求旋转后的二次函数解析式。解析：抛物线绕顶点旋转180，实际上就是顶点不变开口反向。，所以旋转后的二次函数解析式是：