三角形证明Word下载.docx

三角形证明Word下载.docx

《三角形证明Word下载.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《三角形证明Word下载.docx（21页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

3，那么∠A=　　度．

20．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°

，ED是AC的垂直平分线，交AC于点D，交BC于点E．已知∠BAE=16°

，则∠C的度数为　　度．

四、角平分线

21．如图，已知：

BD是∠ABC的平分线，DE⊥BC于E，S△ABC=36cm2；

，AB=12cm，BC=18cm，则DE的长为　　cm．

22．如图，在△ABC中，∠ACB=90°

，AD是△ABC的角平分线，BC=10cm，BD：

DC=3：

2，则点D到AB的距离为　　．

23．如图，在△ABC中，∠A=70°

，点O到AB、BC、AC的距离相等，连接BO、CO，则∠BOC=　　°

24．如图，直线a、b、c表示三条公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有　　处．

25．如图，OP平分∠AOB，∠AOP=15°

，PC∥OB，PD⊥OB于点D，PD=4，则PC等于　　．

五、综合题

26．如图，在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线MN交AC于点D，交AB于点E．

（1）求证：

△ABD是等腰三角形；

（2）若∠A=40°

，求∠DBC的度数；

（3）若AE=6，△CBD的周长为20，求△ABC的周长．

27．在△ABC中，AB=AC．

（1）如图1，如果∠BAD=30°

，AD是BC上的高，AD=AE，则∠EDC=　　

（2）如图2，如果∠BAD=40°

（3）思考：

通过以上两题，你发现∠BAD与∠EDC之间有什么关系？

请用式子表示：

（4）如图3，如果AD不是BC上的高，AD=AE，是否仍有上述关系？

如有，请你写出来，并说明理由．

2018年03月09日150****1260的初中数学组卷

参考答案与试题解析

一．填空题（共25小题）

1．已知等腰三角形的两边长分别为5cm、2cm，则该等腰三角形的周长是　12cm　．

【解答】解：

等腰三角形的两边长分别为2cm和5cm，

当腰长是5cm时，则三角形的三边是5cm，5cm，2cm，5cm+2cm＞5cm，满足三角形的三边关系，三角形的周长是12cm；

当腰长是2cm时，三角形的三边是2cm，2cm，5cm，2cm+2cm＜5cm，不满足三角形的三边关系．

故答案为：

12cm．

2．若等腰三角形的周长为26cm，一边为11cm，则腰长为　7.5cm或11cm　．

①当11cm为腰长时，则腰长为11cm，底边=26﹣11﹣11=4cm，因为11+4＞11，所以能构成三角形；

②当11cm为底边时，则腰长=（26﹣11）÷

2=7.5cm，因为7.5+7.5＞11，所以能构成三角形．

7.5cm或11cm．

，求此等腰三角形的顶角为　50°

或130°

　．

当为锐角时，如图

∵∠ADE=40°

，∠AED=90°

，

∴∠A=50°

当为钝角时，如图

∠ADE=40°

，∠DAE=50°

∴顶角∠BAC=180°

﹣50°

=130°

50°

，则它的顶角是　40°

或70°

①70°

是底角，则顶角为：

180°

﹣70°

×

2=40°

；

②70°

为顶角；

综上所述，顶角的度数为40°

故答案为40°

，则顶角度数为　80°

或20°

当100°

的角是顶角的外角时，顶角的度数为180°

﹣100°

=80°

的角是底角的外角时，底角的度数为180°

，所以顶角的度数为180°

﹣2×

80°

=20°

故顶角的度数为80°

，点D、E分别在AC和AB上，且AE=ED=DB=BC，则∠A的度数为　15　°

设∠A=x°

∵AE=ED，

∴∠ADE=∠A=x°

∴∠BED=∠A+∠ADE=2x°

∵ED=DB，

∴∠ABD=∠BED=2x°

∴∠BDC=∠A+∠ABD=3x°

∵DB=BC，

∴∠C=∠BDC=3x°

∵∠ABC+∠A+∠C=180°

，∠ABC=120°

∴120+x+3x=180，

解得：

x=15，

∴∠A=15°

，∠C=∠B，AB=2cm，点P从点B开始以1cm/s的速度向点C移动，当△ABP要以AB为腰的等腰三角形时，则运动的时间为　2s或6s　．

当AB=AP时，点P与点C重合，如图1所示，

过点A作AD⊥BC于点D，

∵∠B=30°

，AB=2cm，

∴BD=AB•cos30°

=2×

=3cm，

∴BC=6cm，即运动的时间6s；

当AB=BP时，

∵AB=2cm，

∴BP=2cm，

∴运动的时间2s．

2s或6s．

在△ABC中，AB=AC，BC=BD，AD=DE=EB，则∠A=　45°

∵DE=EB

∴设∠BDE=∠ABD=x，

∴∠AED=∠A=2x，

∴∠BDC=∠C=∠ABC=3x，

在△ABC中，3x+3x+2x=180°

解得x=22.5°

∴∠A=2x=22.5°

2=45°

45°

3的正方形网格中，点A、B分别在格点上，在图中确定格点C，则以A、B、C为顶点的等腰三角形有　3　个．

如图，

则符合要求的有：

C1，C2，C3共3个点；

3．

，腰长为8cm，则腰上的高为　4cm　．

如图，过C作CD⊥AB，交BA延长线于D，

∵∠B=15°

，AB=AC，

∴∠DAC=30°

∵CD为AB上的高，AC=8cm，

∴CD=AC=4cm．

4cm．

，过点A作AD⊥AC交BC于点D，则AD=　4　cm．

∵AB=AC，∠BAC=120°

∴∠B=∠C=30°

∵AD⊥AC，

∴∠CAD=90°

，AD=BD，

∴DA=DC，

∴DC+2DC=12，

解得AD=CD=4，

故答案为4．

，AB的垂直平分线交AB于D，交AC于E，且EC=5，则AE的长为　10　．

连接BE，

∵DE是AB的垂直平分线，

∴AE=BE，

∴∠A=∠ABE=30°

∵∠C=90°

∴∠ABC=60°

∴BE是∠ABC的角平线，

∴DE=CE=5，

在△ADE中，∠ADE=90°

∴AE=2DE=10．

10．

13．如图，AB=12，CA⊥AB于A，DB⊥AB于B，且AC=4m，P点从B向A运动，每分钟走1m，Q点从B向D运动，每分钟走2m，P、Q两点同时出发，运动　4　分钟后△CAP与△PQB全等．

∵CA⊥AB于A，DB⊥AB于B，

∴∠A=∠B=90°

设运动x分钟后△CAP与△PQB全等；

则BP=xm，BQ=2xm，则AP=（12﹣x）m，

分两种情况：

①若BP=AC，则x=4，

AP=12﹣4=8，BQ=8，AP=BQ，

∴△CAP≌△PBQ；

②若BP=AP，则12﹣x=x，

x=6，BQ=12≠AC，

此时△CAP与△PQB不全等；

综上所述：

运动4分钟后△CAP与△PQB全等；

4．

，腰长为10，那么腰上的高长为　5或5　．

（1）等腰三角形ABC的顶角是30°

，BD⊥AC于D，如图所示：

在Rt△ABD中，∵∠A=30°

，AB=AC=10，

∴BD=5；

（2）等腰三角形ABC的底角，是30°

，BD⊥AC的反向延长线于D，

在Rt△ABD中，∵AB=AC=10，

∴∠C=∠ABC=30°

∴∠BAD=60°

∴∠ABD=30°

∴AD=5．

由勾股定理得BD==5．

综上所述，这个等腰三角形腰上的高是5或5．

5或5．

，EF、MN分别是AB、AC的垂直平分线，点E、M在BC上，则∠EAN=　32°

∵△ABC中，∠BAC=106°

∴∠B+∠C=180°

﹣∠BAC=180°

﹣106°

=74°

∵EF、MN分别是AB、AC的中垂线，

∴∠B=∠BAE，∠C=∠CAN，

即∠B+∠C=∠BAE+∠CAN=74°

∴∠EAN=∠BAC﹣（∠BAE+∠CAN）=106°

﹣74°

=32°

故答案为32°

16．如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE=3cm，△ABD的周长为13cm，则△ABC的周长是　19　cm．

∵DE是AC的垂直平分线，

∴AD=CD，AC=2AE=6cm，

又∵△ABD的周长=AB+BD+AD=13cm，

∴AB+BD+CD=13cm，

即AB+BC=13cm，

∴△ABC的周长=AB+BC+AC=13+6=19cm．

故答案为19．

17．在△ABC中，BC=9，AB的垂直平分线交BC与点M，AC的垂直平分线交BC于点N，则△AMN的周长=　9　．

【解答】

解：

∵直线MP为线段AB的垂直平分线（已知），

∴MA=MB（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等），

又直线NQ为线段AC的垂直平分线（已知），

∴NA=NC（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等），

∴△AMN的周长l=AM+MN+AN=BM+MN+NC=BC（等量代换），

又BC=9，

则△AMN的周长为9．

9

，则∠ACF=　48°

∵BD平分∠ABC，∠ABD=24°

∴∠ABC=2∠ABD=48°

，∠DBC=∠ABD=24°

∵∠A=60°

∴∠ACB=180°

﹣∠A﹣∠ABC=180°

﹣60°

﹣48°

=72°

∵FE是BC的中垂线，

∴FB=FC，

∴∠FCB=∠DBC=24°

∴∠ACF=∠ACB﹣∠FCB=72°

﹣24°

=48°

48°

3，那么∠A=　27　度．

∵AB的垂直平分线DE，

∴AD=BD，

∴∠A=∠ABD，

设∠CBD=4x，∠ABD=3x，则∠A=3x，

∴∠A+∠ABC=3x+4x+3x=90°

∴10x=90°

∴x=9°

∴∠A=3x=27°

27．

，则∠C的度数为　37　度．

∵ED是AC的垂直平分线，

∴EA=EC，

∴∠1=∠C，

又∵∠BAE=16°

∠B=90°

∴∠1+∠C+∠BAE+∠B=180°

即：

2∠C+16°

+90°

=180°

解得∠C=37°

37．

，AB=12cm，BC=18cm，则DE的长为　2.4　cm．

如图，过点D作DF⊥AB于F，

∵BD是∠ABC的平分线，DE⊥BC，

∴DE=DF，

S△ABC=S△ABD+S△BCD，

=AB•DF+BC•DE，

=×

12•DE+×

18•DE，

=15DE，

∵△ABC=36cm2，

∴15DE=36，

解得DE=2.4cm．

2.4．

2，则点D到AB的距离为　4cm　．

∵BC=10cm，BD：

2，

∴DC=4cm，

∵AD是△ABC的角平分线，∠ACB=90°

∴点D到AB的距离等于DC，即点D到AB的距离等于4cm．

故答案为4cm．

，点O到AB、BC、AC的距离相等，连接BO、CO，则∠BOC=　125　°

∵点O到AB、BC、AC的距离相等，

∴OB平分∠ABC，OC平分∠ACB，

∴∠OBC=ABC，∠OCB=∠ACB，

∵∠A=70°

∴∠ABC+∠ACB=180°

=110°

∴∠OBC+∠OCB=110°

=55°

∴∠BOC=180°

﹣（∠OBC+∠OCB）=125°

125．

24．如图，直线a、b、c表示三条公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有　4　处．

∵△ABC内角平分线的交点到三角形三边的距离相等，

∴△ABC内角平分线的交点满足条件；

如图：

点P是△ABC两条外角平分线的交点，

过点P作PE⊥AB，PD⊥BC，PF⊥AC，

∴PE=PF，PF=PD，

∴PE=PF=PD，

∴点P到△ABC的三边的距离相等，

∴△ABC两条外角平分线的交点到其三边的距离也相等，满足这条件的点有3个；

综上，到三条公路的距离相等的点有4个，

∴可供选择的地址有4个．

，PC∥OB，PD⊥OB于点D，PD=4，则PC等于　8　．

作PE⊥OA于E，

∵OP平分∠AOB，PD⊥OB，PE⊥OA，

∴PE=PD=4，

∵OP平分∠AOB，∠AOP=15°

∴∠AOB=30°

∵PC∥OB，

∴∠ECP=∠AOB=30°

∴PC=2PE=8，

8．

二．解答题（共2小题）

（1）证明：

∵AB的垂直平分线MN交AC于点D，

∴DB=DA，

∴△ABD是等腰三角形；

（2）∵△ABD是等腰三角形，∠A=40°

∴∠ABD=∠A=40°

，∠ABC=∠C=（180°

﹣40°

）÷

2=70°

∴∠DBC=∠ABC﹣∠ABD=70°

=30°

（3）∵AB的垂直平分线MN交AC于点D，AE=6，

∴AB=2AE=12，

∵△CBD的周长为20，

∴AC+BC=20，

∴△ABC的周长=AB+AC+BC=12+20=32．

，AD是BC上的高，AD=AE，则∠EDC=　15°

，AD是BC上的高，AD=AE，则∠EDC=　20°

　∠EDC=∠BAD　

（1）∵在△ABC中，AB=AC，AD是BC上的高，

∴∠BAD=∠CAD，

∵∠BAD=30°

∴∠BAD=∠CAD=30°

∵AD=AE，

∴∠ADE=∠AED=75°

∴∠EDC=15°

（2）∵在△ABC中，AB=AC，AD是BC上的高，

∵∠BAD=40°

∴∠BAD=∠CAD=40°

∴∠ADE=∠AED=70°

∴∠EDC=20°

（3）∠BAD=2∠EDC（或∠EDC=∠BAD）

（4）仍成立，理由如下

∵AD=AE，∴∠ADE=∠AED，

∴∠BAD+∠B=∠ADC=∠ADE+∠EDC=∠AED+∠EDC=（∠EDC+∠C）+∠EDC

=2∠EDC+∠C

又∵AB=AC，

∴∠B=∠C

∴∠BAD=2∠EDC．

故分别填15°

，20°

，∠EDC=∠BAD