数值分析题库及答案汇编.docx
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数值分析题库及答案汇编
模拟试卷
（一）
一、填空题（每小题3分，共30分）
1．有3个不同节点的高斯求积公式的代数精度是次的.
2．设，，则=.，=______.
3．已知y=f（x）的均差（差商），，，,那么均差=.
4．已知n=4时Newton－Cotes求积公式的系数分别是：
则＝.
5．解初始值问题的改进的Euler方法是阶方法；
6．求解线性代数方程组的高斯—塞德尔迭代公式为，若取,则.
7．求方程根的牛顿迭代格式是 .
8．是以整数点为节点的Lagrange插值基函数，则
=.
9．解方程组的简单迭代格式收敛的充要条件是.
10．设，则的三次牛顿插值多项式为，其误差估计式为.
二、综合题（每题10分，共60分）
1．求一次数不超过4次的多项式满足：
，，
，.
2．构造代数精度最高的形式为的求积公式，并求出
其代数精度.
3．用Newton法求方程在区间内的根,要求.
4．用最小二乘法求形如的经验公式拟合以下数据：
19
25
30
38
19.0
32.3
49.0
73.3
5．用矩阵的直接三角分解法解方程组
.
6试用数值积分法建立求解初值问题的如下数值求解公式
，
其中.
三、证明题（10分）
设对任意的，函数的导数都存在且,对于满足的任意，迭代格式均收敛于的根.
参考答案
一、填空题
1．5；2.8,9;3.；4.；5.二；
6.,（0.02，0.22，0.1543）
7.;8.;9.;
10.
二、综合题
1．差商表：
1
1
1
2
2
15
15
15
57
57
20
20
42
72
15
22
30
7
8
1
其他方法：
设
令，，求出a和b.
2．取，令公式准确成立，得：
,,.
时，公式左右；时，公式左,公式右
∴公式的代数精度.
3．此方程在区间内只有一个根，而且在区间（2，4）内。
设
则，，Newton法迭代公式为
，
取，得。
4．，，.
解方程组，其中，
解得：
所以，.
5．解设
由矩阵乘法可求出和
解下三角方程组
有，，，.
再解上三角方程组
得原方程组的解为，，，.
6解初值问题等价于如下形式，
取，有，
利用辛卜森求积公式可得.
三、证明题
证明将写成，
由于，所以
所以迭代格式均收敛于的根.
模拟试卷
（二）
一、填空题（每小题3分，共30分）
1．分别用2.718281和2.718282作数的近似值，则其有效位数分别有位和位；
2．设，，则=________，=.
3．对于方程组,Jacobi迭代法的迭代矩阵是=________.
4．设，则差商=__________，=_______.
5．已知,则条件数_________.
6．为使两点的数值求积公式具有最高的代数精确度，则其求积基点应为=__________，=__________
7．解初始值问题近似解的梯形公式是
8．求方程根的弦截法迭代公式是
9.计算积分，取4位有效数字，用梯形公式计算求得的近似值是，用辛卜生公式计算的结果是
10．任一非奇异矩阵的条件数＝，其一定大于等于
二、综合题（每题10分，共60分）
1证明方程在区间有且只有一个根，若利用二分法求其误差不超过近似解，问要迭代多少次？
2已知常微分方程的初值问题：
试用改进的Euler方法计算的近似值，取步长.
3用矩阵的分解法解方程组.
4用最小二乘法求一个形如的经验公式，使它与下列数据拟合.
x
1.0
1.4
1.8
2.2
2.6
y
0.931
0.473
0.297
0.224
0.168
5设方程组，试考察解此方程组的雅可比迭代法及高斯－赛德尔迭代法的收敛性。
6按幂法求矩阵的按模最大特征值的近似值，取初始向量，迭代两步求得近似值即可.
三、证明题（10分）
已知求的迭代公式为：
证明：
对一切，且序列是单调递减的，从而迭代过程收敛.
参考答案
一、填空题
1．6，7；2.9,;3.;4.1,0;5.9;6.,;
7.;
8.；9.0.4268,0.4309;10.,1
二、综合题
1解令，则，，且
故在区间内仅有一个根.
利用二分法求它的误差不超过的近似解，则
解此不等式可得
所以迭代14次即可.
2、解：
3解设
利用矩阵乘法可求得
，，，，，
解方程组得，
再解方程组得.
4解令，则容易得出正规方程组
，解得.
故所求经验公式为.
5解
（1）由于
，
所以在内有根且，故利用雅可比迭代法不收敛.
（2）由于
所以，故利用高斯－赛德尔迭代法收敛.
6解因为，故，
且，.
从而得
，，.
三、证明题
证明:
由于
故对一切，，又
所以，即序列是单调递减有下界，从而迭代过程收敛.
模拟试卷（三）
一、填空题（每小题3分，共30分）
1．设是真值的近似值，则有位有效位数，相对误差限为；
2．若用二分法求方程在区间[1,2]内的根，要求精确到第3位小数，则需要对
分次。
3．有n个节点的高斯求积公式的代数精度为次.
4．设，要使迭代格式局部收敛到，则的取值范围是
5．设线性方程组有唯一解，在不考虑系数矩阵扰动的情况下，若方程组右端项的扰动相对误差，就一定能保证解的相对误差；
6．给定线性方程组，则解此线性方程组的Jacobi迭代公式是，Gauss-Seidel迭代公式是
7．插值型求积公式的求积系数之和是
8．数值求解初值问题的龙格--库塔公式的局部截断误差是
9.已知函数，用此函数表作牛顿插值多项式，那么插值多项式的系数是
10．设，为使可分解为，其中是对角线元素为正的下三角矩阵，则的取值范围是。
二、综合题（每题10分，共60分）
1．用Newton法求方程在区间内的根,要求.
2．设有方程组，其中，，已知它有解， 如果右端有小扰动，试估计由此引起的解的相对误差。
3．试用Simpson公式计算积分的近似值,并估计截断误差.
4．设函数在区间[0,3]上具有四阶连续导数,试用埃尔米特插值法求一个次数不高于3的多项式，使其满足，并写出误差估计式。
5．，给出用古典Jacobi方法求的特征值的第一次迭代运算。
6．用梯形方法解初值问题， 证明其近似解为，并证明当时，它收敛于原初值问题的准确解。
三、证明题（10分）
若有个不同的实根，证明.
参考答案
一、填空题
1.3,;2.10;3.;4.;
5.;
6.,
7.;8.;9.－2.4;10.
二、综合题
1．此方程在区间内只有一个根，而且在区间（2，4）内。
设
则，，Newton法迭代公式为
，
取，得。
2．解，，由公式，有
3．，，
截断误差为
4．由所给条件可用插值法确定多项式，
（由题意可设为确定待定函数，作辅助函数：
则在上存在四阶导数且在上至少有5个零点（为二重零点），反复应用罗尔定理，知至少有一个零点，使，从而得。
故误差估计式为，。
5．首先取，因，故有，于是，，
6.梯形公式为，由，得，
所以，用上述梯形公式以步长经步计算得到，所以有，所以
．
三、证明题
证明由于有个不同的实根，故,于是
记，则，
再由差商与导数的关系知.
模拟试卷（四）
一、填空题（每小题3分，共30分）
1．为了减少运算次数，应将算式改写为，为减少舍入误差的影响，应将算式改写为。
2．，，。
3．设在的根附近有连续的二阶导数，且，则
当时迭代过程是线性收敛的，则当时迭代过程是平方收敛的。
4．设，则当满足时，有
5．用列主元消去法解线性方程组时，在第k－1步消元时，在增广矩阵的第k列取主元，使得。
（1）专业知识限制6．已知函数，则=，=，的二次牛顿插值多项式
7．求解方程，若可以表成，则用简单迭代法求根，那么满足，近似根序列一定收敛。
8．点插值型数值积分公式的代数精度至少是次，最高不超过次。
9.写出初值问题在上欧拉计算格式
10．解初始值问题的梯形方法是阶方法
据调查统计在对大学生进行店铺经营风格所考虑的因素问题调查中，发现有50%人选择了价格便宜些，有28%人选择服务热情些，有30%人选择店面装潢有个性，只有14%人选择新颖多样。
如图（1-5）所示二、综合题（每题10分，共60分）
1．证明方程在区间[1，2]内有唯一根x*，用牛顿迭代法求x*（精确至3位小数）。
目前，上海市创业培训中心已开办大学生创业培训班，共招收上海交通大学、上海商业职业技术学院等应届毕业生６２人。
2．用列主元消去法解线性方程组;
3．给定数据x=0,1,2,3，对应函数值分别为y=1,3,2,4，求三次拉格朗日或牛顿插值多项式。
当然，在竞争日益激烈的现代社会中，创业是件相当困难的事。
我们认为，在实行我们的创业计划之前，我们首先要了解竞争对手，吸取别人的经验教训，制订相应竞争的策略。
我相信只要我们的小店有自己独到的风格，价格优惠，服务热情周到，就一定能取得大多女孩的信任和喜爱。
4．设有矩阵用“规范化”的方法求其按模最大的特征值及对应的特征向量（注：
求迭代4次即可）
功能性手工艺品。
不同的玉石具有不同的功效，比如石榴石可以促进血液循环，改善风湿和关节炎；白水晶则可以增强记忆力；茶晶能够帮助镇定情绪，缓解失眠、头昏等症状。
顾客可以根据自己的需要和喜好自行搭配，每一件都独一无二、与众不同。
5．用改进的Euler方法求初值问题,.
上述所示的上海经济发展的数据说明：
人们收入水平的增加，生活水平的提高，给上海的饰品业带来前所未有的发展空间，为造就了一个消费额巨大的饰品时尚市场提供了经济基础。
使大学生对DIY手工艺品的时尚性消费，新潮性消费，体验性消费成为可能。
6．给定数据，求一次最小二乘拟合多项式。
三、证明题（10分）
设线性方程组为，
（1）
（2）据调查统计在对大学生进行店铺经营风格所考虑的因素问题调查中，发现有50%人选择了价格便宜些，有28%人选择服务热情些，有30%人选择店面装潢有个性，只有14%人选择新颖多样。
如图（1-5）所示证明用雅可比迭代法和高斯-塞德尔迭代法解此方程组要么同时收敛，要么同时发散；
（3）
（4）调研课题：
当同时收敛时，比较它们的收敛速度。
参考答案
一、填空题
1.,;2.6,6;
“碧芝自制饰品店”拥有丰富的不可替代的异国风采和吸引人的魅力，理由是如此的简单：
世界是每一个国家和民族都有自己的饰品文化，将其汇集进行再组合可以无穷繁衍。
3.,;4.;
5.;6.2,1,;7.;8.，;
9.10.二
二、综合题
1.
由牛顿迭代公式，
取x0=1.2，得
或取，,所以.
2．
故.
3.
或
4．取，由乘幂法得，
，，,
5．改进的Euler方法
，
取，经计算得：
;，经计算得：
，经
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