数值分析题库及答案汇编.docx

1、数值分析题库及答案汇编模 拟 试 卷（一）一、填空题（每小题3分，共30分）1有3个不同节点的高斯求积公式的代数精度是 次的.2设，则= .，= _.3已知y=f(x)的均差（差商），, 那么均差= .4已知n=4时NewtonCotes求积公式的系数分别是：则 .5解初始值问题的改进的Euler方法是 阶方法；6求解线性代数方程组的高斯塞德尔迭代公式为 ， 若取, 则 .7求方程根的牛顿迭代格式是 .8是以整数点为节点的Lagrange插值基函数，则= .9解方程组的简单迭代格式收敛的充要条件是 .10设，则的三次牛顿插值多项式为 ，其误差估计式为 .二、综合题（每题10分，共60分）1求一

2、次数不超过4次的多项式满足：，.2构造代数精度最高的形式为的求积公式，并求出其代数精度. 3用Newton法求方程在区间内的根, 要求.4用最小二乘法求形如的经验公式拟合以下数据：1925303819.032.349.073.35用矩阵的直接三角分解法解方程组.6 试用数值积分法建立求解初值问题的如下数值求解公式，其中.三、证明题（10分）设对任意的，函数的导数都存在且,对于满足的任意，迭代格式均收敛于的根.参考答案一、填空题15； 2. 8, 9 ; 3. ； 4. ； 5. 二； 6. , (0.02，0.22，0.1543)7. ; 8. ; 9. ; 10. 二、综合题1差商表：111

3、22151515575720204272152230781其他方法：设令，求出a和b.2取，令公式准确成立，得：, , , .时，公式左右；时，公式左, 公式右 公式的代数精度.3此方程在区间内只有一个根，而且在区间（2，4）内。设则， ，Newton法迭代公式为， 取，得。4 ，.解方程组，其中 ， 解得： 所以， . 5解 设 由矩阵乘法可求出和 解下三角方程组 有，.再解上三角方程组 得原方程组的解为，.6 解 初值问题等价于如下形式，取，有，利用辛卜森求积公式可得.三、证明题证明 将写成，由于 ，所以所以迭代格式均收敛于的根.模 拟 试 卷（二）一、填空题（每小题3分，共30分）1分别

4、用2.718281和2.718282作数的近似值，则其有效位数分别有 位和 位 ；2 设，则= _，= .3对于方程组, Jacobi迭代法的迭代矩阵是=_.4设，则差商=_，=_.5已知, 则条件数_.6为使两点的数值求积公式具有最高的代数精确度，则其求积基点应为=_， =_7解初始值问题近似解的梯形公式是 8求方程根的弦截法迭代公式是 9. 计算积分，取4位有效数字，用梯形公式计算求得的近似值是 ， 用辛卜生公式计算的结果是 10任一非奇异矩阵的条件数 ，其一定大于等于 二、综合题（每题10分，共60分）1 证明方程在区间有且只有一个根，若利用二分法求其误差不超过近似解，问要迭代多少次？2

5、 已知常微分方程的初值问题：试用改进的Euler方法计算的近似值，取步长.3 用矩阵的分解法解方程组 .4 用最小二乘法求一个形如的经验公式，使它与下列数据拟合.x1.01.41.82.22.6y0.9310.4730.2970.2240.1685 设方程组，试考察解此方程组的雅可比迭代法及高斯赛德尔迭代法的收敛性。6 按幂法求矩阵的按模最大特征值的近似值，取初始向量，迭代两步求得近似值即可.三、证明题（10分）已知求的迭代公式为： 证明：对一切 ， 且序列是单调递减的，从而迭代过程收敛.参考答案一、填空题16， 7； 2. 9, ; 3 . ; 4. 1, 0; 5. 9; 6. , ; 7

6、. ;8. ； 9. 0.4268, 0.4309; 10. , 1二、综合题1 解 令，则，且 故在区间内仅有一个根. 利用二分法求它的误差不超过的近似解，则 解此不等式可得 所以迭代14次即可.2、解： 3 解 设 利用矩阵乘法可求得， ，解方程组 得，再解方程组 得.4 解 令，则容易得出正规方程组，解得 .故所求经验公式为 . 5 解 （1）由于，所以在内有根且，故利用雅可比迭代法不收敛.（2）由于所以，故利用高斯赛德尔迭代法收敛.6 解 因为，故，且，.从而得，.三、证明题 证明: 由于 故对一切，又所以 ，即序列是单调递减有下界，从而迭代过程收敛.模 拟 试 卷（三）一、填空题（每

7、小题3分，共30分）1设是真值的近似值，则有 位有效位数，相对误差限为 ；2 若用二分法求方程在区间1,2内的根，要求精确到第3位小数，则需要对分 次。3有n个节点的高斯求积公式的代数精度为 次.4设，要使迭代格式局部收敛到，则的取值范围是 5设线性方程组有唯一解，在不考虑系数矩阵扰动的情况下，若方程组右端项的扰动相对误差 ，就一定能保证解的相对误差；6给定线性方程组，则解此线性方程组的Jacobi迭代公式是 ，Gauss-Seidel迭代公式是 7插值型求积公式的求积系数之和是 8数值求解初值问题的龙格-库塔公式的局部截断误差是 9. 已知函数，用此函数表作牛顿插值多项式，那么插值多项式的系

8、数是 10 设，为使可分解为，其中是对角线元素为正的下三角矩阵，则的取值范围是 。二、综合题（每题10分，共60分）1用Newton法求方程在区间内的根, 要求.2设有方程组，其中，已知它有解， 如果右端有小扰动，试估计由此引起的解的相对误差。3试用Simpson公式计算积分的近似值, 并估计截断误差.4设函数在区间0,3上具有四阶连续导数,试用埃尔米特插值法求一个次数不高于3的多项式，使其满足，并写出误差估计式。5，给出用古典Jacobi方法求的特征值的第一次迭代运算。 6用梯形方法解初值问题，证明其近似解为，并证明当时，它收敛于原初值问题的准确解。 三、证明题（10分）若有个不同的实根，证

9、明 .参考答案一、填空题1. 3, ; 2. 10; 3. ; 4. ; 5. ; 6. , 7. ; 8. ; 9. 2.4; 10 . 二、综合题1此方程在区间内只有一个根，而且在区间（2，4）内。设则， Newton法迭代公式为， 取，得。 2解 ，由公式，有3 ， ， 截断误差为4由所给条件可用插值法确定多项式， (由题意可设为确定待定函数，作辅助函数：,则在上存在四阶导数且在上至少有5个零点（为二重零点），反复应用罗尔定理，知至少有一个零点，使，从而得。故误差估计式为，。5首先取，因，故有，于是， 6. 梯形公式为，由，得，所以，用上述梯形公式以步长经步计算得到，所以有，所以三、证明

10、题证明 由于有个不同的实根，故,于是记 ，则，再由差商与导数的关系知.模 拟 试 卷（四）一、填空题（每小题3分，共30分）1 为了减少运算次数，应将算式改写为 ，为减少舍入误差的影响，应将算式改写为 。2， ， 。3设在的根 附近有连续的二阶导数，且，则当 时迭代过程是线性收敛的，则当 时迭代过程是平方收敛的。4设，则当满足 时，有5用列主元消去法解线性方程组时，在第k1步消元时，在增广矩阵的第k列取主元，使得 。（1） 专业知识限制6已知函数，则= ，= ，的二次牛顿插值多项式 7求解方程，若可以表成，则用简单迭代法求根，那么 满足 ，近似根序列一定收敛。8点插值型数值积分公式的代数精度至

11、少是 次，最高不超过 次。9.写出初值问题 在上欧拉计算格式 10解初始值问题的梯形方法是 阶方法据调查统计在对大学生进行店铺经营风格所考虑的因素问题调查中，发现有50%人选择了价格便宜些，有28%人选择服务热情些，有30%人选择店面装潢有个性，只有14%人选择新颖多样。如图（1-5）所示二、综合题（每题10分，共60分）1证明方程在区间1，2内有唯一根x*，用牛顿迭代法求x*(精确至3位小数)。目前，上海市创业培训中心已开办大学生创业培训班，共招收上海交通大学、上海商业职业技术学院等应届毕业生人。2用列主元消去法解线性方程组;3给定数据x=0,1,2,3，对应函数值分别为y=1,3,2,4，

12、求三次拉格朗日或牛顿插值多项式。当然，在竞争日益激烈的现代社会中，创业是件相当困难的事。我们认为，在实行我们的创业计划之前，我们首先要了解竞争对手，吸取别人的经验教训，制订相应竞争的策略。我相信只要我们的小店有自己独到的风格，价格优惠，服务热情周到，就一定能取得大多女孩的信任和喜爱。4设有矩阵 用“规范化”的方法求其按模最大的特征值及对应的特征向量（注：求迭代4次即可）功能性手工艺品。不同的玉石具有不同的功效，比如石榴石可以促进血液循环，改善风湿和关节炎；白水晶则可以增强记忆力；茶晶能够帮助镇定情绪，缓解失眠、头昏等症状。顾客可以根据自己的需要和喜好自行搭配，每一件都独一无二、与众不同。5用改

13、进的Euler方法求初值问题 , . 上述所示的上海经济发展的数据说明：人们收入水平的增加，生活水平的提高，给上海的饰品业带来前所未有的发展空间，为造就了一个消费额巨大的饰品时尚市场提供了经济基础。使大学生对DIY手工艺品的时尚性消费，新潮性消费，体验性消费成为可能。 6给定数据，求一次最小二乘拟合多项式。三、证明题（10分）设线性方程组为，（1） （2） 据调查统计在对大学生进行店铺经营风格所考虑的因素问题调查中，发现有50%人选择了价格便宜些，有28%人选择服务热情些，有30%人选择店面装潢有个性，只有14%人选择新颖多样。如图（1-5）所示证明用雅可比迭代法和高斯-塞德尔迭代法解此方程组要么同时收敛，要么同时发散；（3） （4） 调研课题：当同时收敛时，比较它们的收敛速度。参考答案一、填空题1. , ; 2. 6, 6; “碧芝自制饰品店”拥有丰富的不可替代的异国风采和吸引人的魅力，理由是如此的简单：世界是每一个国家和民族都有自己的饰品文化，将其汇集进行再组合可以无穷繁衍。3. , ; 4. ; 5. ; 6. 2, 1, ; 7. ; 8. ，; 9. 10. 二二、综合题1. 由牛顿迭代公式 ，取x0=1.2，得 或取，, 所以.2 , 故. 3. 或 4取，由乘幂法得， ，, ,5改进的Euler方法， 取，经计算得 ：;，经计算得 ： ，经