泰勒公式与极值问题文档格式.docx
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=lim——ilim一
S纫pSix
||mf*+心x,yo）—f（Xo,yo）l盘mOZ」
f（Xo中卫X,yo+也y）—f（Xo,yo+Ay）—f（Xo+Ax,yo）+f（Xo,yo）
=limlim.
（1）
A-o^mgiy
类似地有
fyx（Xo,yo）
=|lm|lmf（xo+虫X,yo+也y）—f（Xo+也x,yo）—f（xo,yo+也y）+f（xo,yo）-^-oAmoAxAy.
为使fxy（Xo,yo）=fyx（Xo,yo成立，必须使
（1）,
（2）这两个累次极限相等，即以交换累次极限的极限次序.下述定理给出了使极限
（1）,
（2）相等的一个充分条件.
定理17.7若fxy.（x,y和fyx.（x,y）都在点连续，则
fxy（Xo,yo）=fyx（Xo,yo）（3）
令
Fgx,Ay）=f（xoyo+也y）—f（x0+也x』。
）—
f（xo,y0+Ay）+f（xo’yo）,
W（x）=f（x,yo+iy）-f（x,yo）
于是有
F（Ax,Ay）沁（xo+Ax）—®
（xo）.（4）
由于函数
f存在关于x的偏导数，所以函数W可导。
应用一元函数的中值定理，有
w（xo+ix）—®
（xo）=Q（x+日Hxpx
=〔fx（Xo+6Ax,yo中心y）—fx（Xo+qix,yo必x.（oc1）
又由fx存在关于y的偏导数，故对以y为自变量的函数fx（Xo+日Qx,y）应用一元函数中值定理，又使上式化为
申（Xo+Ax）-®
（xo）=fxy（XopAx,yo+日2心沖x®
（OW,日2<
1）.
由（4测有
f3x,Ay）=fxy（Xo+4也X,yo+日2也yPxAy.
如果令
则有
（OZd<
1）.屮（y）=f（xo+Ax,y）-f（Xo,y）,
Fpxdy）=®
（yo+也y）-屮（yo）.
用前面相同的方法，又可得到
F3x3y）=fyx（xo+日3也X,yo+日4%）也X与
（0<
83,日4<
1）
（6）
当也X,Ay不为零时，由（5），（6）两式得到
fxy（Xo+日1.心x,yo+日2心y）AxAy=fyx（x^0^x,y^e^y^^y
（0＜日1,日2月3月4Vl）
由定理假设fxy（x,y与fyx（x,y在点（xo,yo）连续，故当Axt0,AyT0时，
限都存在而且相等，这就得到所要证明的（3）式.
（7）
（7）式两边极
这个定理的结论对n元函数的混合偏导数也成立。
如三元函数U=f（X,y,z），若下述
六个三阶混合偏导数
fxyz（x,y,z）,fyzx（x,*z）,fzxy（x,y,z）,
fxzy（x,y,z）,fyxz（x,y,z）,fzyx（x,y,z）
在某一点都连续，则在这一点六个混合偏导数都相等；
同样，若二元函数z=f（x,y）在点
（x,y）存在直到n阶的连续混合偏导数，则在这一点m（Wn）阶混合偏导数都与顺序无关.
今后除特别指出外，都假设相应阶数的混合偏导数连续，从而混合偏导数与求导顺序
无关.
下面讨论复合函数的高阶偏导数.设z是通过中间变量x,y而成为s,t的函数，即
Z=f（x,y）
其中X=w（s,t）,y=屮（s,t），若函数f,巴屮都具有连续的二阶偏导数，则作为复合函数的
z对s,t同样存在二阶连续偏导数。
具体计算如下：
dz
cs
cz
盘
dzexdzcy
=+
J
excscycs
L、1™,■1™,
czexczcy
■
exctcyd
显然竺与竺仍是s,t的复合函数，其中竺，竺是x,y的函数，空，空，今，引是s,t
csctexcycsctcsct
z关于s,t的二阶偏导数
czyex.czc
I"
l
ex<
5s（cs丿
（皀]空+冬上（空）
cycs\_csj
_2
os
的函数。
继续求
r2cz_
r2-
r
rI™.I1™.
CS'
ex丿cs
aa\
OS（cy丿cs
（cz空十
csExeycs丿
Iczex十czcy[cy十czcyyeyexcscycs丿cscycs
-2f-%2,2
—-2
r2r、r-r2
czcyex.czex,
十十
csexcs
同理可得
/-¥
cZex
r2L、
exves丿
cz
-2
尸■.厶r
+2"
仝型+点xcycscs
列、.ozoxezey
—I\\
rIrL'
2L、c2'
'
cs丿ex<
scycs
g2Z
IF
g2Z-cX2空2云丿
c2Z
邑
2
Fa2
（次、cOZ泳讷——I+2_+
、盘丿cX5yctct
22
CZCXCZCy
++r,
CXctcyct
歹Z&
点X+点2z
cZcycy
点ycS戲
cb5s
CXcsctZXc^cSct
CZexCZcy
++
exc^ctcyeSet
C2Z
Wxey
例3设Z=fX,—，求
Vy丿
解这里Z是以X和y为自变量的复合函数，它也可以改写成如下形式:
&
2，
X
=f（u,v）,u=X,V=—
y
由复合函数求导公式有
CXrff
注意，这里d,f仍是以
cucv
cfcucfdv汙
=+=
Srar宀
cuexcvexcu
u,v为中间变量X,y为自变量的复合函数.所以
-.2
C
旬2&
<
X2C^cuf和丿
cuC2f点v,1rC2fcu
—I
leer
c^cvCXy（cveuCX
c2f2c2f1c2f
=++
r2--2_2>
cuycuevycv
点八点uycvJ
cfe+
2L'
cucy
f-2,"
cfcu
CLr
（cveucy
Xc2f
—2宀-
ycuev
CZ
fa
cXcy
rL、
cfcv
I-.r-.c
cuevcy
C2f釦'
.-.2I
cvQX丿
_丄兰+
y2cv
r2.-、
cfcv
十
r2r
cvoy丿
Xc2f1df
—~3-2——2~~—
ycvycv
中值定理和泰勒公式
二元函数的中值公式和泰勒公式，与一元函数的拉格朗日公式和泰勒公式相仿，
元函数（n>
2）也有同样的公式，只是形式上更复杂一些.
在叙述有关定理之前，先介绍凸区域的概念.
若区域D上任意两点的连线都含于D，则称D为凸区域（图17-6）•这就是说，若D
对于n
为凸区域，则对任意两点R（x1,y1）,P2（x2,y2^D和一切k（0<
k<
1）,，恒有
P（xi+k（x2—xi）,yi+k（y2—yi））亡D.
AJ--.
IjT-严
—（h—+k—）f（X0,y0）+n!
excy
Are
（h—+k—）f（x。
+0h,y。
+0k）.
（n+1!
&
cy
（11）式称二元函数f在点Po的n阶泰勒公式，其中
L、L、mrm
（h上+kZ）mf（Xo,yo）=2f（xo,yo）hikm-'
.
excy^0excy
证与定理17.8的证明一样.作函数
①（t）=f（x0+th,y0+tk）.
由定理的假设，一元函数①（t）在0,11上满足一元函数泰列定理条件，于是有
不不①'
（0）①"
（0）
①
（1）=①（0）+—+——+■■-+
1!
2!
①5）（0）①E（£
）a
——+（0丈9<
n!
（n+1）!
应用复合函数求导法则，可求得①（t）的各阶导数：
①（t）=（h£
+k—）mf（X0+th,y。
+tk）.（m=1,2,…,n+1）.
excy
当t=0时,则有
①（m）（0）=（h£
+k—）mf（X0,y0）（m=1,2，…,n）.
（11）
（12）
（13）
若略去余项，并让X=1.08,y=3.96,，则有
（1.08丫.96上1+4xO.O8+6xO.O82-O.O8xO.O4=1.3552□
与§
1例7的结果相比较，这是更接近于真值（1.356307…）的近似值•因为微分近似式
相当于现在的一阶泰勒公式.
极值问题
多元函数的极值问题是多元函数微分学的重要应用，这里仍以二元函数为例进行讨论.
定义设函数f在点F0（xo,yo）的某邻域U（R）内有定义.若对于任何点
P（x,y戶U（Po），成立不等式
f（P）<
f（Po）（或f（P）二f（Po）,
则称函数f在点Po取得极大（或极小）值，点Po称为f的极大（或极小）值点.极大值、极小值统称极值•极大值点、极小值点统称极值点.
注意：
这里所讨论的极值点只限于定义域的内点.
X2+y2<
1〉,恒有
例5设f（X,y）=2x2+y2,g（x,y）=J1-x2—y2,h（x,y）=xy..由定义直接知道，坐标原点（0,0）是f的极小值点，是g的极大值点，但不是h的极值点.这是因为对任何点（x,y）,恒有f（X,y）>
f（0,0）=0；
对函数（x,y）亡《x,y）
g（x,y）<
g（0,0）=1;
而对于函数h,在原点的任意小邻域内，既含有使h（x,y）》0的I、川
象限中的点，又含有使h（x,y）<
0的n、w象限中的点，所以h（0,0）=0既不是极大值又不是极小值.□
由定义可见，若f在点（xo,yo取得极值，则当固定y=yo时，一元函数f（x,yo）必定x=xo在取相同的极值上.同理，一元函数f（xo,y.）在y=yo也取相同的极值.于是得到
二元函数取极值的必要条件如下：
定理17.10（极值必要条件）若函数f在点Po（xo,yo存在偏导数，且在Po取得极值，
fx（Xo,yo）=0,fy（Xo,y。
）=0.（16）
反之，若函数f在点Po满足（16），则称点PO为f的稳定点.定理17.10指出：
若f存在偏导数，则其极值点必是稳定点。
但稳定点并不都是极值点，如例5中的函数h，原点
为为其稳定点，但它在原点并不取得极值.
与一元函数的情形相同，函数在偏导数不存在的点上也有可能取得极值。
例如
f（x,y）=Jx2+y2在原点没有偏导数，但f（0,0）=0是f的极小值.
为了讨论二元函数f在点Po（xo,yo）取得极值的充分条件，我们假定f具有二阶连续
偏导数，并记
f（x,y）—f（X0,y0）
1T22
=2（从,3）日f（P0）（Ax,iy）+o3x,Ay）
由于Hf（P0）正定，所以对任何3x,Ay）H（0,0）,恒使二次型Q（Ax,Ay）=（&
Ay）Hf（F0）（Ax,Ay）TaO..因此存在一个与Ax,Ay无关的正数q,使得
Q（ix,Ay）>
2q（ix,Ay）.
从而对于充分小的U（P0）,只要（X,y）€U（P0）就有
f（x,y）—f（X0,y0）Xq（Ax2+Ay2）+ogx2+Ay2）=（Ax2+Ay2jjq+
（1））30即f在点（X0,y0）取得极小值.
同理可证Hf（P0）为负定矩阵时，f在P0取得极大值.
最后，当Hf（P0）不定时，f在P0不取极值.这是因为倘若f取极值（例如取极大值），则沿任何过P0的直线X=X0+1比X,y=y0+Uy,f（x,y）=f（X0+1也x,y0+t^y）=W（t）,在t=0亦取极大值.由一元函数取极值的充分条件®
"
（0）A0是不可能的（否则W在t=0将取极小值），故W"
（0）兰0.而
®
（t）=f3x+fyAy,
护"
（t）=fxx&
2+2fx3x^y+fyyAy2,W"
（O）=（MyHf（P0）（AxAyy.
这表明Hf（P0）必须是负半定的。
同理，倘若f取极小值，则将导致Hf（P0）必须是正半
定的。
也就是说，当f在P0取极值时，Hf（P0）必须时正半定或负半定矩阵，但这与假设
□定理17.11又可写成如下比较
相矛盾.
根据正半定或负半定对称阵所属主子行列式的符号规则，实用的形式：
若函数
（i）当
（ii）当
（iii）当（fxxfyy-fXy）（P0k0时，f在点P。
不能取得极值；
（iv）当（fxxfyy-fXy）（P0）=0时，不能肯定f在点P。
是否取得极值.
例6求f（X,y）=x2+5y2-6x+10y+6的极值.
解由方程组
Ifx=2x-6=o,
jfy=10y+10=0
得f的稳定点Po（3,—1），由于
fxx（Po）=2,fxy（Po）=0,fyy（Po）=1O,（fxxfyy-fx2）（Po）=2O.
因为f在点P。
取得极小值f（3,-1）=-8.又因f处处存在偏导数，故（3,-1）为f的惟一极值点.
例7讨论f（x,y^x2+xy是否存在极值.
解由方程组fx=2x中y=0,fy=x=0得稳定点为原点.
因fxxfyy-fx：
=-1<
0,,故原点不是f的极值点。
又因f处处可微，所以f没有极值点。
例8讨论f（X,y）=（y—x2）（y—2x2在原点是否取得极值.
解容易验证原点是f的稳定点，且在原点Jfyy-f：
=0,故由定理17.11无法判定
2222
f在原点是否取到极值.但由于当x
f（x,y）>
0,（图17-7）,所以函数
yv2x时f（X,y）<
0,而当y>
2x或y<
x时,f不可能在原点取得极值.
Sg=4J3a2,SqP=2J3a2,Sgp=由于Sg：
>
0,SgSEp—S20p=36a"
A。
，，因此S在此稳定点上取得极小值.
因为面积函数S在定义域中处处存在偏导数，又因此时a=P=7,,而具体问题存在
最小值，故外三角形中以正三角形的面积为最小.
例10（最小二乘法问题）设通过观测或实验得到一列点（Xj’yj）i=1,2,…n.。
它们
大体上在一条直线上，即大体上可用直线方程来反映变量x与y之间的对应关系（参见图
17-9）.现在要确定一直线使得与这n个点的偏差平方和最小（最小二乘方）.
解设所求直线方程为y=ax+b,所测得的n个点为（Xj,%）（i=1,2，…n.）.现要确定a,b，使得
n
f（a,b）=2（aXi+b—yi）
i4
为最小.为此，令
fa=22Xi（a^+b-yi）=0,jy
\n
!
fb=2送（aXi+b—yj=0,
Ly
把这组关于a,b的线性方程加以整理，得
nnn
aWXi+bWXi=£
Xiyi=0
izti4i4
nn
aSXi+bn=Syi.
i经y
求此方程组的解，即得f（a,b）的稳定点
-乍Xi
⑺J
l-fzXiyiis"
人rnYZXi
JV丿
n2
nSXi
Xi2Fyi
人7.
n2n送Xi—i二
为进一步确定该点是极小值点，我们计算得
作业布置：
P1411
（2）,（7）;
2;
7
（2）;
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