泰勒公式与极值问题文档格式.docx

1、=lim ilim 一S 纫 pS ix|m f* +心x,yo ） f（Xo,yo）l 盘mO Z f（Xo 中卫 X, yo + 也y ）f （Xo, yo+Ay） f（Xo +Ax,yo ）+ f （Xo, yo）=lim lim . （1 ）A-om giy类似地有fyx（Xo, yo ）=|lm |lm f（xo +虫X, yo + 也y ）f （Xo +也x,yo） f（xo,yo + 也y）+ f（xo,yo） -o Amo AxAy .为使fxy（Xo, yo ）= fyx（Xo,yo成立，必须使（1）,（2）这两个累次极限相等，即以交换累次极 限的极限次序.下述定理给出了使极

2、限（1）, （2）相等的一个充分条件.定理17.7 若fxy.（x, y和fyx.（x, y ）都在点连续，则fxy（Xo,yo ）= fyx（Xo,yo ） （3）令Fgx, Ay） = f （xo yo + 也y） f（x0 +也x。）f（xo, y 0 + Ay） + f （xoyo）,W（x）= f（x,yo +iy） - f（x, yo）于是有F（Ax,Ay）沁（xo +Ax） （xo）. （4）由于函数f存在关于x的偏导数，所以函数 W可导。应用一元函数的中值定理，有w（x o + ix） （xo） =Q（x +日Hxpx=fx（Xo +6Ax, yo 中心y ）fx（Xo +qi

3、x, yo 必x.（o c1）又由fx存在关于y的偏导数，故对以 y为自变量的函数 fx（Xo+日Qx,y）应用一元函数中 值定理，又使上式化为申（Xo +Ax） -（xo） = fxy（Xo pAx,yo + 日2心沖x（OW,日 21）.由（4测有f3x,Ay） = fxy（Xo +4也X, yo +日2也y PxAy.如果令则有（OZd 1）. 屮（y） = f （xo + Ax, y） - f（Xo,y）,Fpxdy） =（yo+也y）-屮（yo）.用前面相同的方法，又可得到F3x3y） = f yx（xo + 日3也X, yo + 日4%）也X与（083,日 4 1）（6）当也X,

4、Ay不为零时，由（5），（6）两式得到fxy （Xo +日1.心x,yo + 日2心y）AxAy = fyx（x0x, yeyy（0 日1,日2月3月4 Vl）由定理假设fxy（x,y与fyx（x,y在点（xo,yo）连续，故当Axt 0,AyT 0时，限都存在而且相等，这就得到所要证明的 （3）式.（7）（7）式两边极这个定理的结论对 n元函数的混合偏导数也成立。如三元函数 U = f（X, y, z），若下述六个三阶混合偏导数fxyz（x,y,z）, fyzx（x, * z）, fzxy（x,y,z）,fxzy（x,y,z）, fyxz（x, y,z）, fzyx（x,y,z）在某一点都连

5、续，则在这一点六个混合偏导数都相等；同样，若二元函数 z= f （x,y）在点（x,y）存在直到n阶的连续混合偏导数，则在这一点 m（Wn）阶混合偏导数都与顺序无关.今后除特别指出外，都假设相应阶数的混合偏导数连续，从而混合偏导数与求导顺序无关.下面讨论复合函数的高阶偏导数.设 z是通过中间变量x,y而成为s,t的函数，即Z= f （x, y）其中X =w（s,t）, y =屮（s,t），若函数f,巴屮都具有连续的二阶偏导数，则作为复合函数的z对s,t同样存在二阶连续偏导数。具体计算如下：dzcscz盘dz ex dz cy= + Jex cs cy csL、 1, 1,cz ex cz cy

6、ex ct cy d显然竺与竺仍是s,t的复合函数，其中竺，竺是x,y的函数，空，空，今，引是s,tcs ct ex cy cs ct cs ctz关于s,t的二阶偏导数czy ex . cz c I l ex 5s （cs丿（皀空+冬上（空）cy cs_csj_2os的函数。继续求r2 c z _r 2 -rr I. I 1.CS ex 丿 csa a OS （cy 丿 cs（c z空十cs Exey cs 丿I c z ex 十 c z cy cy 十 cz c y yeyex cs cy cs 丿 cs cy cs-2 f - %2 ,2-2r2 r 、r - r2c z cy ex .

7、 cz ex, 十 十cs ex cs同理可得/ - c Z exr 2 L、ex ves 丿c z-2尸.厶 r+ 2仝型+ 点xcy cs cs列、.ozoxeze yI r I r L 2 L、 c 2 cs 丿 ex s cy csg2ZIFg2Z -cX2 空2 云丿c2Z邑2F a 2（次、cOZ泳讷 I +2 _ +、盘丿 cX5y ct ct2 2CZ C X CZ C y+ + r,CX ct cy ct歹Z &点X +点2zc Z cy cy点y cS戲cb5sCX cs ct ZXccS ctCZ ex CZ cy+ + ex cct cy eSetC2ZWxey例3设Z

8、=f X,，求V y丿解 这里Z是以X和y为自变量的复合函数，它也可以改写成如下形式:&2，X=f （u,v）, u = X, V =y由复合函数求导公式有CX rf f注意，这里d,f仍是以cu cvcf cu cf dv 汙= + = S r ar 宀cu ex cv ex cuu,v为中间变量X, y为自变量的复合函数.所以-.2C旬2 &cu y cuev y cv点八点u y cv Jc f e +2 Lcu cyf -2 ,c f cuCL r（cveu cyX c2 f2宀-y cuevC Zf acXcyr L、c f cvI-. r-. ccuev cyC2 f 釦 .-.2

9、 Icv QX 丿_丄兰+y2 cvr2 .-、,cfcv十 r 2 rcv oy 丿X c2f 1 df3 - 2 2 y cv y cv中值定理和泰勒公式二元函数的中值公式和泰勒公式， 与一元函数的拉格朗日公式和泰勒公式相仿，元函数（n 2）也有同样的公式，只是形式上更复杂一些.在叙述有关定理之前，先介绍凸区域的概念.若区域D上任意两点的连线都含于 D，则称D为凸区域（图17-6）这就是说，若D对于n为凸区域，则对任意两点 R （x1,y1）, P2（x2,y2 D和一切k（0k1）,，恒有P（xi + k（x2 xi）, yi +k（y2 yi）亡 D.A J-.I jT- 严（h +

10、k） f（X0,y0）+ n! ex cyA re （h + k ） f （x。+ 0h, y。+ 0k）.（n +1 ! & cy（11）式称二元函数f在点Po的n阶泰勒公式，其中L、 L、 m rm（h上 +kZ）m f （Xo,yo） =2 f （xo,yo）hikm-.ex cy 0 ex cy证 与定理17.8的证明一样.作函数（t） = f （x0 +th, y0 + tk）.由定理的假设，一元函数（t）在0,11上满足一元函数泰列定理条件 ，于是有不 不 （0） （0）（1）=（0） + + +- +1! 2!5）（0） E（） a+ （0丈9n! （n +1）!应用复合函数求导

11、法则，可求得（t）的各阶导数：（t） = （h + k ）m f（X0 +th, y。+tk）. （m =1,2,n +1）.ex cy当t = 0时,则有（m）（0） =（h+k ）mf（X0,y0） （m =1,2，,n）.（11）（12）（13）若略去余项，并让 X =1.08, y =3.96,，则有（1.08 丫.96 上1 +4xO.O8 +6xO.O82 -O.O8xO.O4 =1.3552 与 1例7的结果相比较，这是更接近于真值 （1.356307）的近似值因为微分近似式相当于现在的一阶泰勒公式.极值问题多元函数的极值问题是多元函数微分学的重要应用，这里仍以二元函数为例进行讨

12、论.定义 设函数f在点F0（xo,yo ）的某邻域U （R ）内有定义.若对于任何点P（x,y戶U（Po ），成立不等式f（P ） f （Po）（或 f（P）二 f（Po）,则称函数f在点Po取得极大（或极小）值，点Po称为f的极大（或极小）值点.极大值、 极小值统称极值极大值点、极小值点统称 极值点.注意：这里所讨论的极值点只限于定义域的内点.X2 + y2 f （0,0） =0 ；对函数（x, y）亡x, y）g（x, y） g（0,0） =1 ;而对于函数h ,在原点的任意小邻域内， 既含有使h（x, y）0的I、川象限中的点，又含有使 h（x, y）2q（ix , Ay ）.从而对于充

13、分小的 U（P0）, 只要 （X, y）U（P0） 就有f（x,y ） f（X0,y0 ）Xq（Ax2 +Ay2 ）+ogx2 +Ay2 ）=（Ax2 +Ay2 jjq+（1）3 0 即f在点（X0,y0）取得极小值.同理可证H f（P0）为负定矩阵时，f在P0取得极大值.最后，当Hf（P0）不定时，f在P0不取极值.这是因为倘若f取极值（例如取极大值）， 则沿任何过 P0 的直线 X = X0 +1比X, y = y0 + Uy, f （x, y） = f（X0 +1也x, y0 + ty） = W（t）, 在t = 0亦取极大值.由一元函数取极值的充分条件 （0） A 0是不可能的（否则W

14、在t = 0 将取极小值），故W（0）兰0.而（t） = f3x + fyAy,护（t） = fxx&2+2fx3xy +fyyAy2, W（O）=（MyHf（P0）（AxAyy.这表明H f （P0）必须是负半定的。同理，倘若 f取极小值，则将导致 H f （P0）必须是正半定的。也就是说，当 f在P0取极值时，Hf（P0）必须时正半定或负半定矩阵，但这与假设 定理17.11又可写成如下比较相矛盾.根据正半定或负半定对称阵所属主子行列式的符号规则， 实用的形式：若函数（i ）当（ii ）当（iii）当（fxxfyy - fXy）（P0 k0时，f在点P。不能取得极值；（iv ）当（fxxfy

15、y - fXy）（P0 ）=0时，不能肯定f在点P。是否取得极值.例 6 求 f（X, y） =x2 +5y2 -6x+10y+6 的极值.解由方程组I fx =2x-6 = o,jfy =10 y +10 =0得f的稳定点Po（3,1），由于fxx（Po ）=2, fxy（Po ）=0, fyy（Po）=1O,（fxxfyy-fx2）（Po）=2O.因为f在点P。取得极小值f （3,-1） = -8.又因f处处存在偏导数，故（3,-1）为f的惟一极 值点.例7讨论f（x,yx2 + xy是否存在极值.解 由方程组fx = 2x中y = 0, fy = x = 0得稳定点为原点.因fxx fy

16、y - fx： = -1 0,（图 17-7）,所以函数 y v2x 时 f（X, y） 2x 或y 0,SgSEp S20p =36a A。，因此S在此稳定点上取得极小值.因为面积函数 S在定义域中处处存在偏导数，又因此时 a = P =7,而具体问题存在最小值，故外三角形中以正三角形的面积为最小.例10 （最小二乘法问题） 设通过观测或实验得到一列点 （Xjyj ）i =1,2,n.。它们大体上在一条直线上，即大体上可用直线方程来反映变量 x与y之间的对应关系（参见图17- 9）.现在要确定一直线使得与这 n个点的偏差平方和最小（最小二乘方） .解 设所求直线方程为y =ax +b,所测得

17、的n个点为（Xj, % ）（i =1,2，n.）.现要确定 a,b，使得nf （a,b） =2 （aXi +b yi）i 4为最小.为此，令fa =22 Xi（a + b-yi） =0, j y n! fb =2送（aXi +b yj =0,L y把这组关于a,b的线性方程加以整理，得n n naW Xi +bW Xi = Xiyi =0i zt i 4 i 4n naS Xi +bn = S yi.i经 y求此方程组的解，即得 f（a,b）的稳定点-乍Xi Jl-fz Xi yi is 人 r n Y Z XiJV 丿n 2nS XiXi2 F yi人7 .n 2 n 送 Xi i 二为进一步确定该点是极小值点，我们计算得作业布置：P141 1（2）,（7）;2;7（2）;