初中数学函数知识点总结Word文档下载推荐.docx
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点P与点p'
关于x轴对称横坐标相等，纵坐标互为相反数
关于y轴对称纵坐标相等，横坐标互为相反数
点P与点p'
关于原点对称横、纵坐标均互为相反数6、点到坐标轴及原点的距离
点P（x,y）到坐标轴及原点的距离：
（1）点P（x,y）到x轴的距离等于y
（2）点P（x,y）到y轴的距离等于x
（3）点P（x,y）到原点的距离等于x+y
知识点三、函数及其相关概念
1、变量与常量在某一变化过程中，可以取不同数值的量叫做变量，数值保持不变的量叫做常量。
一般地，在某一变化过程中有两个变量x与y，如果对于x的每一个值，y都有唯一确定的值与它对应，那么就说x是自变量，y是x的函数。
2、函数解析式用来表示函数关系的数学式子叫做函数解析式或函数关系式。
使函数有意义的自变量的取值的全体，叫做自变量的取值范围。
3、函数的三种表示法及其优缺点
（1）解析法两个变量间的函数关系，有时可以用一个含有这两个变量及数字运算符号的等式表示，这种表示法叫做解析法。
（2）列表法
把自变量x的一系列值和函数y的对应值列成一个表来表示函数关系，这种表示法叫做列表法。
（3）图像法用图像表示函数关系的方法叫做图像法。
4、由函数解析式画其图像的一般步骤
（1）列表：
列表给出自变量与函数的一些对应值
（2）描点：
以表中每对对应值为坐标，在坐标平面内描出相应的点
（3）连线：
按照自变量由小到大的顺序，把所描各点用平滑的曲线连接起来。
知识点四、正比例函数和一次函数
1、正比例函数和一次函数的概念
一般地，如果y=kx+b（k，b是常数，k0），那么y叫做x的一次函数。
特别地，当一次函数y=kx+b中的b为0时，y=kx（k为常数，k0）。
这时，y叫做x的正比例函数。
2、一次函数的图像所有一次函数的图像都是一条直线
3、一次函数、正比例函数图像的主要特征：
一次函数y=kx+b的图像是经过点（0，b）的直线；
正比例函数y=kx的图像是经过原点（0，0）的直线。
k的符
b的符
函数图像
图像特征
k>
b>
y0x
图像经过一、二、三象限，y随x的增大而增大。
y
b<
x
图像经过一、三、四象限，y随x的增大而增大。
k<
图像经过一、二、四象限，y随x的增大而减小
图像经过二、三、四象限，y随x的增大而减小。
注：
当b=0时，
一次函数变为正比例函数，
正比例函数是一次函数的特例。
4、正比例函数的性质
一般地，正比例函数y=kx有下列性质：
（1）当k>
0时，图像经过第一、三象限，y随x的增大而增大，图像从左之右上升；
（2）当k<
0时，图像经过第二、四象限，y随x的增大而减小，图像从左之右下降。
5、一次函数的性质
一般地，一次函数y=kx+b有下列性质：
（1）当k>
0时，y随x的增大而增大
0时，y随x的增大而减小
（3）当b>
0时，直线与y轴交点在y轴正半轴上
（4）当b<
0时，直线与y轴交点在y轴负半轴上
6、正比例函数和一次函数解析式的确定
确定一个正比例函数，就是要确定正比例函数定义式y=kx（k0）中的常数k。
确定一个一次函数，需要确定一次函数定义式y=kx+b（k0）中的常数k和b。
解这类问题的一般方法是待定系数法知识点五、反比例函数
1、反比例函数的概念
k
一般地，函数y=k（k是常数，k0）叫做反比例函数。
反比例函数的解析式也可以x
写成y=kx-1或xy=k的形式。
自变量x的取值范围是x0的一切实数，函数的取值范围也是一切非零实数。
2、反比例函数的图像反比例函数的图像是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限，或第二、四象限，它们关于原点对称。
由于反比例函数中自变量x0，函数y0，所以，它的图像与x轴、y轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴。
3、反比例函数的性质
反比例函数
y=k（k0）
k的符
图像
Ox
性质
①x的取值范围是x0，
y的取值范围是y0；
②当k>
0时，函数图像的两个分支分别在第一、三象限。
在每个象限内，y随x的增大而减小。
②当k<
0时，函数图像的两个分支分别在第二、四象限。
在每个象限内，y随x的增大而增大。
4、反比例函数解析式的确定
确定解析式的方法仍是待定系数法。
由于在反比例函数y=k中，只有一个待定系数，x
因此只需要一对对应值或图像上的一个点的坐标，即可求出k的值，从而确定其解析式。
5、反比例函数中反比例系数的几何意义
若过反比例函数y=k（k0）图像上任一点P作x轴、y轴的垂线PM，PN，则所得的x
矩形PMON的面积S=PM•PN=y•x=xy。
y=k,xy=k,S=k。
知识点六、二次函数的概念和图像
1、二次函数的概念
一般地，如果y=ax2+bx+c（a,b,c是常数，a0），特别注意a不为零，那么y叫做x的二次函数。
y=ax2+bx+c（a,b,c是常数，a0）叫做二次函数的一般式。
2、二次函数的图像
二次函数的图像是一条关于x=-b对称的曲线，这条曲线叫抛物线。
2a抛物线的主要特征（也叫抛物线的三要素）：
①有开口方向；
②有对称轴；
③有顶点。
3、二次函数图像的画法
五点法：
（1）先根据函数解析式，求出顶点坐标，在平面直角坐标系中描出顶点M，并用虚线画出对称轴
（2）求抛物线y=ax2+bx+c与坐标轴的交点：
当抛物线与x轴有两个交点时，描出这两个交点A,B及抛物线与y轴的交点C，再找到点C的对称点D。
将这五个点按从左到右的顺序连接起来，并向上或向下延伸，就得到二次函数的图像。
当抛物线与x轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与y轴的交点C及对称点D。
由C、M、D三点可粗略地画出二次函数的草图。
如果需要画出比较精确的图像，可再描出一对对称点A、B，然后顺次连接五点，画出二次函数的图像。
知识点七、二次函数的基本形式
1.二次函数基本形式：
y=ax2的性质：
a的符号
开口方向
顶点坐标
对称轴
a0
向上
（0，0）
y轴
x0时，y随x的增大而增大；
x0时，y随x的增大而减小；
x=0时，y有最小值0．
向下
x0时，y随x的增大而减小；
x0时，y随x的增大而增大；
x=0时，y有最大值0．
a的绝对
值越大，抛物线的开口越
小。
2.y=ax2+c的性质：
二次函数y=ax2+c的图像可由y=ax2的图像上下平移得到（平移规律：
上加下减）。
（0，c）
x0时，y随x的增大而增大；
x0时，y随x的增大而减小；
x=0时，y有最小值c．
x0时，y随x的增大而减小；
x0时，y随x的增大而增大；
x=0时，y有最大值c．
3.y=a（x-h）2的性质：
二次函数y=a（x-h）2的图像可由y=ax2的图像左右平移得到（平移规律：
左加右减）。
（h，0）
X=h
xh时，y随x的增大而增大；
xh时，y随x的增大而减小；
x=h时，y有最小值0．
xh时，y随x的增大而减小；
xh时，y随x的增大而增大；
x=h时，y有最大值0．
4.y=a（x-h）2+k的性质：
（h，k）
xh时，y随x的增大而减小；
x=h时，y有最小值k．
xh时，y随x的增大而增大；
x=h时，y有最大值k．
知识点八、二次函数解析式的表示方法
1.一般式：
y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a0）；
2.顶点式：
y=a（x-h）2+k（a，h，k为常数，a0）；
3.两点式：
y=a（x-x1）（x-x2）（a0，x1，x2是抛物线与x轴两交点的横坐标）.注意：
任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成两点式，只有抛物线与x轴有交点，即b2-4ac0时，抛物线的解析式才可以用两
点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.
a的绝对值越大，抛物线的开口越小。
知识点九、二次函数解析式的确定根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：
1.已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；
2.已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；
3.已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般选用两点式；
4.已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．
知识点十、二次函数的最值如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值），即当
b4ac-b2
x=-2a时，y最值=4a
如果自变量的取值范围是x1xx2，那么，首先要看-b是否在自变量取值范围
122a
b4ac-b2
x1xx2内，若在此范围内，则当x=-2ba时，y最值=4ac4-ab；
若不在此范围内，则
需要考虑函数在x1xx2范围内的增减性，如果在此范围内，y随x的增大而增大，则当x=x时，y=ax2+bx+c，当x=x时，y=ax2+bx+c；
如果在此范围内，
y随x的增大而减小，则当x=x时，y=ax2+bx+c，当x=x时，y最小=ax22+bx2+c。
知识点十一、二次函数的性质
1、二次函数的性质
函数
二次函数
y=ax2+bx+c（a,b,c是常数，a0）
a>
a<
0x
2、二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x轴交点情况）：
一元二次方程ax2+bx+c=0是二次函数y=ax2+bx+c当函数值y=0时的特殊情况.图象与x轴的交点个数：
1当=b2-4ac0时，图象与x轴交于两点A（x1，0），B（x2，0）（x1x2），其中的
x，x是一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）的两根．这两点间的距离
AB=x
b2-4ac
2-x1=
21a
推导过程：
若抛物线y=ax2+bx+c与x轴两交点为A（x1，0），B（x2，0），由于x1、
x是方程ax2+bx+c=0的两个根，故
bc
x1+x2=-,x1x2=
aa
AB=x1-x2=（x1-x2）2=（x1+x2）2-4x1x2
2当=0时，图象与x轴只有一个交点；
3当0时，图象与x轴没有交点.
1'
当a0时，图象落在x轴的上方，无论x为任何实数，都有y0；
2'
当a0时，图象落在x轴的下方，无论x为任何实数，都有y0．记忆规律：
一元二次方程的解是其对应的二次函数的图像与x轴的交点坐标。
因此一元二次方程中的=b2-4ac，在二次函数中表示图像与x轴是否有交点。
当>
0时，图像与x轴有两个交点；
当=0时，图像与x轴有一个交点；
当<
0时，图像与x轴没有交点。
知识点十二中考二次函数压轴题常考公式（必记必会，理解记忆）
1、两点间距离公式（当遇到没有思路的题时，可用此方法拓展思路，以寻求解题方法）
如图：
点A坐标为（x1，y1）点B坐标为（x2，y2）
则AB间的距离，即线段AB的长度为（x1-x2）2+（y1-y2）2A
2、二次函数图象的平移
1将抛物线解析式转化成顶点式y=a（x-h）2+k，确定其顶点坐标（h，k）；
2保持抛物线y=ax2的形状不变，将其顶点平移到（h，k）处，具体平移方法如下：
（2）b和a共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是直线
x=-，故：
①b=0时，对称轴为y轴；
②0（即a、b同号）时，对称轴2aa
在y轴左侧；
③b0（即a、b异号）时，对称轴在y轴右侧.（口诀左同右异）a
3）c的大小决定抛物线y=ax2+bx+c与y轴交点的位置.
当x=0时，y=c，∴抛物线y=ax2+bx+c与y轴有且只有一个交点（0，c）：
①c=0，抛物线经过原点;
②c0,与y轴交于正半轴；
③c0,与y轴交于负半轴.
以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在y轴右侧，则
b0.
知识点十四、中考点击
考点分析：
内容
要求
1、函数的概念和平面直角坐标系中某些点的坐标特点
Ⅰ
2、自变量与函数之间的变化关系及图像的识别，理解图像与变量的关系
3、一次函数的概念和图像
4、一次函数的增减性、象限分布情况，会作图
Ⅱ
5、反比例函数的概念、图像特征，以及在实际生活中的应用
6、二次函数的概念和性质，在实际情景中理解二次函数的意义，会利用二次
函数刻画实际问题中变量之间的关系并能解决实际生活问题
命题预测：
函数是数形结合的重要体现，是每年中考的必考内容，函数的概念主要用选择、填空的形式考查自变量的取值范围，及自变量与因变量的变化图像、平面直角坐标系等，一般占3-6分左右．一次函数与一次方程有紧密地联系，是中考必考内容，一般以填空、选择、解答题及综合题的形式考查，占6分左右．反比例函数的图像和性质的考查常以客观题形式出现，要关注反比例函数与实际问题的联系，突出应用价值，3—6分；
二次函数是初中数学的一个十分重要的内容，是中考的热点，多以压轴题出现在试卷中．要求：
能通过对实际问题情景分析确定二次函数的表达式，并体会二次函数的意义；
会用描点法画二次函数图像，能丛图像上分析二次函数的性质；
会根据公式确定图像的顶点、开口方向和对称轴，并能解决实际问题．会求一元二次方程的近似值．
分析近年中考，预计2014年除了继续考查自变量的取值范围及自变量与因变量之间的变化图像，一次函数的图像和性质，在实际问题中考查对反比例函数的概念及性质的理解．同时将注重考查二次函数，特别是二次函数的在实际生活中应用．
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