热点二 基本不等式的应用
例2
（1）（2014·湖北）某项研究表明：
在考虑行车安全的情况下，某路段车流量F（单位时间内经过测量点的车辆数，单位：
辆/时）与车流速度v（假设车辆以相同速度v行驶，单位：
米/秒）、平均车长l（单位：
米）的值有关，其公式为F＝.
①如果不限定车型，l＝6.05，则最大车流量为________辆/时；
②如果限定车型，l＝5，则最大车流量比①中的最大车流量增加________辆/时．
（2）（2013·山东改编）设正实数x，y，z满足x2－3xy＋4y2－z＝0，则当取得最大值时，＋－的最大值为________．
思维启迪
（1）把所给l值代入，分子分母同除以v，构造基本不等式的形式求最值；
（2）关键是寻找取得最大值时的条件．
答案
（1）①1900 ②100
（2）1
解析
（1）①当l＝6.05时，F＝
＝≤＝＝1900.
当且仅当v＝11米/秒时等号成立，此时车流量最大为1900辆/时．
②当l＝5时，F＝＝≤＝＝2000.
当且仅当v＝10米/秒时等号成立，此时车流量最大为2000辆/时，比①中的最大车流量增加100辆/时．
（2）由已知得z＝x2－3xy＋4y2，（*）
则＝＝≤1，当且仅当x＝2y时取等号，把x＝2y代入（*）式，得z＝2y2，
所以＋－＝＋－＝－2＋1≤1，
所以当且仅当y＝1时，＋－的最大值为1.
思维升华 在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”（即条件要求中字母为正数）、“定”（不等式的另一边必须为定值）、“等”（等号取得的条件）的条件才能应用，否则会出现错误．
（1）若点A（m，n）在第一象限，且在直线＋＝1上，则mn的最大值为________．
（2）已知关于x的不等式2x＋≥7在x∈（a，＋∞）上恒成立，则实数a的最小值为________．
答案
（1）3
（2）
解析
（1）因为点A（m，n）在第一象限，且在直线＋＝1上，所以m，n>0，且＋＝1.
所以·≤（）2（当且仅当＝＝，即m＝，n＝2时，取等号）．所以·≤，即mn≤3，
所以mn的最大值为3.
（2）2x＋＝2（x－a）＋＋2a
≥2·＋2a＝4＋2a，
由题意可知4＋2a≥7，得a≥，
即实数a的最小值为.
热点三 简单的线性规划问题
例3 （2013·湖北）某旅行社租用A、B两种型号的客车安排900名客人旅行，A、B两种车辆的载客量分别为36人和60人，租金分别为1600元/辆和2400元/辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，且B型车不多于A型车7辆，则租金最少为________元．
思维启迪 通过设变量将实际问题转化为线性规划问题．
答案 36800
解析 设租A型车x辆，B型车y辆时，租金为z元，
则z＝1600x＋2400y，且x，y满足
画出可行域如图，
直线y＝－x＋过点
A（5,12）时纵截距最小，
所以zmin＝5×1600＋2400×12＝36800，
故租金最少为36800元．
思维升华
（1）线性规划问题一般有三种题型：
一是求最值；二是求区域面积；三是确定目标函数中的字母系数的取值范围．
（2）解决线性规划问题首先要找到可行域，再注意目标函数所表示的几何意义，利用数形结合找到目标函数的最优解．（3）对于应用问题，要准确地设出变量，确定可行域和目标函数．
（1）已知实数x，y满足约束条件，则w＝的最小值是________．
（2）（2013·北京）设关于x，y的不等式组表示的平面区域内存在点P（x0，y0），满足x0－2y0＝2，求得m的取值范围是________．
答案
（1）1
（2）
解析
（1）画出可行域，如图所示．
w＝表示可行域内的点（x，y）与定点P（0，－1）连线的斜率，观察图形可知PA的斜率最小为＝1.
（2）当m≥0时，若平面区域存在，则平面区域内的点在第二象限，平面区域内不可能存在点P（x0，y0）满足x0－2y0＝2，因此m<0.
如图所示的阴影部分为不等式组表示的平面区域．
要使可行域内包含y＝x－1上的点，只需可行域边界点
（－m，m）在直线y＝x－1的下方即可，即m<－m－1，解得m<－.
1．几类不等式的解法
一元二次不等式解集的端点值是相应一元二次方程的根，也是相应的二次函数图象与x轴交点的横坐标，即二次函数的零点；分式不等式可转化为整式不等式（组）来解；以函数为背景的不等式可利用函数的单调性进行转化．
2．基本不等式的作用
二元基本不等式具有将“积式”转化为“和式”或将“和式”转化为“积式”的放缩功能，常常用于比较数（式）的大小或证明不等式或求函数的最值或解决不等式恒成立问题．解决问题的关键是弄清分式代数式、函数解析式、不等式的结构特点，选择好利用基本不等式的切入点，并创造基本不等式的应用背景，如通过“代换”、“拆项”、“凑项”等技巧，改变原式的结构使其具备基本不等式的应用条件．利用基本不等式求最值时要注意“一正、二定、三相等”的条件，三个条件缺一不可．
3．线性规划问题的基本步骤
（1）定域——画出不等式（组）所表示的平面区域，注意平面区域的边界与不等式中的不等号的对应；
（2）平移——画出目标函数等于0时所表示的直线l，平行移动直线，让其与平面区域有公共点，根据目标函数的几何意义确定最优解，注意要熟练把握最常见的几类目标函数的几何意义；
（3）求值——利用直线方程构成的方程组求解最优解的坐标，代入目标函数，求出最值.
真题感悟
1．（2014·山东改编）已知实数x，y满足ax①>；②ln（x2＋1）>ln（y2＋1）；
③sinx>siny;④x3>y3.
答案 ④
解析 因为0y.采用赋值法判断，①中，当x＝1，y＝0时，<1，①不成立．②中，当x＝0，y＝－1时，ln12．（2014·浙江）当实数x，y满足时，1≤ax＋y≤4恒成立，则实数a的取值范围是________．
答案 [1，]
解析 画可行域如图所示，设目标函数z＝ax＋y，即y＝－ax＋z，要使1≤z≤4恒成立，则a>0，数形结合知，满足即可，解得1≤a≤.所以a的取值范围是1≤a≤.
押题精练
1．为了迎接2015年3月8日的到来，某商场举行了促销活动，经测算某产品的销售量P万件（生产量与销售量相等）与促销费用x万元满足P＝3－，已知生产该产品还需投入成本（10＋2P）万元（不含促销费用），产品的销售价格定为（4＋）万元/万件，则促销费用投入________万元时，厂家的利润最大？
答案 1
解析 设该产品的利润为y万元，由题意知，该产品售价为2×（）万元，所以y＝2×（）×P－10－2P－x＝16－－x（x>0），所以y＝17－（＋x＋1）≤17－2＝13（当且仅当＝x＋1，即x＝1时取等号），所以促销费用投入1万元时，厂家的利润最大．
2．若点P（x，y）满足线性约束条件点A（3，），O为坐标原点，则·的最大值为________．
答案 6
解析 由题意，知＝（3，），＝（x，y），则·＝3x＋y.
令z＝3x＋y，
如图画出不等式组所表示的可行域，
可知当直线y＝－x＋z经过点B时，z取得最大值．
由解得即B（1，），故z的最大值为3×1＋×＝6.
即·的最大值为6.
3．如果关于x的不等式f（x）<0和g（x）<0的解集分别为（a，b），（，），那么称这两个不等式为“对偶不等式”，如果不等式x2－4xcos2θ＋2<0与不等式2x2＋4xsin2θ＋1<0为“对偶不等式”，且θ∈（
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