小学数学应用题各类型详解大全Word文档格式.docx
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公约公倍问题30
29
最值问题31
30
列方程问题32
1
归一问题
【含义】在解题时，先求出一份是多少（即单一量），然后以单一量为标准，求出所要求的数量。
这类应用题叫做归一问题。
【数量关系】总量÷
份数＝1份数量
1份数量×
所占份数＝所求几份的数量
另一总量÷
（总量÷
份数）＝所求份数
【解题思路和方法】先求出单一量，以单一量为标准，求出所要求的数量。
例1
买5支铅笔要0.6元钱，买同样的铅笔16支，需要多少钱？
解：
（1）买1支铅笔多少钱？
0.6÷
5＝0.12（元）
（2）买16支铅笔需要多少钱？
0.12×
16＝1.92（元）
列成综合算式
5×
16＝0.12×
答：
需要1.92元。
例2
3台拖拉机3天耕地90公顷，5台拖拉机6天耕地多少公顷？
（1）1台拖拉机1天耕地多少公顷？
90÷
3÷
3＝10（公顷）
（2）5台拖拉机6天耕地多少公顷？
10×
6＝300（公顷）
3×
6＝10×
30＝300（公顷）
5台拖拉机6天耕地300公顷。
例3
5辆汽车4次可以运送100吨钢材，如果用同样的7辆汽车运送105吨钢材，需要运几次？
（1）1辆汽车1次能运多少吨钢材？
100÷
5÷
4＝5（吨）
（2）7辆汽车1次能运多少吨钢材？
5×
7＝35（吨）
（3）105吨钢材7辆汽车需要运几次？
105÷
35＝3（次）
（100÷
4×
7）＝3（次）
需要运3次。
归总问题
【含义】解题时，常常先找出“总数量”，然后再根据其它条件算出所求的问题，叫归总问题。
所谓“总数量”是指货物的总价、几小时（几天）的总工作量、几公亩地上的总产量、几小时行的总路程等。
【数量关系】
1份数量×
份数＝总量
总量÷
1份数量＝份数
总量÷
另一份数＝另一每份数量
【解题思路和方法】
先求出总数量，再根据题意得出所求的数量。
服装厂原来做一套衣服用布3.2米，改进裁剪方法后，每套衣服用布2.8米。
原来做791套衣服的布，现在可以做多少套？
（1）这批布总共有多少米？
3.2×
791＝2531.2（米）
（2）现在可以做多少套？
2531.2÷
2.8＝904（套）
791÷
现在可以做904套。
小华每天读24页书，12天读完了《红岩》一书。
小明每天读36页书，几天可以读完《红岩》？
（1）《红岩》这本书总共多少页？
24×
12＝288（页）
（2）小明几天可以读完《红岩》？
288÷
36＝8（天）
12÷
小明8天可以读完《红岩》。
食堂运来一批蔬菜，原计划每天吃50千克，30天慢慢消费完这批蔬菜。
后来根据大家的意见，每天比原计划多吃10千克，这批蔬菜可以吃多少天？
（1）这批蔬菜共有多少千克？
50×
30＝1500（千克）
（2）这批蔬菜可以吃多少天？
1500÷
（50＋10）＝25（天）
30÷
（50＋10）＝1500÷
60＝25（天）
这批蔬菜可以吃25天。
和差问题
【含义】已知两个数量的和与差，求这两个数量各是多少，这类应用题叫和差问题。
大数＝（和＋差）÷
2
小数＝（和－差）÷
【解题思路和方法】简单的题目可以直接套用公式；
复杂的题目变通后再用公式。
甲乙两班共有学生98人，甲班比乙班多6人，求两班各有多少人？
甲班人数＝（98＋6）÷
2＝52（人）
乙班人数＝（98－6）÷
2＝46（人）
甲班有52人，乙班有46人。
长方形的长和宽之和为18厘米，长比宽多2厘米，求长方形的面积。
长＝（18＋2）÷
2＝10（厘米）
宽＝（18－2）÷
2＝8（厘米）
长方形的面积＝10×
8＝80（平方厘米）
长方形的面积为80平方厘米。
有甲乙丙三袋化肥，甲乙两袋共重32千克，乙丙两袋共重30千克，甲丙两袋共重22千克，求三袋化肥各重多少千克。
甲乙两袋、乙丙两袋都含有乙，从中可以看出甲比丙多（32－30）＝2（千克），且甲是大数，丙是小数。
由此可知
甲袋化肥重量＝（22＋2）÷
2＝12（千克）
丙袋化肥重量＝（22－2）÷
2＝10（千克）
乙袋化肥重量＝32－12＝20（千克）
甲袋化肥重12千克，乙袋化肥重20千克，丙袋化肥重10千克。
例4
甲乙两车原来共装苹果97筐，从甲车取下14筐放到乙车上，结果甲车比乙车还多3筐，两车原来各装苹果多少筐？
“从甲车取下14筐放到乙车上，结果甲车比乙车还多3筐”，这说明甲车是大数，乙车是小数，甲与乙的差是（14×
2＋3），甲与乙的和是97，因此
甲车筐数＝（97＋14×
2＋3）÷
2＝64（筐）
乙车筐数＝97－64＝33（筐）
甲车原来装苹果64筐，乙车原来装苹果33筐。
和倍问题
【含义】
已知两个数的和及大数是小数的几倍（或小数是大数的几分之几），要求这两个数各是多少，这类应用题叫做和倍问题。
总和÷
（几倍＋1）＝较小的数
总和－较小的数＝较大的数
较小的数×
几倍＝较大的数
【解题思路和方法】简单的题目直接利用公式，复杂的题目变通后利用公式。
果园里有杏树和桃树共248棵，桃树的棵数是杏树的3倍，求杏树、桃树各多少棵？
（1）杏树有多少棵？
248÷
（3＋1）＝62（棵）
（2）桃树有多少棵？
62×
3＝186（棵）
杏树有62棵，桃树有186棵。
东西两个仓库共存粮480吨，东库存粮数是西库存粮数的1.4倍，求两库各存粮多少吨？
（1）西库存粮数＝480÷
（1.4＋1）＝200（吨）
（2）东库存粮数＝480－200＝280（吨）
东库存粮280吨，西库存粮200吨。
例3甲站原有车52辆，乙站原有车32辆，若每天从甲站开往乙站28辆，从乙站开往甲站24辆，几天后乙站车辆数是甲站的2倍？
每天从甲站开往乙站28辆，从乙站开往甲站24辆，相当于每天从甲站开往乙站（28－24）辆。
把几天以后甲站的车辆数当作1倍量，这时乙站的车辆数就是2倍量，两站的车辆总数（52＋32）就相当于（2＋1）倍，
那么，几天以后甲站的车辆数减少为
（52＋32）÷
（2＋1）＝28（辆）
所求天数为
（52－28）÷
（28－24）＝6（天）
6天以后乙站车辆数是甲站的2倍。
甲乙丙三数之和是170，乙比甲的2倍少4，丙比甲的3倍多6，求三数各是多少？
乙丙两数都与甲数有直接关系，因此把甲数作为1倍量。
因为乙比甲的2倍少4，所以给乙加上4，乙数就变成甲数的2倍；
又因为丙比甲的3倍多6，所以丙数减去6就变为甲数的3倍；
这时（170＋4－6）就相当于（1＋2＋3）倍。
那么，
甲数＝（170＋4－6）÷
（1＋2＋3）＝28
乙数＝28×
2－4＝52
丙数＝28×
3＋6＝90
甲数是28，乙数是52，丙数是90。
差倍问题
【含义】已知两个数的差及大数是小数的几倍（或小数是大数的几分之几），要求这两个数各是多少，这类应用题叫做差倍问题。
两个数的差÷
（几倍－1）＝较小的数
较小的数×
几倍＝较大的数
果园里桃树的棵数是杏树的3倍，而且桃树比杏树多124棵。
求杏树、桃树各多少棵？
124÷
（3－1）＝62（棵）
果园里杏树是62棵，桃树是186棵。
爸爸比儿子大27岁，今年，爸爸的年龄是儿子年龄的4倍，求父子二人今年各是多少岁？
（1）儿子年龄＝27÷
（4－1）＝9（岁）
（2）爸爸年龄＝9×
4＝36（岁）
父子二人今年的年龄分别是36岁和9岁。
商场改革经营管理办法后，本月盈利比上月盈利的2倍还多12万元，又知本月盈利比上月盈利多30万元，求这两个月盈利各是多少万元？
如果把上月盈利作为1倍量，则（30－12）万元就相当于上月盈利的（2－1）倍，因此
上月盈利＝（30－12）÷
（2－1）＝18（万元）
本月盈利＝18＋30＝48（万元）
上月盈利是18万元，本月盈利是48万元。
粮库有94吨小麦和138吨玉米，如果每天运出小麦和玉米各是9吨，问几天后剩下的玉米是小麦的3倍？
由于每天运出的小麦和玉米的数量相等，所以剩下的数量差等于原来的数量差（138－94）。
把几天后剩下的小麦看作1倍量，则几天后剩下的玉米就是3倍量，那么，（138－94）就相当于（3－1）倍，因此
剩下的小麦数量＝（138－94）÷
（3－1）＝22（吨）
运出的小麦数量＝94－22＝72（吨）
运粮的天数＝72÷
9＝8（天）
8天以后剩下的玉米是小麦的3倍。
倍比问题
有两个已知的同类量，其中一个量是另一个量的若干倍，解题时先求出这个倍数，再用倍比的方法算出要求的数，这类应用题叫做倍比问题。
总量÷
一个数量＝倍数
另一个数量×
倍数＝另一总量
先求出倍数，再用倍比关系求出要求的数。
例1100千克油菜籽可以榨油40千克，现在有油菜籽3700千克，可以榨油多少？
（1）3700千克是100千克的多少倍？
3700÷
100＝37（倍）
（2）可以榨油多少千克？
40×
37＝1480（千克）
40×
（3700÷
100）＝1480（千克）
可以榨油1480千克。
今年植树节这天，某小学300名师生共植树400棵，照这样计算，全县48000名师生共植树多少棵？
（1）48000名是300名的多少倍？
48000÷
300＝160（倍）
（2）共植树多少棵？
400×
160＝64000（棵）
400×
（48000÷
300）＝64000（棵）
全县48000名师生共植树64000棵。
凤翔县今年苹果大丰收，田家庄一户人家4亩果园收入11111元，照这样计算，全乡800亩果园共收入多少元？
全县16000亩果园共收入多少元？
（1）800亩是4亩的几倍？
800÷
4＝200（倍）
（2）800亩收入多少元？
11111×
200＝2222200（元）
（3）16000亩是800亩的几倍？
16000÷
800＝20（倍）
（4）16000亩收入多少元？
2222200×
20＝44444000（元）
全乡800亩果园共收入2222200元，全县16000亩果园共收入44444000元。
相遇问题
两个运动的物体同时由两地出发相向而行，在途中相遇。
这类应用题叫做相遇问题。
相遇时间＝总路程÷
（甲速＋乙速）
总路程＝（甲速＋乙速）×
相遇时间
简单的题目可直接利用公式，复杂的题目变通后再利用公式。
南京到上海的水路长392千米，同时从两港各开出一艘轮船相对而行，从南京开出的船每小时行28千米，从上海开出的船每小时行21千米，经过几小时两船相遇？
392÷
（28＋21）＝8（小时）
经过8小时两船相遇。
小李和小刘在周长为400米的环形跑道上跑步，小李每秒钟跑5米，小刘每秒钟跑3米，他们从同一地点同时出发，反向而跑，那么，二人从出发到第二次相遇需多长时间？
“第二次相遇”可以理解为二人跑了两圈。
因此总路程为400×
2
相遇时间＝（400×
2）÷
（5＋3）＝100（秒）
二人从出发到第二次相遇需100秒时间。
甲乙二人同时从两地骑自行车相向而行，甲每小时行15千米，乙每小时行13千米，两人在距中点3千米处相遇，求两地的距离。
“两人在距中点3千米处相遇”是正确理解本题题意的关键。
从题中可知甲骑得快，乙骑得慢，甲过了中点3千米，乙距中点3千米，就是说甲比乙多走的路程是（3×
2）千米，因此，
相遇时间＝（3×
（15－13）＝3（小时）
两地距离＝（15＋13）×
3＝84（千米）
两地距离是84千米。
追及问题
两个运动物体在不同地点同时出发（或者在同一地点而不是同时出发，或者在不同地点又不是同时出发）作同向运动，在后面的，行进速度要快些，在前面的，行进速度较慢些，在一定时间之内，后面的追上前面的物体。
这类应用题就叫做追及问题。
追及时间＝追及路程÷
（快速－慢速）
追及路程＝（快速－慢速）×
追及时间
好马每天走120千米，劣马每天走75千米，劣马先走12天，好马几天能追上劣马？
（1）劣马先走12天能走多少千米？
75×
12＝900（千米）
（2）好马几天追上劣马？
900÷
（120－75）＝20（天）
列成综合算式
（120－75）＝900÷
45＝20（天）
好马20天能追上劣马。
小明和小亮在200米环形跑道上跑步，小明跑一圈用40秒，他们从同一地点同时出发，同向而跑。
小明第一次追上小亮时跑了500米，求小亮的速度是每秒多少米。
小明第一次追上小亮时比小亮多跑一圈，即200米，此时小亮跑了（500－200）米，要知小亮的速度，须知追及时间，即小明跑500米所用的时间。
又知小明跑200米用40秒，则跑500米用［40×
（500÷
200）］秒，所以小亮的速度是
（500－200）÷
［40×
200）］＝300÷
100＝3（米）
小亮的速度是每秒3米。
例3解放军追击一股逃窜的敌人，敌人在下午16点开始从甲地以每小时10千米的速度逃跑，解放军在晚上22点接到命令，以每小时30千米的速度开始从乙地追击。
已知甲乙两地相距60千米，问解放军几个小时可以追上敌人？
敌人逃跑时间与解放军追击时间的时差是（22－16）小时，这段时间敌人逃跑的路程是［10×
（22－6）］千米，甲乙两地相距60千米。
由此推知
追及时间＝［10×
（22－6）＋60］÷
（30－10）＝220÷
20＝11（小时）
解放军在11小时后可以追上敌人。
例4一辆客车从甲站开往乙站，每小时行48千米；
一辆货车同时从乙站开往甲站，每小时行40千米，两车在距两站中点16千米处相遇，求甲乙两站的距离。
这道题可以由相遇问题转化为追及问题来解决。
从题中可知客车落后于货车（16×
2）千米，客车追上货车的时间就是前面所说的相遇时间，
这个时间为
16×
2÷
（48－40）＝4（小时）
所以两站间的距离为
（48＋40）×
4＝352（千米）
列成综合算式（48＋40）×
［16×
（48－40）］＝88×
4＝352（千米）
甲乙两站的距离是352千米。
例5
兄妹二人同时由家上学，哥哥每分钟走90米，妹妹每分钟走60米。
哥哥到校门口时发现忘记带课本，立即沿原路回家去取，行至离校180米处和妹妹相遇。
问他们家离学校有多远？
要求距离，速度已知，所以关键是求出相遇时间。
从题中可知，在相同时间（从出发到相遇）内哥哥比妹妹多走（180×
2）米，这是因为哥哥比妹妹每分钟多走（90－60）米，那么，二人从家出走到相遇所用时间为
180×
（90－60）＝12（分钟）
家离学校的距离为
90×
12－180＝900（米）
家离学校有900米远。
例6
孙亮打算上课前5分钟到学校，他以每小时4千米的速度从家步行去学校，当他走了1千米时，发现手表慢了10分钟，因此立即跑步前进，到学校恰好准时上课。
后来算了一下，如果孙亮从家一开始就跑步，可比原来步行早9分钟到学校。
求孙亮跑步的速度。
手表慢了10分钟，就等于晚出发10分钟，如果按原速走下去，就要迟到（10－5）分钟，后段路程跑步恰准时到学校，说明后段路程跑比走少用了（10－5）分钟。
如果从家一开始就跑步，可比步行少9分钟，由此可知，行1千米，跑步比步行少用［9－（10－5）］分钟。
所以步行1千米所用时间为1÷
［9－（10－5）］＝0.25小时＝15分钟
跑步1千米所用时间为
15－［9－（10－5）］＝11（分钟）
跑步速度为每小时
1÷
11／60＝5.5（千米）
孙亮跑步速度为每小时5.5千米。
植树问题
按相等的距离植树，在距离、棵距、棵数这三个量之间，已知其中的两个量，要求第三个量，这类应用题叫做植树问题。
【数量关系】线形植树
棵数＝距离÷
棵距＋1
环形植树
棵距
方形植树
棵距－4
三角形植树
棵距－3
面积植树
棵数＝面积÷
（棵距×
行距）
先弄清楚植树问题的类型，然后可以利用公式。
例1一条河堤长136米，每隔2米栽一棵垂柳，头尾都栽，一共要栽多少棵垂柳？
136÷
2＋1＝68＋1＝69（棵）
一共要栽69棵垂柳。
一个圆形池塘周长为400米，在岸边每隔4米栽一棵白杨树，一共能栽多少棵白杨树？
400÷
4＝100（棵）
一共能栽100棵白杨树。
一个正方形的运动场，每边长220米，每隔8米安装一个照明灯，一共可以安装多少个照明灯？
220×
4÷
8－4＝110－4＝106（个）
一共可以安装106个照明灯。
给一个面积为96平方米的住宅铺设地板砖，所用地板砖的长和宽分别是60厘米和40厘米，问至少需要多少块地板砖？
96÷
（0.6×
0.4）＝96÷
0.24＝400（块）
至少需要400块地板砖。
一座大桥长500米，给桥两边的电杆上安装路灯，若每隔50米有一个电杆，每个电杆上安装2盏路灯，一共可以安装多少盏路灯？
（1）桥的一边有多少个电杆？
500÷
50＋1＝11（个）
（2）桥的两边有多少个电杆？
11×
2＝22（个）
（3）大桥两边可安装多少盏路灯？
22×
2＝44（盏）
大桥两边一共可以安装44盏路灯。
年龄问题
这类问题是根据题目的内容而得名，它的主要特点是两人的年龄差不变，但是，两人年龄之间的倍数关系随着年龄的增长在发生变化。
【数量关系】年龄问题往往与和差、和倍、差倍问题有着密切联系，尤其与差倍问题的解题思路是一致的，要紧紧抓住“年龄差不变”这个特点。
可以利用“差倍问题”的解题思路和方法。
例1爸爸今年35岁，亮亮今年5岁，今年爸爸的年龄是亮亮的几倍？
明年呢？
35÷
5＝7（倍）
（35+1）÷
（5+1）＝6（倍）
今年爸爸的年龄是亮亮的7倍，明年爸爸的年龄是亮亮的6倍。
母亲今年37岁，女儿今年7岁，几年后母亲的年龄是女儿的4倍？
（1）母亲比女儿的年龄大多少岁？
37－7＝30（岁）
（2）几年后母亲的年龄是女儿的4倍？
30÷
（4－1）－7＝3（年）
（37－7）÷
3年后母亲的年龄是女儿的4倍。
3年前父子的年龄和是49岁，今年父亲的年龄是儿子年龄的4倍，父子今年各多少岁？
今年父子的年龄和应该比3年前增加（3×
2）岁，
今年二人的年龄和为
49＋3×
2＝55（岁）
把今年儿子年龄作为1倍量，则今年父子年龄和相当于（4＋1）倍，因此，今年儿子年龄为
55÷
（4＋1）＝11（岁）
今年父亲年龄为
4＝44（岁）
今年父亲年龄是44岁，儿子年龄是11岁。
甲对乙说：
“当我的岁数曾经是你现在的岁数时，你才4岁”。
乙对甲说：
“当我的岁数将来是你现在的岁数时，你将61岁”。
求甲乙现在的岁数各是多少？
这里涉及到三个年份：
过去某一年、今年、将来某一年。
列表分析：
过去某一年
今年
将来某一年
甲
□岁
△岁
61岁
乙
4岁
表中两个“□”表示同一个数，两个“△”表示同一个数。
因为两个人的年龄差总相等：
□－4＝△－□＝61－△，也就是4，□，△，61成等差数列，所以，61应该比4大3个年龄差，因此二人年龄差为
（61－4）÷
3＝19（岁）
甲今年的岁数为
△＝61－19＝42（岁）
乙今年的岁数为
□＝42－19＝23（岁）
答：
甲今年的岁数是42岁，乙今年的岁数是23岁。
11
行船问题
行船问题也就是与航行有关的问题。
解答这类问题要弄清船速与水速，船速是船只本身航行的速度，也就是船只在静水中航行的速度；
水速是水流的速度，船只顺水航行的速度是船速与水速之和；
船只逆水航行的速度是船速与水速之差。
（顺水速度＋逆水速度）÷
2＝船速
（顺水速度－逆水速度）÷
2＝
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