全等三角形知识点讲解经典例题含答案Word格式.docx
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AB=AC，AB和AC是对应边，∠A是公共角，∠A和∠A是对应角，按对应边所对的角是对应角，对应角所对的边是对应边可求解.解析：
AB和AC是对应边，AD和AE、BD和CE是对应边，∠A和∠A是对应角，∠B和∠C，∠AEC和∠ADB是对应角.总结升华：
已知两对对应顶点，那么以这两对对应顶点为顶点的角是对应角，第三对角是对应角；
再由对应角所对的边是对应边，可找到对应边.已知两对对应边，第三对边是对应边，对应边所对的角是对应角.第1页共10页
举一反三：
【变式1】如图，△ABC≌△DBE.问线段AE和CD相等吗？
为什么？
【答案】证明：
由△ABC≌△DBE，得AB=DB,BC=BE，则AB-BE=DB-BC，即AE=CD。
【变式2】如右图，求证：
AE∥CF，。
【答案】∴AE∥CF2、如图，已知ΔABC≌ΔDEF，∠A=30°
，∠B=50°
，BF=2，求∠DFE的度数与EC的长。
思路点拨:
由全等三角形性质可知：
∠DFE=∠ACB，EC+CF=BF+FC，所以只需求∠ACB的度数与BF的长即可。
解析：
在ΔABC中，∠ACB=180°
-∠A-∠B，又∠A=30°
，所以∠ACB=100°
.又因为ΔABC≌ΔDEF，所以∠ACB=∠DFE，BC=EF（全等三角形对应角相等，对应边相等）。
所以∠DFE=100°
EC=EF-FC=BC-FC=FB=2。
总结升华：
全等三角形的对应角相等，对应边相等。
举一反三：
【变式1】如图所示，ΔACD≌ΔECD，ΔCEF≌ΔBEF，第2页共10页
∠ACB=90°
.求证：
（1）CD⊥AB；
（2）EF∥AC.【答案】
（1）因为ΔACD≌ΔECD，所以∠ADC=∠EDC（全等三角形的对应角相等）.因为∠ADC+∠EDC=180°
，所以∠ADC=∠EDC=90°
.所以CD⊥AB.
（2）因为ΔCEF≌ΔBEF,所以∠CFE=∠BFE（全等三角形的对应角相等）.因为∠CFE+∠BFE=180°
，所以∠CFE=∠BFE=90°
.因为∠ACB=90°
所以∠ACB=∠BFE.所以EF∥AC.类型二：
全等三角形的证明3、如图，AC＝BD，DF＝CE，∠ECB＝∠FDA，求证：
△ADF≌△BCE．思路点拨:
欲证△ADF≌△BCE，由已知可知已具备一边一角，由公理的条件判断还缺少这角的另一边，可通过AC＝BD而得解析：
∵AC＝BD（已知）∴AB-BD＝AB-AC（等式性质）即AD＝BC在△ADF与△BCE中∴△ADF≌△BCE（SAS）总结升华：
利用全等三角形证明线段（角）相等的一般方法和步骤如下：
（1）找到以待证角（线段）为内角（边）的两个三角形，
（2）证明这两个三角形全等；
（3）由全等三角形的性质得出所要证的角（线段）相等．举一反三：
【变式1】如图，已知AB∥DC，AB＝DC，求证：
AD∥BC【答案】∵AB∥CD第3页共10页
∴∠3＝∠4在△ABD和△CDB中∴△ABD≌△CDB（SAS）∴∠1＝∠2（全等三角形对应角相等）∴AD∥BC（内错角相等两直线平行）【变式2】如图，已知EB⊥AD于B，FC⊥AD于C，且EB＝FC，AB＝CD．求证AF＝DE．【答案】∵EB⊥AD（已知）∴∠EBD＝90°
（垂直定义）同理可证∠FCA＝90°
∴∠EBD＝∠FCA∵AB＝CD，BC＝BC∴AC＝AB+BC＝BC+CD＝BD在△ACF和△DBE中∴△ACF≌△DBE（S．A．S）∴AF＝DE（全等三角形对应边相等）类型三：
综合应用4、如图，AD为ΔABC的中线。
求证：
AB+AC&
gt;
2AD.思路点拨:
要证AB+AC&
2AD，由图想到：
AB+BD&
AD，AC+CD&
AD，所以AB+AC+BC&
2AD，所以不能直接证出。
由2AD想到构造一条线段等于2AD，即倍长中线。
延长AD至E，使DE=AD，连接BE因为AD为ΔABC的中线，所以BD=CD.在ΔACD和ΔEBD中，第4页共10页
所以ΔACD≌ΔEBD（SAS）.所以BE=CA.在ΔABE中，AB+BE&
AE，所以AB+AC&
2AD.总结升华：
通过构造三角形全等，将待求的线段放在同一个三角形中。
【变式1】已知：
如图，在RtΔABC中，AB=AC,∠BAC=90°
∠1=∠2，CE⊥BD的延长线于E，求证：
BD=2CE.【答案】分别延长CE、BA交于F.因为BE⊥CF,所以∠BEF=∠BEC=90°
.在ΔBEF和ΔBEC中，所以ΔBEF≌ΔBEC（ASA）.所以CE=FE=CF.又因为∠BAC=90°
BE⊥CF.所以∠BAC=∠CAF=90°
，∠1+∠BDA=90°
，∠1+∠BFC=90°
.所以∠BDA=∠BFC.在ΔABD和ΔACF中，所以ΔABD≌ΔACF（AAS）所以BD=CF.所以BD=2CE.5、如图，AB＝CD，BE＝DF，∠B＝∠D，求证：
（1）AE＝CF，
（2）AE∥CF，（3）∠AFE＝∠CEF思路点拨:
（1）直接通过△ABE≌△CDF而得，
（2）先证明∠AEB＝∠CFD，（3）第5页共10页
由
（1）
（2）可证明△AEF≌△CFE而得，总之，欲证两边（角）相等，找这两边（角）所在的两个三角形然后证明它们全等．解析：
（1）在△ABE与△CDF中∴△ABE≌△CDF（SAS）∴AE＝CF（全等三角形对应边相等）
（2）∵∠AEB＝∠CFD（全等三角形对应角相等）∴AE∥CF（内错角相等，两直线平行）（3）在△AEF与△CFE中∴△AEF≌△CFE（SAS）∴∠AFE＝∠CEF（全等三角形对应角相等）总结升华：
在复杂问题中，常将已知全等三角形的对应角（边）作为判定另一对三角形全等的条件．举一反三：
【变式1】如图，在△ABC中，延长AC边上的中线BD到F，使DF＝BD，延长AB边上的中线CE到G，使EG＝CE，求证AF＝AG．【答案】在△AGE与△BCE中∴△AGE≌△BCE（SAS）∴AG＝BC（全等三角形对应边相等）第6页共10页
在△AFD与△CBD中∴△AFD≌△CBD（SAS）∴AF＝CB（全等三角形对应边相等）∴AF＝AG（等量代换）6、如图AB＝AC，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，BD、CE相交于F．求证：
AF平分∠BAC．思路点拨:
若能证得得AD=AE，由于∠ADB、∠AEC都是直角，可证得Rt△ADF≌Rt△AEF，而要证AD=AE，就应先考虑Rt△ABD与Rt△AEC，由题意已知AB=AC，∠BAC是公共角，可证得Rt△ABD≌Rt△ACE．解析：
在Rt△ABD与Rt△ACE中∴Rt△ABD≌Rt△ACE（AAS）∴AD=AE（全等三角形对应边相等）在Rt△ADF与Rt△AEF中∴Rt△ADF≌Rt△AEF（HL）∴∠DAF=∠EAF（全等三角形对应角相等）∴AF平分∠BAC（角平分线的定义）总结升华：
条件和结论相互转化，有时需要通过多次三角形全等得出待求的结论。
【变式1】求证：
有两边和其中一边上的高对应相等的两个三角形全等．【答案】根据题意，画出图形，写出已知，求证．第7页共10页
已知：
如图，在△ABC与△A′B′C′中．AB=A′B′，BC=B′C′，AD⊥BC于D，A′D′⊥B′C′于D′且AD=A′D′求证：
△ABC≌△A′B′C′证明：
在Rt△ABD与Rt△A′B′D′中（HL）角相等）∴Rt△ABD≌Rt△A′B′D′∴∠B=∠B′（全等三角形对应在△ABC与△A′B′C′中∴△ABC≌△A′B′C′（SAS）【变式2】已知，如图，AC、BD相交于O，AC=BD，∠C＝∠D＝90°
OC=OD【答案】∵∠C=∠D=90°
∴△ABD、△ACB为直角三角形在Rt△ABD和Rt△ABC中∴Rt△ABD≌Rt△ABC（HL）∴AD=BC在△AOD和△BOC中∴△AOD≌△BOC（AAS）第8页共10页
∴OD=OC．7、⊿ABC中，AB=AC，D是底边BC上任意一点，DE⊥AB，DF⊥AC，CG⊥AB垂足分别是E、F、G..试判断：
猜测线段DE、DF、CG的数量有何关系？
并证明你的猜想。
寻求一题多解和多题一解是掌握规律的捷径解析：
结论：
DE+DF=CG方法一：
（截长法）板书此种方法（3分钟）作DM⊥CG于M∵DE⊥AB，CG⊥AB，DM⊥CG∴四边形EDMG是矩形DE=GMDM//AB∴∠MDC=∠B∵AB=AC∴∠B=∠FCD∴∠MDC=∠FCD而DM⊥CG，DF⊥AC∴∠DMC=∠CFD在⊿MDC和⊿FCD中∴⊿MDC≌⊿FCD（AAS）MC=DF∴DE+DF=GM+MC=CG总结升华：
方法二（补短法）作CM⊥ED交ED的延长线于M（证明过程略）第9页共10页
总结：
截长补短的一般思路，并由此可以引申到截长法有两种截长的想法方法三（面积法）使用等积转化引申：
如果将条件“D是底边BC上任意一点”改为“D是底边BC的延长线上任意一点”，此时图形如何？
DE、DF和CG会有怎样的关系？
画出图形，写出你的猜想并加以证明举一反三：
【变式1】三角形底边上的任意一点到两个腰上的距离和等于腰上的高。
【答案】证明的过程使用三种证明方法，包括：
（1）截长法
（2）补短法（3）面积法第10页共10页
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