全等三角形知识点讲解经典例题含答案Word格式.docx

1、 AB=AC，AB 和 AC 是对应边，A 是公共角，A 和A 是对应角， 按对应边所对的角是对应角，对应角所对的边是对应边可求解.解析：AB 和 AC 是对应边，AD 和 AE、BD 和 CE 是对应边，A 和A 是对应 角，B 和C，AEC 和ADB 是对应角.总结升华：已知两对对应顶点，那么以这两对对应顶点为顶点的角是对应角， 第三对角是对应角；再由对应角所对的边是对应边，可找到对应边.已知两对对应边，第三对边是对应边，对应边所对的角是对应角.第 1 页 共 10 页举一反三： 【变式 1】如图，ABCDBE.问线段 AE 和 CD 相等吗？为什么？【答案】证明：由ABCDBE，得 AB

2、=DB,BC=BE，则 AB-BE=DB-BC，即 AE=CD。 【变式 2】如右图， 求证：AECF，。 【答案】 AECF2、如图，已知ABCDEF，A=30，B=50，BF=2，求DFE 的度数与 EC 的长。 思路点拨: 由全等三角形性质可知：DFE=ACB，EC+CF=BF+FC，所以只需 求ACB 的度数与 BF 的长即可。 解析：在ABC 中， ACB=180-A-B， 又A=30， 所以ACB=100. 又因为ABCDEF， 所以ACB=DFE， BC=EF（全等三角形对应角相等，对应边相等）。 所以DFE=100 EC=EF-FC=BC-FC=FB=2。 总结升华：全等三角形

3、的对应角相等，对应边相等。 举一反三： 【变式 1】如图所示，ACDECD，CEFBEF，第 2 页 共 10 页ACB=90. 求证：（1）CDAB；（2）EFAC.【答案】 （1）因为ACDECD，所以ADC=EDC（全等三角形的对应角相等）. 因为ADC+EDC=180，所以ADC= EDC=90. 所以 CDAB. （2）因为CEFBEF, 所以CFE=BFE（全等三角形的对应 角相等）. 因为CFE+BFE=180， 所以CFE=BFE=90. 因为ACB=90,所以ACB=BFE. 所以 EFAC. 类型二：全等三角形的证明3、如图，ACBD，DFCE，ECBFDA，求证：ADFB

4、CE 思路点拨: 欲证ADFBCE，由已知可知已具备一边一角，由公理的条件 判断还缺少这角的另一边，可通过 ACBD 而得 解析：ACBD（已知）AB-BDAB-AC（等式性质） 即 ADBC 在ADF 与BCE 中ADFBCE（SAS） 总结升华：利用全等三角形证明线段（角）相等的一般方法和步骤如下： （1）找到以待证角（线段）为内角（边）的两个三角形， （2）证明这两个三角形全等； （3）由全等三角形的性质得出所要证的角（线段）相等 举一反三： 【变式 1】如图，已知 ABDC，ABDC，求证：ADBC 【答案】ABCD第 3 页 共 10 页34 在ABD 和CDB 中ABDCDB（SA

5、S） 12（全等三角形对应角相等） ADBC（内错角相等两直线平行） 【变式 2】如图，已知 EBAD 于 B，FCAD 于 C，且 EBFC，ABCD 求证 AFDE 【答案】EBAD（已知） EBD90（垂直定义） 同理可证FCA90 EBDFCA ABCD，BCBC ACAB+BCBC+CD BD 在ACF 和DBE 中ACFDBE（SAS） AFDE（全等三角形对应边相等） 类型三：综合应用4、如图，AD 为ABC 的中线。 求证： AB+AC>2AD.思路点拨: 要证 AB+AC&2AD，由图想到：AB+BD&AD，AC+CD&AD，所以 AB+AC+BC&2AD，所以不能直接

6、证出。 由 2AD 想到构造一条线段等于 2AD，即倍长 中线。延长 AD 至 E，使 DE=AD，连接 BE 因为 AD 为ABC 的中线， 所以 BD=CD. 在ACD 和EBD 中，第 4 页 共 10 页所以ACDEBD（SAS）. 所以 BE=CA. 在ABE 中，AB+BE&AE，所以 AB+AC&2AD. 总结升华：通过构造三角形全等，将待求的线段放在同一个三角形中。 【变式 1】已知：如图，在 RtABC 中，AB=AC,BAC=90,1=2，CE BD 的延长线于 E，求证：BD=2CE. 【答案】分别延长 CE、BA 交于 F.因为 BECF,所以BEF= BEC=90.在

7、BEF 和BEC 中，所以BEFBEC（ASA）.所以 CE=FE= CF. 又因为BAC=90,BECF. 所以BAC=CAF=90，1+BDA=90，1+BFC=90. 所以BDA=BFC. 在ABD 和ACF 中，所以ABDACF（AAS） 所以 BD=CF.所以 BD=2CE.5、如图，ABCD，BEDF，BD， 求证：（1）AECF，（2）AECF，（3）AFECEF思路点拨: （1）直接通过ABECDF 而得，（2）先证明AEBCFD，（3）第 5 页 共 10 页由（1）（2）可证明AEFCFE 而得，总之，欲证两边（角）相等，找这两边（角） 所在的两个三角形然后证明它们全等解析

8、： （1）在ABE 与CDF 中ABECDF（SAS） AECF（全等三角形对应边相等） （2）AEBCFD（全等三角形对应角相等） AECF（内错角相等，两直线平行） （3）在AEF 与CFE 中AEFCFE（SAS） AFECEF（全等三角形对应角相等） 总结升华：在复杂问题中，常将已知全等三角形的对应角（边）作为判定另一 对三角形全等的条件 举一反三： 【变式 1】如图，在ABC 中，延长 AC 边上的中线 BD 到 F，使 DFBD，延 长 AB 边上的中线 CE 到 G，使 EGCE，求证 AFAG【答案】在AGE 与BCE 中AGEBCE（SAS） AGBC（全等三角形对应边相等）

9、第 6 页 共 10 页在AFD 与CBD 中AFDCBD（SAS） AFCB（全等三角形对应边相等） AFAG（等量代换）6、如图 ABAC，BDAC 于 D，CEAB 于 E，BD、CE 相交于 F 求证：AF 平分BAC思路点拨: 若能证得得 AD=AE，由于ADB、AEC 都是直角，可证得 Rt ADFRtAEF，而要证 AD=AE，就应先考虑 RtABD 与 RtAEC，由题意已知 AB=AC，BAC 是公共角，可证得 RtABDRtACE解析：在 RtABD 与 RtACE 中RtABDRtACE（AAS） AD=AE（全等三角形对应边相等） 在 RtADF 与 RtAEF 中Rt

10、ADFRtAEF（HL） DAF=EAF（全等三角形对应角相等） AF 平分BAC（角平分线的定义） 总结升华：条件和结论相互转化，有时需要通过多次三角形全等得出待求的结 论。 【变式 1】求证：有两边和其中一边上的高对应相等的两个三角形全等 【答案】根据题意，画出图形，写出已知，求证第 7 页 共 10 页已知：如图，在ABC 与ABC中AB=AB，BC=BC，ADBC 于 D，ADBC于 D且 AD=AD求证：ABCABC 证明：在 RtABD 与 RtABD中（HL） 角相等）RtABD RtABD B=B（全等三角形对应 在ABC 与ABC中ABCABC（SAS） 【变式 2】已知，如

11、图，AC、BD 相交于 O，AC=BD，CD90 OC=OD 【答案】C=D=90ABD、ACB 为直角三角形 在 RtABD 和 RtABC 中RtABDRtABC（HL） AD=BC 在AOD 和BOC 中AODBOC（AAS）第 8 页 共 10 页OD=OC7、ABC 中，AB=AC，D 是底边 BC 上任意一点，DEAB，DFAC，CG AB 垂足分别是 E、F、G.试判断：猜测线段 DE、DF、CG 的数量有何关系？并证明你的猜想。寻求一题多解和多题一解是掌握规律的捷径 解析：结论：DE+DF=CG 方法一：（截长法）板书此种方法（3 分钟）作 DMCG 于 M DEAB，CGAB

12、，DMCG 四边形 EDMG 是矩形 DE=GM DM/AB MDC=B AB=AC B=FCD MDC=FCD 而 DMCG，DFAC DMC=CFD 在MDC 和FCD 中MDCFCD（AAS） MC=DF DE+DF=GM+MC=CG 总结升华： 方法二（补短法）作 CMED 交 ED 的延长线于 M（证明过程略）第 9 页 共 10 页总结：截长补短的一般思路，并由此可以引申到截长法有两种截长的想法 方法三（面积法）使用等积转化引申：如果将条件“D 是底边 BC 上任意一点”改为“D 是底边 BC 的延长线 上任意一点”，此时图形如何？DE、DF 和 CG 会有怎样的关系？画出图形，写出 你的猜想并加以证明举一反三： 【变式 1】三角形底边上的任意一点到两个腰上的距离和等于腰上的高。 【答案】证明的过程使用三种证明方法，包括：（1）截长法（2）补短法（3） 面积法第 10 页 共 10 页