高二数学数列练习题(含答案).doc

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高二《数列》专题

1．与的关系：

，已知求，应分时；时，=两步，最后考虑是否满足后面的.

2.等差等比数列

等差数列

等比数列

定义

（）

通项

，

，

中项

如果成等差数列，那么叫做与的等差中项．。

等差中项的设法：

如果成等比数列，那么叫做与的等比中项．

等比中项的设法：

，，

前项和

，

性

质

若，则

若，则

、、为等差数列

、、为等比数列

函数看数列

判定方法

（1）定义法：

证明为一个常数；

（2）等差中项：

证明，

（3）通项公式:

为常数）（）

（4）为常数）（）

（1）定义法：

证明为一个常数

（2）中项：

证明

（3）通项公式：

均是不为0常数）

（4）为常数，

3.数列通项公式求法。

（1）定义法（利用等差、等比数列的定义）；

（2）累加法

（3）累乘法（型）；（4）利用公式；（5）构造法（型）（6）倒数法等

4.数列求和

（1）公式法；

（2）分组求和法；（3）错位相减法；（4）裂项求和法；（5）倒序相加法。

5.的最值问题：

在等差数列中,有关的最值问题——常用邻项变号法求解：

（1）当 时，满足  的项数m使得取最大值.

（2）当 时，满足 的项数m使得取最小值。

也可以直接表示，利用二次函数配方求最值。

在解含绝对值的数列最值问题时,注意转化思想的应用。

6.数列的实际应用

现实生活中涉及到银行利率、企业股金、产品利润、人口增长、工作效率、图形面积、等实际问题，常考虑用数列的知识来解决.

训练题

一、选择题

1.已知等差数列的前三项依次为、、，则2011是这个数列的（ B）

A.第1006项 B.第1007项 C.第1008项D.第1009项

2.在等比数列中，，则等于（A）

A．1023B．1024C．511D．512

3．若{an}为等差数列，且a7－2a4＝－1，a3＝0，则公差d＝ （　　）

A．－2　　B．－C.D．2

由等差中项的定义结合已知条件可知2a4＝a5＋a3，∴2d＝a7－a5＝－1，即d＝－.故选B.

4.已知等差数列{an}的公差为正数，且a3·a7=－12,a4+a6=－4,则S20为（A）

A.180 B.－180

C.90 D.－90

5.（2010青岛市）已知为等差数列,若,则的值为（A）

A． B． C． D．

6．在等比数列{an}中，若a3a5a7a9a11＝243，则的值为 （　　）

A．9B．1C．2D．3

解析　由等比数列性质可知a3a5a7a9a11＝a＝243，所以得a7＝3，又＝＝a7，故选D.

7．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a1＋a5＝S5，且a9＝20，则S11＝（　　）

A．260 B．220

C．130 D．110

解析　∵S5＝×5，又∵S5＝a1＋a5，∴a1＋a5＝0.∴a3＝0，∴S11＝×11＝×11＝×11＝110，故选D.

8各项均不为零的等差数列{an}中，若a－an－1－an＋1＝0（n∈N*，n≥2），则S2009等于 （　　）

A．0 B．2

C．2009 D．4018

解析　各项均不为零的等差数列{an}，由于a－an－1－an＋1＝0（n∈N*，n≥2），则a－2an＝0，an＝2，S2009＝4018，故选D.

9．数列{an}是等比数列且an>0，a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25，那么a3＋a5的值等于 （　　）

A．5 B．10

C．15 D．20

解析　由于a2a4＝a，a4a6＝a，所以a2·a4＋2a3·a5＋a4·a6＝a＋2a3a5＋a＝（a3＋a5）2＝25.所以a3＋a5＝±5.又an>0，所以a3＋a5＝5.所以选A.

10.首项为1，公差不为0的等差数列{an}中，a3，a4，a6是一个等比数列的前三项，则这个等比数列的第四项是 （　　）

A．8 B．－8

C．－6 D．不确定

答案　B

解析　a＝a3·a6⇒（1＋3d）2＝（1＋2d）·（1＋5d）

⇒d（d＋1）＝0⇒d＝－1，∴a3＝－1，a4＝－2，∴q＝2.

∴a6＝a4·q＝－4，第四项为a6·q＝－8.

11.在△ABC中，tanA是以-4为第三项，4为第七项的等差数列的公差，tanB是以为第三项，9为第六项的等比数列的公比，则这个三角形是（B）

A.钝角三角形 B.锐角三角形

C.等腰三角形 D.非等腰的直角三角形

12、（2009澄海）记等差数列的前项和为，若，且公差不为0，则当取最大值时，（　）C

A．4或5 B．5或6 C．6或7 D．7或8

13．在等差数列{an}中，前n项和为Sn，且S2011＝－2011，a1007＝3，则S2012的值为 （　　）

A．1006 B．－2012

C．2012 D．－1006

答案　C解析　方法一　设等差数列的首项为a1，公差为d，根据题意可得，

即解得

所以，S2012＝2012a1＋d

＝2012×（－4021）＋2012×2011×2

＝2012×（4022－4021）＝2012.

方法二　由S2011＝＝2011a1006＝－2011，解得a1006＝－1，则

S2012＝＝＝＝2012.

14．设函数f（x）满足f（n＋1）＝（n∈N*），且f

（1）＝2，则f（20）＝（　B　）

A．95 B．97

C．105 D．192　

解析　f（n＋1）＝f（n）＋，∴

累加，得f（20）＝f

（1）＋（＋＋…＋）＝f

（1）＋＝97.

15.已知数列的前项和满足，则通项公式为（B）

A.B.

C.D.以上都不正确

16.一种细胞每3分钟分裂一次，一个分裂成两个，如果把一个这种细胞放入某个容器内，恰好一小时充满该容器，如果开始把2个这种细胞放入该容器内，则细胞充满该容器的时间为 （D）

A．15分钟 B．30分钟 C．45分钟 D．57分钟

二、填空题

1、等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2=1,a3=3,则S4=8.

2.（2008·广东理，2）记等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1=，S4=20，则S6=.48

3..（2010广州一模）．在等比数列中，，公比，若，则的值为．7

4.（2008·海南、宁夏理，4）设等比数列{an}的公比q=2,前n项和为Sn,则=.

5.等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn和Tn，若＝，则＝________.

答案　解析　＝＝＝

6、数列的前项和记为则的通项公式

解：

（Ⅰ）由可得，两式相减得

又∴故是首项为，公比为得等比数列∴

7．已知各项都为正数的等比数列{an}中，a2·a4＝4，a1＋a2＋a3＝14，则满足an·an＋1·an＋2>的最大正整数n的值为________．答案　4

解析　设等比数列{an}的公比为q，其中q>0，依题意得a＝a2·a4＝4.又a3>0，因此a3＝a1q2＝2，a1＋a2＝a1＋a1q＝12，由此解得q＝，a1＝8，an＝8×（）n－1＝24－n，an·an＋1·an＋2＝29－3n.由于2－3＝>，因此要使29－3n>，只要9－3n≥－3，即n≤4，于是满足an·an＋1·an＋2>的最大正整数n的值为4.

8．等比数列{an}的首项为a1＝1，前n项和为Sn，若＝，则公比q等于________．

答案　－解析　因为＝，所以＝＝－，即q5＝（－）5，所以q＝－.

三、解答题

1（2010山东理数）（18）（本小题满分12分）

已知等差数列满足：

，，的前n项和为．

（Ⅰ）求及；（Ⅱ）令bn=（nN*），求数列的前n项和．

1【解析】（Ⅰ）设等差数列的公差为d，因为，，所以有

，解得，

所以；==。

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，所以bn===，

所以==，

即数列的前n项和=。

2．（全国新课标理17）

已知等比数列的各项均为正数，且．

（I）求数列的通项公式．（II）设，求数列的前n项和．

2解：

（Ⅰ）设数列{an}的公比为q，由得所以．由条件可知c>0，故．

由得，所以．故数列{an}的通项式为an=．

（Ⅱ ）

故

所以数列的前n项和为

3.（本小题满分12分）已知{an}是各项均为正数的等比数列，

且a1＋a2＝2（＋），a3＋a4＋a5＝64（＋＋）．

（1）求{an}的通项公式；

（2）设bn＝（an＋）2，求数列{bn}的前n项和Tn.

解析　

（1）设{an}的公比为q，则an＝a1qn－1.由已知，有

化简，得

又a1>0，故q＝2，a1＝1.所以an＝2n－1.

（2）由

（1）知，bn＝2＝a＋＋2＝4n－1＋＋2.

因此，Tn＝（1＋4＋…＋4n－1）＋（1＋＋…＋）＋2n＝＋＋2n＝（4n－41－n）＋2n＋1.

4.（山东省济南市2011）

已知为等比数列，；为等差数列的前n项和，.

（1）求和的通项公式；

（2）设，求.

解：

（1）设{an}的公比为q，由a5=a1q4得q=4

所以an=4n-1.设{bn}的公差为d，由5S5=2S8得5（5b1+10d）=2（8b1+28d），

所以bn=b1+（n-1）d=3n-1.

（2）Tn=1·2+4·5+42·8+…+4n-1（3n-1）,①

4Tn=4·2+42·5+43·8+…+4n（3n-1）,②

②-①得：

3Tn=-2-3（4+42+…+4n）+4n（3n-1）=-2+4（1-4n-1）+4n（3n-1）

=2+（3n-2）·4n∴Tn=（n-）4n+

5．（2013广东理）设数列的前项和为.已知,,.

（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求数列的通项公式；

（Ⅲ）证明:

对一切正整数,有.

【解析】（Ⅰ）依题意,,又,所以；

（Ⅱ）当时,,

两式相减得

整理得,即,又

故数列是首项为,公差为的等差数列,

所以,所以.

（Ⅲ）当时,；当时,；

当时,,此时

综上,对一切正整数,有.

6．（本小题满分14分）设各项均为正数的数列的前项和为，满足且构成等比数列．

（1）证明：

；

（2）求数列的通项公式；

（3）证明：

对一切正整数，有．

1.【解析】

（1）当时，，

（2）当时，，

当时，是公差的