离散数学复习资料文档格式.docx
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述中各命题符号化为:
┐P;
Q∧R;
Q∨U;
Q→S;
Q<=>S
1-2(3)将下列命题符号化
a)如果3+3=6,则雪是白色的.
b)如果3+3≠6,则雪是白色的
c)如果3+3=6,则雪不是白色的.
d)如果3+3≠6,则雪不是白色的
e)王强身体很好,成绩也很好.
f)四边形ABCD是平行四边形,仅当其对边平行
设P:
3+3=6Q:
雪是白色的
R:
王强成绩很好S:
王强身体很好
U:
四边形ABCD是平行四边形V:
四边形ABCD的对边是平行的
于是:
a)可表示为:
P→Q
b)可表示为:
┐P→Q
c)可表示为:
P→┐Q
d)可表示为:
┐P→┐Q
e)可表示为:
S∧R
f)可表示为:
U<=>V
1-3
(1)判别下列公式中哪些是合式公式,那些不是合式公式
a)(Q→R∧S)
b)(P<=>(R→S))
c)((┐P→Q)→(Q→P)))
d)(RS→T)
e)((P→(Q→R))→((P→Q)→(P→R)))
a)不是合式公式(若规定运算符优先级后也可以作为合式公式)
b)是合式公式
c)不是合式公式(括号不配对)
d)不是合式公式
e)是合式公式
1-3
(2)对下列各式用指定的公式进行代换:
a)(((A→B)→B)→A),用(A→C)代换A,用((B∧C)→A代换B。
b)((A→B)∨(B→A),用B代换A,A代换B.
a)((((A→C)→((B∧C)→A))→((B∧C)→A))→(A→C))
b)((B→A)∨(A→B))
1-3(3)用符号形式写出下列命题
a)假如上午不下雨,我去看电影;
否则就在家里读书或看报.
b)我今天进城,除非下雨.
c)仅当你走,我将留下.
[解]a)设P:
上午天下雨.Q:
我去看电影
我在家读书S:
我在家看报
原命题可译为:
(┐P→Q)∧(P→(R∨S))
b)设:
我今天进城Q:
天下雨
┐Q→P
c)设:
你走Q:
我留下
Q→P
1-3(4)称┐P→┐Q为条件命题P→Q的反换式
Q→P为条件命题P→Q的逆换式
┐Q→┐P为条件命题P→Q的逆反式
试写出如下条件命题的反换式,逆换式,逆反式。
(a)如果他有勇气,则他将得胜。
(b)如果天下雨,我不去。
[解](a)设P:
他有勇气,Q:
他将得胜
原条件命题可译为:
反换式:
┐P→┐Q,表示:
如果他没有勇气,则他将不能获胜。
逆换式:
Q→P,表示:
如果他将得胜,则他有勇气。
逆反式:
┐Q→┐P,表示:
如果他不获胜,则他没有勇气。
(b)设P:
天下雨,Q:
我去
P→┐Q
┐P→Q,表示:
如果如果天不下雨,则我去。
如果我不去,则天下雨。
如果我去,则天不下雨。
1-4
(1)试求下列各命题公式的真值表并解释其结果
(a)(P→Q)∧(Q→P);
(b)(P∧Q)→P;
(c)Q→(P∨Q);
(d)(P→Q)<=>(┐P∨Q);
(e)(┐P∨Q)∧(┐(┐P∧┐Q));
(f)┐(P→Q)∧Q∧R。
[解](a)从真值表1-1中可看出:
(P→Q)∧(Q→P)<=>(P<=>Q)
(b)从真值表1-2中可看出:
(P∧Q)→P是永真式
(c)从真值表1-3中可看出:
Q→(P∨Q)是永真式
(d)从真值表1-4中可看出:
(P→Q)<=>(┐P∨Q)是永真式
(e)从真值表1-5中可看出:
(┐P∨Q)∧(┐(┐P∧┐Q))
<=>┐P∨Q
<=>P→Q
<=>┐(P∧┐Q)
P Q
(P→Q)∧(Q→P)
TT
TF
FT
FF
T
F
(f)从真值表1-6中可看出:
┐(P→Q)∧Q∧R是永真式
表1-1
P∧Q
(P∧Q)→P
表1-2
P∨Q
Q→(P∨Q)
表1-3
┐P
┐P∨Q
(P→Q)<=>(┐P∨Q)
表1-4
┐Q
┐(┐P∧┐Q)
表1-5
P QR
┐(P→Q)
┐(P→Q)∧Q
┐(P→Q)∧Q∧R
TTT
TTF
TFT
TFF
FTT
FTF
FFT
FFF
表1-6
1-4
(2)用真值表判断下列各组公式是否等价:
(a)P→(Q→R)与(P∧Q)→R
(b)(P→Q)→R与(P∧Q)→R
[解]由表1-7可知P→(Q→R)<=>(P∧Q)→R
而(P→Q)→R<≠>(P∧Q)→R
P→(Q→R)
(P∧Q)→R
(P→Q)→R
FTT
FTF
FFT
FFF
表1-7
1-4(3)试以真值表证明下列命题:
(a)合取运算的结合律
(b)德摩根定律
[解](a)如表1-8,(P∧Q)∧R<=>
(b)如表1-9,┐(P∧Q)<=>┐P∨┐Q
┐(P∨Q)<=>┐P∧┐Q
(P∧Q)∧R
Q∧R
P∧(Q∧R)
表1-8
PQ
┐P∨┐Q
┐(P∧Q)
┐P∧┐Q
┐(P∨Q)
表1-9
2-4(4)证明下列等价式:
(a)A→(B→A)<=>┐A→(A→┐B);
(b)(A∨B)→C<=>(A→C)∧(B→C);
(c)┐(A<=>B)<=>(A∧┐B)∨(┐A∧B);
(d)(((A∧B)∧C)→D)∧(C→(A∨(B∨D)))<=>(C∧(A<=>B))→D
[证](a)A→(B→A)<=>┐A∨(┐B∨A)
<=>(┐B∨A)∨┐A
<=>(A∨┐B)∨┐A
<=>A∨(┐B∨┐A)
<=>A∨(┐A∨┐B)
<=>A∨(A→┐B)
<=>┐A→(A→┐B)
(b)(A→C)∧(B→C)<=>(┐A∨C)∧(┐B∨C)
<=>(┐A∧┐B)∨C
<=>┐(A∨B)∨C
<=>(A∨B)C
(c)┐(A<=>B)<=>┐((A→B)∧(B→A))
<=>┐((┐A∨B)∧(┐B∨A))
<=>┐(┐A∨B)∨┐(┐B∨A))
<=>(A∧┐B)∨(B∧┐A))
(d)(((A∧B)∧C)→D)∧(C→(A∨(B∨D)))
<=>((┐(A∧B∧C)∨D)∧(┐C∨(A∨B∨D)))
<=>(┐A∨┐B∨┐C∨D)(┐C∨A∨B∨D)
<=>(┐C∨D)∨((┐A∨┐B)∧(A∨B))
<=>(┐C∨D)∨((A∧┐B)∨(B∧┐A))
<=>(┐C∨D)∨┐((┐A∨B)∧(┐B∨A))
<=>(┐C∨┐((┐A∨B)∧(┐B∨A)))∨D
<=>┐(C∧(┐A∨B)∧(┐B∨A))∨D
<=>┐(C∧(A→B)∧(B→A))∨D
<=>┐(C∧(A<=>B))∨D
<=>(C∧(A<=>B))→D
1-4(5)判断下列命题公式的类型(永真;
永假;
非永真,也非永假):
(a)((P→Q)∧P)→Q;
(b)┐(P→(P∨Q))∧R;
(c)P∧(((P∨Q)∧┐P)→Q).
[解](a)((P→Q)∧P)→Q
<=>((┐P∨Q)∧P)→Q
<=>┐((┐P∨Q)∧P)∨Q
<=>(┐(┐P∨Q)∨┐P)∨Q
<=>((P∧┐Q)∨┐P)∨Q
<=>((P∨┐P)∧(┐Q∨┐P))∨Q
<=>(┐Q∨┐P)∨Q
<=>T∨┐P
<=>T
∴(a)为永真式
(b)┐(P→(P∨Q))∧R
<=>┐(┐P∨P∨Q)∧R
<=>(P∧┐P∧┐Q)∧R
<=>F∧R
<=>F
∴(b)为永假式
(c)P∧(((P∨Q)∧┐P)→Q)
<=>P∧(┐((P∨Q)∧┐P)∨Q)
<=>P∧(┐((P∧┐P)∨(Q∧┐P))∨Q)
<=>P∧(┐(F∨(Q∧┐P))∨Q)
<=>P∧(┐Q∨P∨Q)
<=>P∧T
<=>P
∴(c)为非永真式,也非永假式
1-4.(6)化简如下语句:
“情况并非如此:
若他不来,则我不去”。
[解]:
首先符号化上述语句。
设P:
他来。
Q:
则原句:
┐(┐P→┐Q)
然后化简上述命题公式
<=>┐(┐┐Q→┐┐P)
<=>┐(Q→P)
<=>┐(┐Q∨P)
<=>Q∧┐P
即:
我去了,但他未来。
1—4(7)(a)如果A∨C<=>B∨C,是否有A<=>B?
如果A∧C<=>B∧C,是否有A<=>B?
如果┐A<=>┐B,是否有A<=>B?
[解](a)不能说必有A<=>B,因为当A∨C<=>B∨C时,有可能某种指派使C为T,但A、B的值并不相同
(b)不能说必有A<=>B,因为当A∧C<=>B∧C时,有可能某种指派使C为F,但A、B的值并不相同
(c)结论正确。
因为(A→B)<=>(┐B→┐A),所以┐B→┐A为永真式时,A→B也是永真式。
即┐B=>┐A时,必有A=>B。
同理┐A=>┐B时,B=>A。
所以┐B<=>┐A时,必有A<=>B
1—5
(1)试证下列各式为永真式:
(a)(P∧(P→Q))→Q;
(b)┐P→(P→Q);
(c)((P→Q)∧(Q→R))→(P→R);
(d)((P∧Q)∨(Q∧R)∨(R∧P))<=>((P∨Q)∧(Q∨R)∧(R∨P))
[解](a)(P∧(P→Q))→Q
<=>(P∧(┐P∨Q))→Q
<=>(P∧┐P)∨(P∧Q))→Q
<=>(P∧Q)→Q
<=>┐(P∧Q)∨Q
<=>┐P∨┐Q∨Q
<=>┐P∨T
(b)┐P→(P→Q)
<=>P∨(┐P∨Q)
<=>P∨┐P∨Q
<=>T∨Q
(c)当本条件命题的后件为F时,必有P:
T;
R:
F考察条件的前件(P→Q)∧(Q→R)。
当Q:
F时,因P→Q:
F;
T时,因Q→R:
F。
所以前件必为F。
故(P→Q)∧(Q→R)=>P→R
因此((P→Q)∧(Q→R))→(P→R)是永真式
(d)(P∧Q)∨(Q∧R)∨(R∧P)
<=>(Q∧(P∨R))∨(R∧P)
<=>(Q∨(R∧P))∧((P∨R)∨(R∧P))
<=>(Q∨R)∧(Q∨P)∧(P∨R)
<=>(P∨Q)∧(Q∨R)∧(R∨P)
∴(P∧Q)∨(Q∧R)∨(R∧P)<=>(P∨Q)∧(Q∨R)∧(R∨P)
1-5
(2)不构造真值表证明下列蕴涵式:
(a)(P→Q)=>P→(P∧Q);
(b)(P→Q)→Q=>P∨Q;
(c)(Q→(P∧┐P))→(R→(R→(P∧┐P)))=>R→Q
[证](a)解法1
设P→Q为T,则
(1)P为T,Q为T因而P→(P∧Q)为T
或
(2)P为F则必有P→(P∧Q)为T
所以(a)成立。
解法2
设P→(P∧Q)为F
则P为T,Q为F所以P→Q为F
解法3
(P→Q)→(P→(P∧Q))
<=>┐(┐P∨Q)∨(┐P∨(P∧Q))
<=>┐(┐P∨Q)∨((┐P∨P)∧(┐P∨Q))
<=>┐(┐P∨Q)∨(┐P∨Q)
所以(a)成立。
(b)设P∨Q为F,则P为F,Q为F
则P→Q为T,所以(P→Q)→Q为F
所以(b)成立。
(c)(Q→(P∧┐P))→(R→(R→(P∧┐P)))
<=>┐(┐Q∨F)∨(┐R∨(┐R∨F))
<=>┐(┐Q)∨(┐R∨┐R)
<=>┐(┐Q)∨┐R
<=>┐Q→┐R
<=>R→Q
所以(Q→(P∧┐P))→(R→(R→(P∧┐P)))<=>R→Q
当然有(Q→(P∧┐P))→(R→(R→(P∧┐P)))=>R→Q
1-5(3)试证明P<=>Q,Q逻辑蕴含P。
[证]本题要求证明:
(P<=>Q)∧Q=>P
设(P<=>Q)∧Q为T,则Q为T且(P<=>Q)为T
所以P必为T,因而蕴含式成立。
1-5(4)逻辑推证下列各式:
(a)P=>(┐P→C);
(b)┐A∧B∧C=>C;
(c)C=>A∨B∨┐B;
(d)┐(A∧B)=>┐A∨┐B;
(e)┐A→(B∨C),D∨E,(D∨E)→┐A=>B∨C;
(f)(A∧B)→C,┐D,┐C∨D=>┐A∨┐B。
[证](a)若P为T,则┐P为F,故┐P→C必为T。
(b)若C为F,则┐A∧B∧C必为F。
故(b)成立。
(c)因为A∨B∨┐B<=>T。
故C=>A∨B∨┐B。
(d)设┐A∨┐B为F,则A为T且B为T
所以A∧B为T,┐(A∧B)为F。
故(d)成立。
(e)设┐A→(B∨C),D∨E,(D∨E)→┐A均为T
则因D∨E为T及(D∨E)→┐A为T,而可得┐A为T
又因┐A→(B∨C)为T 故得B∨C为T,故(e)成立。
(f)设(A∧B)→C,┐D,┐C∨D均为T,
则D为F,由┐C∨D为T,可知C为F。
再由(A∧B)→C为T可得A∧B为F,
因而必有┐(A∧B)为T,也即A∨┐B为T,
故(f)成立。
1-6(1)把下列各式用只含∨和┐的等价式表达,并要尽可能简单:
(a)(P∧Q)∧┐P;
(b)(P→(Q∨┐R))∧┐P∧Q;
(c)┐P∧┐Q∧(┐R→P)。
[解](a)(P∧Q)∧┐P
<=>(P∧┐P)∧Q
<=>F∧Q
<=>┐(T∨┐Q)
(b)(P→(Q∨┐R))∧┐P∧Q
<=>(┐P∨Q∨┐R)∧(┐P∧Q)
<=>(┐P∧┐P∧Q)∨(Q∧┐P∧Q)∨(┐R∧┐P∧Q)
<=>(┐P∧Q)∨(┐P∧Q)∨(┐P∧Q∧┐R)
<=>(┐P∧Q)∨(┐P∧Q∧┐R)
<=>(┐P∧Q)∧(T∧┐R)
<=>(┐P∧Q)∧T
<=>┐P∧Q
<=>┐(P∨┐Q)
(c)┐P∧┐Q∧(┐R→P)
<=>┐P∧┐Q∧(R∨P)
<=>(┐P∧┐Q∧R)∨(┐P∧┐Q∧P)
<=>(┐P∧┐Q∧R)∨F
<=>┐P∧┐Q∧R
<=>┐(P∨Q∨┐R)
1-6(2)对下列各式仅用“或非”(↓)表示:
(a)┐P;
(b)P∨Q;
(c)P∧Q;
[解]:
(a)┐P<=>┐(P∨P)<=>P↓P
(b)P∨Q<=>┐(┐(P∨Q))<=>┐(P↓Q)
<=>(P↓Q)↓(P↓Q)
(c)P∧Q<=>┐(┐P∨┐Q)<=>┐P↓┐Q
<=>(P↓P)↓(Q↓Q)
1-6(3)对下列各式仅用“与非”(↑)表示:
(a)┐P<=>┐(P∧P)<=>P↑P
(b)P∨Q<=>┐(┐P∧┐Q)<=>┐P↑┐Q
<=>(P↑P)↑(Q↑Q)
(c)P∧Q<=>┐(┐(P∧Q))<=>┐(P↑Q)
<=>(P↑Q)↑(P↑Q)
1-6(4)把P→(┐P→Q)分别表示成只含“↑”和只含“↓”的等价公式。
[解]P→(┐P→Q)<=>┐P∨(P∨Q)<=>T∨Q<=>T
<=>┐P∨P<=>(┐P↑┐P)↑(P↑P)
<=>P↑(P↑P)。
P→(┐P→Q)<=>┐P∨P
<=>(┐P↓P)↓(┐P↓P)
<=>((P↓P)↓P)↓((P↓P)↓P)。
1-6(5)把P↑Q表示成只含“↓”的等价公式,把P↓Q表示成只含“↑”的等价公式。
[解]P↑Q<=>┐(P∧Q)<=>┐P∨┐Q<=>(P↓P)∨(Q↓Q)
<=>[(P↓P)↓(Q↓Q)]↓[(P↓P)↓(Q↓Q)]。
P↓Q<=>┐(P∨Q)<=>┐P∧┐Q<=>(P↑P)∧(Q↑Q)
<=>[(P↑P)↑(Q↑Q)]↑[(P↑P)↑(Q↑Q)]。
1-6(6)证明{∨},{∧}和{→}不是最小联结词组。
[证](反证法)若{∨},{∧},{→}均是最小联结词组,则
否定(┐)命题连接词可分别仅用∨,∧,→表示,即
┐P<=>(P∨…)
┐P<=>(P∧…)
┐P<=>P→(P→(P→…)…)
但当时所有命题变元均指派T时,各等价式的左端为F
而右端却为T,故产生矛盾。
故{∨},{∧}和{→}均不是最小联结词组。
c
1-6(7)证明{┐,→},{┐,→}是最小联结词组。
[证]:
因为{┐,∨}是最小联结词组,且P∨Q<=>┐P→Q 。
故{┐,→}是功能完备的联结词组。
又{┐}和{→}都不是功能完备的,所以{┐,→}是最小联结词组。
c c c
又因为P→Q<=>┐(P→Q)故{┐,→}也是功能完备的联结词组。
但{→}
c
不是功能完备的。
因为若它是功能完备的,则否定(┐)命题联结词必有仅用→表示,即:
c c c
┐P<=>(P→(P→(P→…)…) c
但当对命题变元指派F时,上等价式的左端为T,但右端为F,矛盾。
所以{┐,→}也是最小联结词组。
1-7(1)求公式P∧(P→Q)的析取式和合取式。
[解]析取式:
P∧(P→Q)<=>P∧(┐P∨Q)
<=>(P∧┐P)∨(P∧Q)
合取式:
或
P∧(P→Q)<=>P∧(┐P∨Q)
<=>(P∨(Q∧┐Q))∧(┐P∨Q)
<=>(P∨Q)∧(P∨┐Q)∧(┐P∨Q)
1-7(2)把下列各式化为析取式(每项两个变元):
(a)(┐P∧Q)→R;
(b)P→((Q∧R)→S);
(c)(P→Q)→R;
(d)┐(P∧Q)∧(P∨Q);
(a)(┐P∧Q)→R<=>┐(┐P∧Q)∨R
<=>P∨┐Q∨R
<=>P∧(Q∨┐Q)∨┐Q∧(R∨┐R)∨R∧(P∨┐P)
<=>(P∧Q)∨(P∧┐Q)∨(┐Q∧R)∨(┐Q∧┐R)∨(R∧P)(R∧┐P)
(b)P→((Q∧R)→S)
<=>┐P∨(┐(Q∧R)∨S)<=>┐P∨┐Q∨┐R∨S
<=>┐P∧(Q∨┐Q)∨┐Q∧(R∨┐R)∨┐R∧(S∨┐S)∨S∧(P∨┐P)
<=>(┐P∧Q)∨(┐P∧┐Q)∨┐(Q∧R)∨(┐Q∧┐R)∨(┐R∧S)∨(┐R∧┐S)∨(SP)∨(S∧┐P)
(c)(P→Q)→R<=>┐(┐P∨Q)∨R
<=>(P∧┐Q)∨R<=>(P∧┐Q)∨(R∧(P∨┐P))
<=>(P∧┐Q)∨(R∧P)∨(R∧┐P)
(d)┐(P∧Q)∧(P∨Q)
<=>(┐P∨┐Q)∧(P∨Q)
<=>(┐P∧P)∨(┐P∧Q)∨(P∧┐Q)∨(┐Q∧Q)
1-7(3)把下列各式化为合取式:
(a)P∨(┐P∧Q∧R);
(b)┐(P→Q)∨(P∨Q);
(c)┐(P→Q);
(d)(P→Q)→R;
(e)(┐P∧Q)∨(P∧┐Q)
(a)P∨(┐P∧Q∧R)<=>(P∨┐P)∧(P∨Q)∧(P∨R)
<=>(P∨Q)∧(P∨R)
(b)┐(P→Q