因式分解新题型含答案点评Word文件下载.docx

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②当k≠0时，用含a的代数式分别表示b、c、d（直接写出答案即可）．

8．

（1）填空：

a2+6a+　　=（a+　　）2；

（2）阅读，并解决问题：

分解因式（a+b）2+2（a+b）+1

解：

设a+b=x，则原式=x2+2x+1=（x+1）2=（a+b+1）2

这样的解题方法叫做“换元法”，即当复杂的多项式中，某一部分重复出现时，我们用字母将其替换，从而简化这个多项式．换元法是一个重要的数学方法，不少问题能用换元法解决．请你用“换元法”对下列多项式进行因式分解：

①（m+n）2﹣14（m+n）+49

②（x2﹣4x+2）（x2﹣4x+6）+4

9．

（1）化简：

（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣a）2；

（2）利用

（1）题的结论，且a=2015x+2016，b=2015x+2017，c=2015x+2018，求a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ca的值．

10．如果一个正整数能表示成两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为神秘数”，如：

4=22﹣02，12=42﹣22，20=62﹣42，因此4，12，20这三个数都是神秘数．

（1）52和200这两个数是神秘数吗？

为什么？

（2）设两个连续偶数为2n和2n﹣2（其中n取正整数），由这两个连续偶数构造的神秘数是4的倍数吗？

（3）两个连续奇数（取正整数）的平方差是神秘数吗？

为什么．

11．

（1）已知2x﹣y=8，求代数式[x2+y2﹣（x﹣y）2+2y（x﹣y）]÷

4y的值．

（2）阅读下列材料：

常用分解因式的方法有提取公因式法、公式法，但有部分多项式只单纯用上述方法就无法分解，如x2﹣2xy+y2﹣16，我们细心观察这个式子就会发现，前三项符合完全平方公式，进行变形后可以与第四项结合再运用平方差公式进行分解．过程如下：

x2﹣2xy+y2﹣16=（x﹣y）2﹣16=（x﹣y+4）（x﹣y﹣4）这种分解因式的方法叫分组分解法．利用这种分组的思想方法解决下列问题：

已知a，b，c分别是△ABC三边的长，且2a2+b2+c2﹣2a（b+c）=0请判断△ABC的形状，并说明理由．

12．如果一个整数，将其末三位截去，这个末三位数与余下的数的7倍的差能被19整除，则这个数能被19整除，否则不能被19整除，能被19整除的我们称之为“灵异数”．

如46379，由379﹣7×

46=57，∵57能被19整除，∴46379能被19整除，是“灵异数”．

（1）请用上述规则判断52478和9115是否为“灵异数”；

（2）有一个首位数字是1的五位正整数，它的个位数字不为0且是千位数字的2倍，十位和百位上的数字之和为8，若这个数恰好是“灵异数”，请求出这个数．

13．如图，有若干个长方形和正方形卡片，请你选取相应种类和数量的卡片，拼成一个新长方形，使它的面积等于2a2+3ab+b2

（1）则需要A类卡片　　张，B类卡片　　张，C类卡片　　张；

（2）画出你所拼成的图形，并且请你用不同于2a2+3ab+b2的形式表示出所拼图形的面积；

（3）根据你拼成的图形把多项式2a2+3ab+b2分解因式．

14．如果一个正整数能表示为两个不相等正整数的平方差，那么称这个正整数为“奇妙数”．例如：

5=32﹣22，16=52﹣32，则5，16都是奇妙数．

（1）15和40是奇妙数吗？

（2）如果两个连续奇数的平方差为奇特奇妙数，问奇特奇妙数是8的倍数吗？

（3）如果把所有的“奇妙数”从小到大排列后，请直接写出第12个奇妙数．

15．发现：

任意五个连续整数的平方和是5的倍数．

验证：

（1）（﹣1）2+02+12+22+32的结果是5的几倍？

（2）设五个连续整数的中间一个为n，写出它们的平方和，并说明是5的倍数．

延伸：

任意三个连续整数的平方和能被3整除吗？

如果不能，余数是几呢？

请给出结论并写出理由．

16．先阅读下面的内容，再解决问题：

问题：

对于形如x2+2xa+a2，这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成（x+a）2的形式．但对于二次三项式x2+2xa﹣3a2，就不能直接运用公式了．此时，我们可以在二次三项式x2+2xa﹣3a2中先加上一项a2，使它与x2+2xa的和成为一个完全平方式，再减去a2，整个式子的值不变，于是有：

x2+2xa﹣3a2=（x2+2xa+a2）﹣a2﹣3a2=（x+a）2﹣4a2=（x+a）2﹣4a2=（x+a）2﹣（2a）2=（x+3a）（x﹣a）

像这样，先添一适当项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”．利用“配方法”，解决下列问题：

（1）分解因式：

a2﹣8a+15；

（2）若a2+b2﹣14a﹣8b+65+|

m﹣c|=0

①当a，b，m满足条件：

2a×

4b=8m时，求m的值；

②若△ABC的三边长是a，b，c，且c边的长为奇数，求△ABC的周长．

17．如图，“主收1号”小麦的试验田是边长为am（a＞1）的正方形去掉一个边长为1m的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦的试验田是边长为（a﹣1）m的正方形，两块试验田的小麦都收获了500kg．

（1）哪种小麦的单位面积产量高？

（2）若高的单位面积产量是低的单位面积产量的

（kg）倍，求a的值

（3）利用

（2）中所求的a的值，分解因式x2﹣ax﹣108=　　．

18．已知：

a、b、c是△ABC的三边，且满足a4﹣b4=a2c2﹣b2c2．

（1）试判断该三角形的形状．

（2）若a=6，b=8，试求△ABC的面积．

19．仔细阅读下面例题，解答问题

例题：

已知二次三项式x2﹣4x+m有一个因式是（x+3），求另一个因式以及m的值．

设另一个因式为（x+n），得x2﹣4x+m=（x+3）（x+n），

则x2﹣4x+m=x2+（n+3）x+3n

∴

解得：

n=﹣7，m=﹣21．

∴另一个因式为（x﹣7），m的值为﹣21．

（1）若二次三项式x2﹣5x+6可分解为（x﹣2）（x+a），则a=　　；

（2）若二次三项式2x2+bx﹣5可分解为（2x﹣1）（x+5），则b=　　；

（3）仿照以上方法解答下面问题：

若二次三项式2x2+3x﹣k有一个因式是（2x﹣5），求另一个因式以及k的值．

20．如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么我们称这个正整数为“和谐数”，如：

4=22﹣02，12=42﹣22，20=62﹣42，因此4，12，20这三个数都是“和谐数”

（1）28和2020这两个数是“和谐数”吗？

（2）设两个连续偶数为2k+2和2k（其中k取非负整数），由这两个连续偶数构成的“和谐数”是4的倍数吗？

21．我们把形如：

，

的正整数叫“轴对称数”，例如：

22，131，2332，40604…

（1）写出一个最小的五位“轴对称数”．

（2）设任意一个n（n≥3）位的“轴对称数”为

，其中首位和末位数字为A，去掉首尾数字后的（n﹣2）位数表示为B，求证：

该“轴对称数”与它个位数字的11倍的差能被10整除．

（3）若一个三位“轴对称数”（个位数字小于或等于4）与整数k（0≤k≤5）的和能同时被5和9整除，求出所有满足条件的三位“轴对称数”．

22．阅读以下文字并解决问题：

对于形如x2+2ax+a2这样的二次三项式，我们可以直接用公式法把它分解成（x+a）2的形式，但对于二次三项式x2+6x﹣27，就不能直接用公式法分解了，此时，我们可以在x2+6x﹣27中间先加上一项9，使它与x2+6x的和构成一个完全平方式，然后再减去9，则整个多项式的值不变．即：

x2+6x﹣27=（x2+6x+9）﹣9﹣27=（x+3）2﹣62=（x+3+6）（x+3﹣6）=（x+9）（x﹣3），像这样，把一个二次三项式变成含有完全平方式的形式的方法，叫做配方法．

（1）利用“配方法”因式分解：

x2+4xy﹣5y2．

（2）当a为何值时，二次三项式a2+4a+5有最小值？

（3）如果a2+2b2+c2﹣2ab﹣6b﹣4c+13=0，求a+b+c的值．

23．先化简，再求值

（1）[（xy+2）（xy﹣2）﹣2（x2y2﹣2）]÷

xy，其中x=10，y=﹣

．

（2）已知a﹣b=2，b﹣c=3，求a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ca的值．

24．已知△ABC的三边abc满足等式a4+b4+c4=a2b2+b2c2+c2a2，试判断△ABC的形状．

25．阅读并解决问题：

对于形如x2+2ax+a2这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成（x+a）2的形式，但对于二次三项式x2+2ax﹣3a2，就不能直接运用公式了．此时，我们可以在二次三项式x2+2ax﹣3a2中先加上一项a2，使它与x2+2ax的和成为一个完全平方式，再减去a2，整个式子的值不变，于是有：

x2+2ax﹣3a2=（x2+2ax+a2）﹣a2﹣3a2=（x+a）2﹣（2a）2=（x+3a）（x﹣a）．

像这样，先添一适当项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”．

（1）利用“配方法”分解因式：

a2﹣8a+12；

（2）若a+b=7，ab=11，求：

①a2+b2；

②a4+b4的值．

（3）已知x是实数，试比较x2﹣6x+11与﹣x2+6x﹣10的大小，说明理由．

26．下面是某同学对多项式（x2﹣4x+2）（x2﹣4x+6）+4进行因式分解的过程．

设x2﹣4x=y

原式=（y+2）（y+6）+4（第一步）

=y2+8y+16（第二步）

=（y+4）2（第三步）

=（x2﹣4x+4）2（第四步）

我们把这种因式分解的方法称为“换元法”，请据此回答下列问题；

（1）该同学因式分解的结果是否彻底？

　　（填“彻底”或“不彻底”），若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果：

　　．

（2）请模仿上面的方法尝试对多项式（m2﹣2m）（m2﹣2m+2）+1进行因式分解．

27．阅读理解：

阅读下列材料：

已知二次三项式2x2+x+a有一个因式是（x+2），求另一个因式以及a的值．

设另一个因式是（2x+b），

根据题意，得2x2+x+a=（x+2）（2x+b）．

展开，得2x2+x+a=2x2+（b+4）x+2b．

所以，

，解得

所以，另一个因式是（2x﹣3），a的值是﹣6．

请你仿照以上做法解答下题：

已知二次三项式3x2+10x+m有一个因式是（x+4），求另一个因式以及m的值．

28．当我们利用两种不同的方法计算同一图形的面积时，可以得到一个等式，由图1，可得等式：

（a+2b）（a+b）=a2+3ab+2b2．

（1）由图2可得等式：

（2）利用

（1）中所得到的结论，解决下面的问题：

已知a+b+c=11，ab+bc+ac=38，求a2+b2+c2的值；

（3）利用图3中的纸片（足够多），画出一种拼图，使该拼图可将多项式2a2+5ab+2b2因式分解，并写出分解结果．

29．解下列各题：

9a2（x﹣y）+4b2（y﹣x）；

（2）甲，乙两同学分解因式x2+mx+n，甲看错了n，分解结果为（x+2）（x+4）；

乙看错了m，分解结果为（x+1）（x+9），请分析一下m，n的值及正确的分解过程．

30．在任意n（n＞1且为整数）位正整数K的首位后添加6得到的新数叫做K的“顺数”，在K的末位前添加6得到的新数叫做K的“逆数”．若K的“顺数”与“逆数”之差能被17整除，称K是“最佳拍档数”．比如1324的“顺数”为16324，1324的“逆数”为13264，1324的“顺数”与“逆数”之差为16324﹣13264=3060，3060÷

17=180，所以1324是“最佳拍档数”．

（1）请根据以上方法判断31568　　（填“是”或“不是”）“最佳拍档数”；

若一个首位是5的四位“最佳拍档数”N，其个位数字与十位数字之和为8，且百位数字不小于十位数字，求所有符合条件的N的值．

（2）证明：

任意三位或三位以上的正整数K的“顺数”与“逆数”之差一定能被30整除．

31．定义：

对任意一个两位数a，如果a满足个位数字与十位数字互不相同，且都不为零，那么称这个两位数为“迥异数”．将一个“迥异数”的个位数字与十位数字对调后得到一个新的两位数，把这个新两位数与原两位数的和与11的商记为f（a）．

a=12，对调个位数字与十位数字得到新两位数21，新两位数与原两位数的和为21+12=33，和与11的商为33÷

11=3，所以f（12）=3．

根据以上定义，回答下列问题：

（1）填空：

①下列两位数：

30，31，33中，“迥异数”为　　．

②计算：

f（23）=　　，f（10m+n）=　　．

（2）如果一个“迥异数”b的十位数字是k，个位数字是2（k+1），且f（b）=11，请求出“迥异数”b．

（3）如果一个“迥异数”m的十位数字是x，个位数字是x﹣4，另一个“迥异数”n的十位数字是x﹣5，个位数字是2，且满足f（m）﹣f（n）＜8，请直接写出满足条件的x的值．

32．对于两个两位数m和n，将其中任意一个两位数的十位上的数字和个位上的数字分别放置于另一个两位数十位上数字与个位上的数字之间和个位上的数字的右边，就可以得到两个新四位数，把这两个新四位数的和与11的商记为F（m，n）．例如：

当m=36，n=10时，将m十位上的3放置n中1与0之间，将m个位上的6位置于n中0的右边，得到1306．将n十位上的1放置于m中3和6之间，将n个位上的0放置于m中6的右边，得到3160．这两个新四位数的和为1306+3160=4466，4466÷

11=406，所以F（36，10）=406．

（1）计算：

F（20，18）

（2）若a=10+x，b=10y+8（0≤x≤9，1≤y≤9，x，y都是自然数）．当150F（a，36）+F（b，49）=62767时，求F（5a，b）的最大值．

33．已知一个三位自然数，若满足百位数字等于十位数字与个位数字的和，则称这个数为“和数”，若满

足百位数字等于十位数字与个位数字的平方差，则称这个数为“谐数”．如果一个数即是“和数”，又是“谐数”，则称这个数为“和谐数”．例如321，∵3=2+1，∴321是“和数”，∵3=22﹣12，∴321是“谐数”，∴321是“和谐数”．

（1）最小的和谐数是　　，最大的和谐数是　　；

任意“谐数”的各个数位上的数字之和一定是偶数；

（3）已知m=10b+3c+817（0≤b≤7，1≤c≤4，且b，c均为整数）是一个“和数”，请求出所有m．

34．一个各位数字都不为0的三位正整数N，现从它的百位、十位、个位上的数字中任意选择两个数字组成两位数若所有这些两位数的和等于这个三位数本身，则称这个三位数为本原数”例如：

132，选择百位数字1和十位数字3所组成的两位数为：

13和31；

选择百位数字1和个位数字2所组成的两位数为：

12和21；

选择十位数字3和个位数字2所组成的两位数为：

32和23，因为13+31+12+21+32+23=132，所以132是“本原数”

（1）判断123是不是“本原数”？

请说明理由；

（2）一个三位正整数，若它的十位数字等于百位数字与个位数学的和，则称这样的三位数为“和中数”．若一个各位数字都不为0的“和中数”

是“本原数”，求z与x的函数关系．

35．我们来定义下面两种数

（1）平方和数：

若一个三位数或者三位以上的整数分拆成最左边、中间、最右边三个数后满足：

中间数=（最左边数）2+（最右边数）2，我们就称该整数为平方和数：

对于整数251．它中间的数字是5，最左边数是2，最右边数是1．∵22+12=5，∴251是一个平方和数，又例如：

对于整数3254，它的中间数是25，最左边数是3，最右边数是4，∵32+42=25∴3254是一个平方和数．当然152和4253这两个数也是平方和数；

（2）双倍积数：

中间数=2×

最左边数×

最右边数，我们就称该整数为双倍积数；

对于整数163，它的中间数是6，最左边数是1，最右边数是3，∵2×

1×

3=6，∴163是一个双倍积数，又例如：

对于整数3305，它的中间数是30，最左边数是3，最右边数是5，∵2×

3×

5=30，∴3305是一个双倍积数，当然361和5303这两个数也是双倍积数；

注意：

在下面的问题中，我们统一用字母a表示一个整数分拆出来的最左边数，用字母b

表示该整数分拆出来的最右边数，请根据上述定义完成下面问题：

①若一个三位整数为平方和数，且十位数为9，则该三位数为　　；

若一个三位整数为双倍积数，且十位数字为4，则该三位数为　　；

②若一个整数既为平方和数，又是双倍积数，则a，b应满足什么数量关系？

请说明理由．

③若

（即这是个最左边数为a，中间数为625，最右边数为b的整数，以下类同）是一个平方和数，

是一个双倍积数，a+b的值为　　，a﹣b的值为　　，a2﹣b2的值为　　．

36．在现今“互联网+”的时代，密码与我们的生活已经紧密相连，密不可分．而诸如“123456”、生日等简单密码又容易被破解，因此利用简单方法产生一组容易记忆的6位数密码就很有必要了．有一种用“因式分解法产生的密码，方便记忆，其原理是：

将一个多项式分解因式，如多项式：

x3+2x2﹣x﹣2因式分解的结果为（x﹣1）（x+1）（x+2），当x=18时，x﹣1=17，x+1=19，x+2=20，此时可以得到数字密码171920．

（1）根据上述方法，当x=21，y=7时，对于多项式x3﹣xy2分解因式后可以形成哪些数字密码？

（写出两个）

（2）若多项式x3+（m﹣3n）x2﹣nx﹣21因式分解后，利用本题的方法，当x=27时可以得到其中一个密码为242834，求m、n的值．

37．一个四位数，记千位上和百位上的数字之和为x，十位上和个位上的数字之和为y，如果x=y，那么称这个四位数为“和平数”．

2635，x=2+6，y=3+5，因为x=y，所以2635是“和平数”．

（1）请判断：

3562　　（填“是”或“不是”）“和平数”．

（2）直接写出：

最小的“和平数”是　　，最大的“和平数”是　　；

（3）如果一个“和平数”的个位上的数字是千位上的数字的两倍，且百位上的数字与十位上的数字之和是14，求满足条件的所有“和平数”．

38．对任意一个二位以上的自然数n，如果能被13整除，且各个数位上的数字只能从1，3，5，6，9五个数字中选取组成，那么称这个自然数为“转运数”．例如自然数13或39能被13整除，则13或39称为“转运数”；

26能被13整除，但其十位上的数字2不是从1，3，5，6，9五个数字中选取的，所以26不能称为“转运数”．

（1）请你直接写出不同于题中所给的2个二位“转运数”

；

（2）在

（1）的条件下，记“转运数”

为s．已知四位“转运数”t=

（1≤c，d≤3且c，d互异），满足

为整数，求t的值，并说明理由．

39．若正整数k满足个位数字为1，其他数位上的数字均不为1且十位与百位上的数字相等，

我们称这样的数k为“言唯一数”，交换其首位与个位的数字得到一个新数k'

，并记F（k）=

+1．

（1）最大的四位“言唯一数”是　　，最小的三位“言唯一数”是　　；

对于任意的四位“言唯一数”m，m+m'

能被11整除；

（3）设四位“言唯一数”n=1000x+100y+10y+1（2≤x≤9，0≤y≤9且y≠1，x、y均为整数），若F（n）仍然为“言唯一数”，求所有满足条件的四位“言唯一数”n．

40．

（1）若代数式（m﹣2y+1）（n+3y）+ny2的值与y无关，且等腰三角形的两边长为m、n，求该等腰三角形的周长．

（2）若x2﹣2x﹣5=0，求2x3﹣8x2﹣2x+2018的值．

参考答案与试题解析

（1）请你再写一个大于10且小于20的“完美数”　13　；

（2）已知M是一个“完美数”，且M=x2+4xy+5y2﹣12y+k（x，y是两个任意整数，k是常数），则k的值为　36　．

【分析】

（1）利用“完美数”的定义可得；

（2）利用配方法，将M配成完美数，可求k的值

【解答】解：

（1）∵13=22+32

∴13是完美数

故答案为：

13；

（2）∵M=x2+4xy+5y2﹣12y+k=（x+2y）2+（y﹣6）2+k﹣36

∴k=36时，M是完美数，

36．

【点评】本题考查了因式分解的应用，完全平方公式的运用，阅读理解题目表述的意思是本题的关键．

时，有k2+k﹣1=0，则k3=　

﹣2　．

【分析】由k2+k﹣1=0知k2=﹣k+1，将其代入到k3=k2•k得原式=﹣k2+k，再次代入可得原式=2k﹣1，继而将k的值代入可得答案．

∵k2+k﹣1=0，

∴k2=﹣k+1，

则k3=k2•k

=（﹣k+1）k

=﹣k2+k

=﹣（﹣k+1）+k

=k﹣1+k

=2k﹣1，

∵k=

∴k3=2k﹣1=

﹣1﹣1=

﹣2，

﹣2．

【点评】本题主要考查因式分解的应用，解题的关键是掌握整体代入思想与因式分解的应用．

3．已知a2+a﹣1=0，则a3+2a2+2018=　2019　．

【分析】将已知条件变形为a2=1﹣a、a2+a=1，然后将代数式a3+2a2+2018进一步变形进行求解．

∵a2+a﹣1=0，

∴a2=1﹣a、a2+a=1，

∴a3+2a2+3，

=a•a2+2（1﹣a）+2018，

=a（1﹣a）+2﹣2a+2020，

=a﹣a2﹣2a+2020，

=﹣a2﹣a+2020，

=﹣（a2+a