B03盐城市届高三年级第一学期期中考试数学试题WORD含答案.docx

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B03盐城市届高三年级第一学期期中考试数学试题WORD含答案

盐城市2020届高三年级第一学期期中模拟考试

数学试题

（满分160分，考试时间120分钟）

一、填空题：

本大题共14小题，每小题5分，共计70分．

1.已知集合A＝{x|x2－1＝0}，B＝[0，＋∞），则A∩B＝________．

2.已知角α的始边为x轴的正半轴，点P（1，2）是其终边上一点，则cosα的值为________．

3.“m＞1”是“m＞2”的____________条件．（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分又不必要”）

4.若向量a＝（1，m），b＝（3，2），a∥b，则实数m的值为________．

5.函数y＝的定义域为________．

6.若函数y＝f（x）为奇函数，当x＞0时，f（x）＝log2（1＋x），则f（－7）的值为________．

7.设Sn为等差数列{an}的前n项和，若S3＝S5，且公差d≠0，则的值为________．

8.若sin（π＋α）＝－，则cos2α的值为________．

9.若函数f（x）＝sinx－cosx的图象关于直线x＝a对称，则|a|的最小值是________．

10.若函数f（x）＝在（－1，＋∞）上是增函数，则实数a的取值范围是________．

11.若数列{an}满足a1＝a2＝1，a3＝2，且数列{an·an＋1}是等比数列，则数列{an}的前19项和的值为________．

12.如图，在△ABC中，AB＝，AC＝，＝，＝，＝，＝，若MN⊥BC，则cosA的值为________．

13.在△ABC中，AC＝1，AB＝，D为BC的中点，∠CAD＝2∠BAD，则BC边的长为________．

14.设函数f（x）＝|2x3－3x2－a|，若对任意的实数a，总存在x0∈[0，2]，使得f（x0）≥m，则实数m的取值范围是________．

二、解答题：

本大题共6小题，共计90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

15.（本小题满分14分）

若函数f（x）＝2sin（ωx＋φ）的图象经过点（0，），且相邻的两个零点差的绝对值为6.

（1）求函数f（x）的解析式；

（2）若将函数f（x）的图象向右平移3个单位长度后得到函数g（x）的图象，当x∈[－1，5]时，求g（x）的值域．

16.（本小题满分14分）

设p：

“∀x∈R，sinx≤a＋2”；q：

“f（x）＝x2－x－a在区间[－1，1]上有零点”．

（1）若p为真命题，求实数a的取值范围；

（2）若p∨q为真命题，且p∧q为假命题，求实数a的取值范围．

17.（本小题满分14分）

如图所示是某社区公园的平面图，ABCD为矩形，AB＝200米，BC＝100米，为了便于居民观赏花草，现欲在矩形ABCD内修建5条道路AE，DE，EF，BF，CF，道路的宽度忽略不计，考虑对称美，要求直线EF垂直平分边AD，且线段EF的中点是矩形的中心，求这5条路总长度的最小值．

18.（本小题满分16分）

如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝4，D为△ABC内一点，满足BD＝CD＝2，且·＋5·＝0．

（1）求的值；

（2）求边BC的长．

19.（本小题满分16分）

在数列的每相邻两项之间插入此两项的和，形成新的数列，这样的操作叫作该数列的一次拓展．如数列1，2，经过第1次拓展得到数列1，3，2；经过第2次拓展得到数列1，4，3，5，2；设数列a，b，c经过第n次拓展后所得数列的项数记为Pn，所有项的和记为Sn.

（1）求P1，P2，P3；

（2）若Pn≥2019，求n的最小值；

（3）是否存在实数a，b，c使得数列{Sn}为等比数列？

若存在，求a，b，c满足的条件；若不存在，请说明理由．

20.（本小题满分16分）

设函数f（x）＝ex（x－1）－x－a，a为常数．

（1）当a＝0时，求函数f（x）的图象在点P（0，f（0））处的切线方程；

（2）若函数f（x）有两个不同的零点x1，x2.

①当a∈Z时，求a的最小值；

②当a＝1时，求x1＋x2的值．

2020届高三年级期中模拟考试

（二）（盐城）

数学参考答案

1.{1}　解析：

因为集合A＝{x|x2－1＝0}，所以集合A＝{－1，1}．因为B＝[0，＋∞），所以A∩B＝{1}．

2.　解析：

cosα＝＝.

3.必要不充分　解析：

因为“m＞2”能推出“m＞1”，但是“m＞1”推不出“m＞2”，所以“m＞1”是“m＞2”的必要不充分条件．

4.　解析：

因为量a＝（1，m），b＝（3，2），a∥b，所以1×2－3m＝0，求得m＝.

5.[2，＋∞）　解析：

因为－1＋log2x≥0，所以log2x≥1，解得x≥2，故函数y＝的定义域为[2，＋∞）．

6.－3　解析：

因为函数y＝f（x）为奇函数，所以f（－7）＝－f（7）＝－log28＝－3.

7.－　解析：

因为Sn为等差数列{an}的前n项和，且S3＝S5，所以a4＋a5＝0，即2a1＋7d＝0，故＝－.

8.－　解析：

因为sin（π＋α）＝－，所以sinα＝，所以cos2α＝1－2sin2α＝1－2×＝－.

9.　解析：

f（x）＝sinx－cosx＝2sin，其对称轴为x＝＋kπ，当k＝－1时，|a|的最小值为.

10.[0，1]　解析：

由题意，得或解得a＝0或0＜a≤1，即0≤a≤1，

故实数a的取值范围是[0，1]．

11.1534　解析：

由题意知a1a2＝1，a2a3＝2，则数列{an·an＋1}是以1为首项，2为公比的等比数列，则an·an＋1＝2n－1，an＋1an＋2＝2n，则＝2，故a1＋a3＋a5＋…＋a19＝＝1023，a2＋a4＋a6＋…＋a18＝＝511，所以a1＋a2＋a3＋…＋a19＝1023＋511＝1534.

12.　解析：

＝＋＝＋，＝－，因为MN⊥BC，所以·＝0，即·（－）＝0，化简得－||2＋||2－·＝0，又AB＝，AC＝，计算得·＝1，则cosA＝＝＝.

13.　解析：

因为D为BC的中点，所以S△ACD＝S△ABD，故AC·ADsin∠CAD＝AB·AD·sin∠BAD，因为sin∠CAD＝sin2∠BAD＝2sin∠BADcos∠BAD，AC＝1，AB＝代入上式，得cos∠BAD＝，因为0＜∠BAD＜π，故∠BAD＝，∠BAC＝，BC＝＝＝.

14.　解析：

令g（x）＝2x3－3x2－a，g′（x）＝6x（x－1），故g（x）在区间[0，1]上单调递减，在区间[1，2]上单调递增，求得g（0）＝－a，g

（1）＝－1－a，g

（2）＝4－a，当a<时，f（x）＝|2x3－3x2－a|的最大值为4－a，故4－a≥m恒成立，m≤4－＝；当a≥时，f（x）＝|2x3－3x2－a|的最大值为a＋1，故a＋1≥m恒成立，m≤＋1＝.综上所述，对任意的实数a，总存在x0∈[0，2]，使得f（x0）≥m，则实数m的取值范围是.

15.

（1）因为f（x）相邻的两个零点差的绝对值为6，

记f（x）＝2sin（ωx＋φ）的周期为T，则＝6，

又T＝，

所以ω＝，（2分）

所以f（x）＝2sin.

因为f（x）的图象经过点（0，），

所以f（0）＝2sinφ＝，

所以φ＝，（4分）

所以函数f（x）的解析式为f（x）＝2sin（x＋）．（6分）

（2）因为将函数f（x）的图象向右平移3个单位长度后得到函数g（x）的图象，

由

（1）得，f（x）＝2sin，

所以函数g（x）的解析式为g（x）＝2sin[（x－3）＋]＝2sin.（10分）

当x∈[－1，5]时，x－∈，

则2sin∈[－，2]．

综上，当x∈[－1，5]时，g（x）的值域为[－，2]．（14分）

16.

（1）因为p为真命题，

所以2＋a≥（sinx）max，

所以a≥－1.（4分）

（2）因为“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，

所以p，q一真一假．（6分）

若q为真命题，则a＝x2－x在x∈[－1，1]上有解，

又y＝x2－x，x∈[－1，1]的值域为，所以－≤a≤2.（8分）

①p真q假，

则a>2或－1≤a<－.（10分）

②p假q真，则a无解．（12分）

综上，实数a的取值范围是∪（2，＋∞）．（14分）

17.方法一：

设∠ADE＝θ，过点E作EH⊥AD，垂足为H，

因为EF垂直平分AD，

所以DH＝BC＝50（米），

所以DE＝（米），EH＝50tanθ（米）．

又因为EF的中点是矩形ABCD的中心，

所以EF＝200－2EH＝（200－100tanθ）米．

记这5条路的总长度为f（θ）（米），

则f（θ）＝4·＋200－100tanθ，（6分）

即f（θ）＝200＋100·，

所以f′（θ）＝100·

，（8分）

化简得f′（θ）＝100·，

由f′（θ）＝0，可得θ＝，（10分）

列表如下：

θ

f′（θ）

－

0

＋

f（θ）

↘

200＋100

↗

由上表可知，当θ＝时，f（θ）取最小值f＝200＋100×＝（200＋100）米.（13分）

答：

5条道路的总长度的最小值为（200＋100）米．（14分）

方法二：

过点E作EH⊥AD，垂足为H，设EH＝x（米）（0

因为EF垂直平分AD，

所以AH＝BC＝50（米）．

又因为EF的中点是矩形ABCD的中心，

所以EF＝（200－2x）米．

在Rt△AEH中，AE＝米，

由对称性可得，AE＝DE＝CF＝BF＝米．

记这5条路的总长度为f（x）（米），

所以f（x）＝4＋200－2x（0

所以f′（x）＝＝.（8分）

令f′（x）＝0，解得x＝（负值舍去）．（10分）

列表如下：

x

f′（x）

－

0

＋

f（x）

↘

200＋100

↗

由上表可知，当x＝时，f（x）取最小值200＋100.（13分）

答：

5条道路的总长度的最小值为（200＋100）米.（14分）

18.

（1）设BC＝a，AC＝b，AB＝c，

由·＋5·＝0，

得5×4cosA＋5×2×2cosD＝0，

即cosA＝－cosD，（2分）

又A，D为三角形的内角，

所以sinA＝sinD，（4分）

在△ABC中，＝，

所以＝，（6分）

同理＝，（8分）

所以＝，

所以＝2.（10分）

（2）在△ABC中，cosA＝＝＝，（12分）

同理cosD＝，（14分）

由

（1）可得＝－，

解得BC＝a＝.（16分）

19.

（1）因原数列有3项，经第1次拓展后的项数P1＝3＋2＝5；

经第2次拓展后的项数P2＝5＋4＝9；

经第3次拓展后的项数P3＝9＋8＝17.（3分）

（2）因数列每一次拓展是在原数列的相邻两项中增加一项，

记数列经第n次拓展后的项数为Pn，则经第n＋1次拓展后增加的项数为Pn－1，

所以Pn＋1＝Pn＋（Pn－1）＝2Pn－1，（5分）

所以Pn＋1－1＝2Pn－2＝2（Pn－1），

由

（1）知P1－1＝4，

所以Pn－1＝4·2n－1＝2n＋1，

所以Pn＝2n＋1＋1.（7分）

由Pn＝2n＋1＋1≥2019，即2n＋1≥2018，解得n≥10，

所以n的最小值为10.（8分）

（3）设第n次拓展后数列的各项为a，a1，a2，a3，…，am，c，

所以Sn＝a＋a1＋a2＋a3＋…＋am＋c.

因数列每一次拓展是在