空间立体几何讲义Word格式.docx
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平行于同一口面的向里.
共娃向塑定理
对空间任帝两个向量；
，1祐舸）「二存花義
共面向量定瑾
若两吓询壘二M不#绻则向蚩?
与向蚩二谨面匸存在唯一的肓朝数对也y）,便:
二航+总
空间向塞基本定理
（1）理：
如果三Ml蚩二去CT共面，那鈿桂「册一向莖存在育序买数组駆・严翎吏簿2=订吨咗.
<
2）推论1设6几B.C是不共面的四点.则对空间一点.嘟存在唯一的二个有号实敷払$旗二卅片Z且JT+严沪丄
二、空间向量的运算
1、加减法I
减法的三角形法则
（1）空间任意两个向量都是共面的，它们的加、减法运算类似于平面向量的加减法.
OB=0A十AB—ab
OB-OA+AB-a-b
空间向量和平面向量一样满足三角形法则和平行四边形法则.
加法的三角畛法则加法的平行四边形法则
（2）加法运算律：
空间向量的加法满足交换律及结合律.
交换律：
结合律：
（3）推广
*首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量:
*首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为：
零向量
2.空间向量的数乘运算
*
（1）实数入与空间向量a的乘积入a仍是一个向量，称为向量的数乘运算.
1
A>
0X<
当0时，入a与a的方向相同；
2当入V0时，入a与a的方向相反；
3当入=0时，入a=0.
4|加|=|入||,入2的长度是a的长度的|入倍.
（2）运算律
空间向量的数乘满足分配律及结合律
分配律：
.（ab）ja•.b（，」）a=g：
ahb
结合律：
心ia）=（，，!
）a
3.空间向量的数量积和坐标运算
1.两个向量的数童稅
⑴盘怙=Lillb|cosv聲
⑵；
」了0；
庙丸G了为非零向量）；
（3）\a\=^a2-^2_c2.
坐标运算
q—（3严&
3），b=（^2r）
向星和
q+J=（3^+0^9合2十^2*83+O3）
向重差
a*b*（出-D十32~t>
2p33-O3）
数重积
a*j=a50-1+8202+33&
3
：
〃了=引二人6，a2=A£
>
2f33=Z&
3（Z6R）
垂直
□丄占&
2+^3&
3=0
夹角
cos<
a,j>
=彳・f=
7血+圧+必嗣+H+泾
3.直线的方向向量
1、直线的方向向量：
空间中任意一条直线I的位置可以由I上一个定点A以及一个定方向确定.直线I上的
向量e以及与e共线的向量叫做直线I的方向向量.
1一条直线I有无穷多个方向向量，这些方向向量之间互相平行.
2直线I的方向向量也是所有与I平行的直线的方向向量.匚
由于垂直于同一平面的直线是互相平行的，所以，可以用垂直于平面的直线的方向向量
来刻画平面的方向”如果表示向量n的有向线段所在直线垂直于平面a则称这个向量垂
直于平面，记作n丄a如果n丄a那么向量n叫做平面a的法向量.注意:
1法向量一定是非零向量；
2一个平面a有无穷多个法向量，这些法向量之间互相平行；
3向量n是平面的法向量，向量m是与平面平行或在平面内，则有n.m=O.
4一个平面a的法向量也是所有与平面a平行的平面的法向量.
4、法向量的求法：
（1）设：
设出平面法向量的坐标为n=（u,v,w）;
（2）列：
根据a・n=0,b・n=0,列出方程组;
（3）解：
把u（或v或w）看作常数，用u（或v或w）表示另外两个量
（4）取：
取u为任意一个数（当然取得越特殊越好），则得到平面法向量n的坐标.
四、用向量证明平行
1.直线与直线平存
设胃纵和囲方向向畫分别为;
;
和亍则由向量共线的条件得:
Mb礒间連合】67#W
2.礬与临怖
（1）已知两个弓閤向量订和W与G共面.直线I的一^方向向壘为二则由些而向重定理可以得：
I"
诫茫叭曲在两个有序实数（心yJ赫=石亠」頁
⑵由共丽向璽定理还可以得』如果凡B,C三点不共线.则点肿注平面ABC内的左戛条件是存在一对有厚实数0y）撕廛表=访+.l云威立-
3.与怖怖
设平面m0的袪向置分別丸石'
眉，则】
a卅障ci与R重令总A局口存在实数t,蜃可=厉
五、用向量证明垂直
（1）娃娃垂茁设立娃I卜1卫的方向向重分别为则1|丄丄了站=Ch
（2）娃面垂直「
1设直妓I的毓向童机，平丽口的法向堂为匚则LLao詡［口詐怖
2由线面垂言的刑定宦理，只瓢開已知亘线的方佝向世与平面内两牛不共线向量垂直.
（3）面面垂直r
1证明两平平面的袪向臺垂直即两牛平面的法何重［丄G朽；
总也
2由面面垂言的刑定定理可知：
貝要证明一吓平面內的一条直线的方向向量和一个平而内的两祭相交直绕的方向向量垂直,
一•选择题（共11小题）
1•已知直线I的一般方程式为x+y+1=0,则I的一个方向向量为（）
A.（1,1）B.（1,-1）C.（1,2）D.（1,-2）
2.已知等差数列｛an｝的前n项和为Sn,且5=11,&
=50,则过点P（n,aj和
Q（n+2,an+2）（n€N*）的直线的一个方向向量的坐标可以是（）
A.（-1,-3）B.（1,-3）C.（1,1）D.（1,-1）
3.若直线l1,l2的方向向量分别为■.=（2,4,-4）,'
■=（-6,9,6）,则（）
A.l1八2B.l1丄l2
C.I1与l2相交但不垂直D.以上均不正确
4.直线a,b的方向向量分别为=（1,-2,-2）,.=（-2,-3,2）,则a
与b的位置关系是（）
A.平行B.重合C•垂直D.夹角等于二
5.若A（0,2,丄），B（1,-1,）,C（-2,1,八）是平面a内的三点,
000
设平面a的法向量.二（x,y,z）,贝Ux:
y:
z=（）
A.2:
3:
（-4）B.1:
1:
1C.-丄：
1:
1D.3:
2:
4
6.已知（1,5,-2）,「=（3,1,z），若「丄:
'
l'
=（x-1,y,-3）,
且BP丄平面ABC,则实数x、y、z分别为（
3315,口4015
「4B〒，-〒
A.
）
4C.二，-2,4D.4,
-15
7.
若直线l的方向向量为■>
平面
a的法向量为'
能使l//a的是（
=（1,0,0）,
=（-2,0,
0）B.匸（1,
3,5）,-（1,
0,1）
C.
=（0,2,1）,
=（-1,0,
-1）D.'
=
（1,-1,3）,-（0,3,
1）
8.设一「；
•在上的投影为:
在x轴上的投影为2,且’
则为（）
A.（2,14）B.二:
C.D.（2,8）
9.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，P为对角线BD1的三等分点，P到各顶
点的距离的不同取值有（）
A.3个B.4个C.5个D.6个
10.已知直二面角a-I-B,点A€aAC丄I,C为垂足，B€B,BD丄l,D为垂
足，若AB=2,AC=BD=1则D到平面ABC的距离等于（）
A.-B.…C.-D.1
333
11.在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，顶点B1到对角线BD1和到平面A1BCD的距
离分别为h和d,贝U下列命题中正确的是（）
A.若侧棱的长小于底面的边长，则
B.若侧棱的长小于底面的边长，则
C.若侧棱的长大于底面的边长，则
D.若侧棱的长大于底面的边长，则
h的取值范围为（0,1）
d
［的取值范围为亠.
「的取值范围为
的取值范围为
字V2）
二.填空题（共12小题）
15.如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为BC的中点，点P在线段D1E上，点P到直线CC的距离的最小值为.
16.若.•二，i厂匸〕；
贝U・-:
=
17.已知A（1,2,-1）关于面xOz的对称点为B,贝U■=
18.如图，在三棱锥D-ABC中，已知AB=AD=2BC=1,丨--；
，贝UCD
19.如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD为矩形，SD丄底面ABCDAD=匚,
DC=SD=2点M在侧棱SC上，/ABM=60.若以DA,DC,DS分别为x轴，y
轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz，则M的坐标为.
20.如图，为一个正方体截下的一角P-ABC,|PA=a,|PB=b,|PC=c,建立如图坐标系，求△ABC的重心G的坐标.
21.下列关于空间向量的命题中，正确的有.
1若向量I,与空间任意向量都不能构成基底，则-d/■；
2若非零向量|,■,满足|丄、b丄则有|/;
3若示，!
■,「'
是空间的一组基底，且1=则A,B,C,D四
点共面；
4若向量+'
+「，T1,是空间一组基底，贝U1,\:
也是空间的一组基底.
22.由空间向量=（1,2,3）,■=（1,-1,1）构成的向量集合A={■|，二二+k■,
k€Z}，则向量：
的模|?
|的最小值为.
23.已知点A（1,2,1）,B（-2,,4）,D（1,1，1）,若，5,则
||||的值是.
24.已知空间四点A（0,1,0）,B（1,0,.[）,C（0,0,1）,D（1,1,1）,
£
厶
则异面直线AB,CD所成的角的余弦值为.
AB
25.如图ABCD-A1BQD1是正方体，B1E1=DiF1=[，则BE与DR所成角的余
弦值是.
26.已知向量；
，匸满足冋=2,；
与E的夹角为60°
贝倍在；
上的投影是
三.解答题（共9小题）
27.如图，三角形PDC所在的平面与长方形ABCD所在的平面垂直，PD=PC=4
AB=6,BC=3
（1）证明：
BC//平面PDA
（2）证明：
BC丄PD;
（3）求点C到平面PDA的距离.
28.如图，已知四棱锥P-ABCDPB丄AD侧面PAD为边长等于2的正三角形,底面ABCD为菱形，侧面PAD与底面ABCD所成的二面角为120°
.
（I）求点P到平面ABCD的距离，
（II）求面APB与面CPB所成二面角的大小.
29.如图，在四棱锥P—ABCD中，PD丄平面ABCDPD=DC=BC=,AB=2,AB//DC,/BCD=90.
（1）求证：
PCXBC;
（2）求点A到平面PBC的距离.
30.如图所示，在四棱锥P—ABCD中,底面ABCD为矩形，PA!
平面ABCD,点
E在线段PC上,PC丄平面BDE,设PA=1,AD=2.
（1）求平面BPC的法向量；
（2）求二面角B—PC-A的正切值.
31.如图，在四棱锥P-ABCD中,PA!
底面ABCDAD丄AB,AB//DC,AD=DC=AP=2AB=1,点E为棱PC的中点.
（I）证明：
BEXDC;
（U）求直线BE与平面PBD所成角的正弦值；
（川）若F为棱PC上一点，满足BFXAC,求二面角F-AB-P的余弦值.
p
32.如题图，三棱锥P-ABC中，PCI平面ABC,PC=3/ACB工.D,E分别
为线段AB,BC上的点，且CD=DE=：
CE=2EB=2
DE丄平面PCD
（U）求二面角A-PD-C的余弦值.
33.如图，在三棱台ABC-DEF中，已知平面BCFEL平面ABC,/ACB=90,
BE=EF=FC=1BC=2AC=3,
（I）求证：
BF丄平面ACFD
34.如图，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，侧棱AAi丄底面ABCD,AB丄AC,AB=1,AC=AA=2,AD=CD^，且点M和N分别为BiC和DiD的中点.
MN//平面ABCD
（U）求二面角Di-AC-Bi的正弦值；
（川）设E为棱AiBi上的点，若直线NE和平面ABCD所成角的正弦值为一，求
线段AiE的长.
.V
B
C
中占
I八、、
I
35.如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，P从平面ABCDE为PD的
证明：
PB//平面AEC
U）设AP=1,AD=「，三棱锥P-ABD的体积7=，求A至U平面PBC的距离4
2017年12月02日空间立体几何
参考答案
一•选择题（共14小题）
1.C;
2.B;
3.A;
4.B;
5.A;
6.B;
7.C;
8.A;
9.B;
10.D;
11.B;
12.B;
13.C;
14.C;
15.;
16.3；
17.（0,-4,0）;
18.一；
19.（0,1,1）;
20.（,：
）;
5—333
21.①③④;
22.「23.2「；
24.;
25.仝；
26.1
—917
27.；
28.；
29.；
30.；
31.；
32.；
33.；
34.；
35.；
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