空间立体几何讲义Word格式.docx

1、平行于同一口面的向里.共娃向塑定理对空间任帝两个向量；，1祐舸）二存花義共面向量定瑾若两吓询壘二M不#绻则向蚩?与向蚩二谨面匸存在唯一的肓朝数对也y）,便:二航+总空间向塞基本定理（1） 理：如果三Ml蚩二去CT共面，那鈿桂册一向莖存在育序买数组駆严翎吏簿2=订 吨咗.0 X2p 33-O3）数重积a *j=a 50-1+8202+33&3：了=引二人6，a2=A2f 33=Z&3 （Z6R）垂直丄占 &2+3&3=0夹角cos=彳 f =7血+圧+必嗣+H+泾3.直线的方向向量1、直线的方向向量：空间中任意一条直线I的位置可以由I上一个定点A以及一个定方向确定. 直线I上的向量e以及与e共线

2、的向量叫做直线I的方向向量.1一条直线I有无穷多个方向向量，这些方向向量之间互相平行.2直线I的方向向量也是所有与I平行的直线的方向向量.匚 由于垂直于同一平面的直线是互相平行的，所以，可以用垂直于平面的直线的方向向量来刻画平面的 方向”如果表示向量n的有向线段所在直线垂直于平面 a则称这个向量垂直于平面，记作n丄a如果n丄a那么向量n叫做平面a的法向量.注意:1法向量一定是非零向量；2一个平面a有无穷多个法向量，这些法向量之间互相平行；3向量n是平面的法向量，向量 m是与平面平行或在平面内，则有 n.m=O.4一个平面a的法向量也是所有与平面 a平行的平面的法向量.4、法向量的求法：（1 ）

3、设：设出平面法向量的坐标为 n = （u,v,w）;（2 ）列：根据an =0,bn =0,列出方程组;（3）解：把u （或v或w）看作常数，用u （或v或w）表示另外两个量（4）取：取u为任意一个数（当然取得越特殊越好），则得到平面法向量 n的坐标.四、用向量证明平行1.直线与直线平存设胃纵和囲方向向畫分别为;和亍则由向量共线的条件得:Mb礒间連合】67#W2.礬与临怖（1）已知两个弓閤向量订和W与G共面.直线I的一方向向壘为二则由些而向重定理可以得：I诫茫叭曲在两个有序实数（心yJ赫=石亠頁由共丽向璽定理还可以得如果凡B, C三点不共线.则点肿注平面ABC内的左戛条件是存在一对有厚实数0

4、y）撕廛表 =访+.l云威立-3.与怖怖设平面m 0的袪向置分別丸石 眉，则】a卅障ci与R重令总A局口存在实数t,蜃可=厉五、用向量证明垂直（1） 娃娃垂茁设立娃I卜1卫的方向向重分别为则1|丄丄了站=Ch（2）娃面垂直1设直妓I的毓向童机，平丽口的法向堂为匚则LLao詡口詐怖2由线面垂言的刑定宦理，只瓢開已知亘线的方佝向世与平面内两牛不共线向量垂直.（3）面面垂直r1证明两平平面的袪向臺垂直即两牛平面的法何重丄G朽；总也2由面面垂言的刑定定理可知：貝要证明一吓平面內的一条直线的方向向量和一个平而内的两祭相交直绕的方向向量垂直,一选择题（共11小题）1 已知直线I的一般方程式为x+y+1=0

5、,则I的一个方向向量为（ ）A.（ 1,1） B.（ 1,- 1） C. （ 1, 2） D.（ 1,- 2）2.已知等差数列an的前n项和为Sn,且5=11, &=50,则过点P （n, aj和Q （n+2, an+2） （n N*）的直线的一个方向向量的坐标可以是（ ）A. （- 1,- 3） B.（ 1,- 3） C.（ 1, 1） D.（ 1,- 1）3.若直线l1, l2的方向向量分别为.= （2, 4, - 4） ,=（- 6, 9, 6）,则（ ）A. l1 八2 B. l1 丄l2C. I1与l2相交但不垂直D.以上均不正确4.直线a, b的方向向量分别为 =（1,- 2,-

6、2）, .= （- 2, - 3, 2）,则a与b的位置关系是（ ）A.平行 B.重合 C垂直 D.夹角等于二5.若A （0, 2,丄），B （1,- 1, ）, C （-2, 1,八）是平面a内的三点,0 0 0设平面a的法向量.二（x, y, z）,贝U x: y: z=（ ）A. 2: 3:（ - 4） B. 1: 1: 1 C.-丄：1: 1 D. 3: 2: 46.已知（1, 5,-2）,= （3, 1, z），若丄:,l= （x- 1 , y,- 3）,且BP丄平面ABC,则实数x、y、z分别为（33 15 , 口 40 154 B，-A.）,4 C.二，-2 , 4 D. 4 ,

7、-157.若直线l的方向向量为,平面a的法向量为,能使l / a的是（=（1, 0, 0）,=（-2, 0,0） B.匸（1,3, 5）, - （1 ,0, 1）C.=（0, 2, 1）,=（-1, 0,-1） D.=（1,- 1, 3）, - （0, 3,1）8.设一； , 在上的投影为:在x轴上的投影为2,且则为（ ）A.（ 2, 14） B.二: C. D.（2, 8）9.如图，在正方体 ABCD- A1B1C1D1中，P为对角线BD1的三等分点，P到各顶点的距离的不同取值有（ ）A. 3个B. 4个C. 5个D. 6个10.已知直二面角 a- I - B,点A a AC丄I, C为垂足

8、，B B, BD丄l, D为垂足，若AB=2, AC=BD=1则D到平面ABC的距离等于（ ）A. - B.C. - D. 13 3 311.在正四棱柱ABCD- A1B1C1D1中，顶点B1到对角线BD1和到平面A1BCD的距离分别为h和d,贝U下列命题中正确的是（ ）A.若侧棱的长小于底面的边长，则B.若侧棱的长小于底面的边长，则C.若侧棱的长大于底面的边长，则D.若侧棱的长大于底面的边长，则h的取值范围为（0, 1）d的取值范围为 亠.的取值范围为的取值范围为字V2）二.填空题（共12小题）15.如图，在棱长为2的正方体ABCD- A1B1C1D1中，E为BC的中点，点P在线 段D1E上

9、，点P到直线CC的距离的最小值为 .16.若.二，i厂匸； ,贝U -:= 17.已知A （1, 2,- 1）关于面xOz的对称点为B,贝U = 18.如图，在三棱锥D-ABC中，已知AB=AD=2BC=1,丨-；，贝U CD 19.如图，在四棱锥S- ABCD中，底面ABCD为矩形，SD丄底面ABCD AD=匚,DC=SD=2点M在侧棱SC上，/ ABM=60 .若以DA, DC, DS 分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系 D- xyz，则M的坐标为 .20.如图，为一个正方体截下的一角 P- ABC, | PA=a, | PB =b, | PC =c,建立 如图坐标系，求

10、ABC的重心G的坐标 .21.下列关于空间向量的命题中，正确的有 .1若向量I,与空间任意向量都不能构成基底，则-d/ ；2若非零向量|, ,满足|丄、b丄则有| / ;3若示，!, 是空间的一组基底，且1= 则A, B, C, D四点共面；4若向量 +,+，T1,是空间一组基底，贝U 1, :也是空间的一组基底.22.由空间向量 =（1, 2, 3） , = （1, - 1,1）构成的向量集合 A= |，二二+k ,k Z，则向量：的模|?|的最小值为 .23.已知点 A（ 1, 2,1）, B （-2, , 4）, D（ 1, 1，1）,若，5,则| | |的值是 .24.已知空间四点 A

11、 （0, 1, 0）, B（ 1 , 0, .）, C（0, 0, 1）, D （1, 1 , 1 ）, 厶则异面直线AB, CD所成的角的余弦值为 .A B25.如图ABCD- A1BQD1是正方体，B1E1=DiF1=，则BE与DR所成角的余弦值是 .26.已知向量；，匸满足冋=2,；与E的夹角为60贝倍在；上的投影是 三.解答题（共9小题）27.如图，三角形PDC所在的平面与长方形 ABCD所在的平面垂直，PD=PC=4AB=6, BC=3（1）证明：BC/平面PDA（2）证明：BC丄PD;（3）求点C到平面PDA的距离.28.如图，已知四棱锥 P- ABCD PB丄AD侧面PAD为边长

12、等于2的正三角形, 底面ABCD为菱形，侧面PAD与底面ABCD所成的二面角为120.（I）求点P到平面ABCD的距离，（II）求面APB与面CPB所成二面角的大小.29.如图，在四棱锥 P ABCD中，PD丄平面 ABCD PD=DC=BC=, AB=2, AB/ DC,/ BCD=90.（1）求证：PCX BC;（2）求点A到平面PBC的距离.30.如图所示，在四棱锥P ABCD中,底面ABCD为矩形，PA!平面ABCD,点E在线段PC上, PC丄平面BDE,设PA=1, AD=2.（1）求平面BPC的法向量；（2）求二面角B PC- A的正切值.31.如图，在四棱锥 P- ABCD中,

13、PA!底面 ABCDAD丄 AB,AB/ DC, AD=DC=AP=2 AB=1,点E为棱PC的中点.（I）证明：BEX DC;（U）求直线BE与平面PBD所成角的正弦值；（川）若F为棱PC上一点，满足BFXAC,求二面角F- AB- P的余弦值.p32.如题图，三棱锥 P- ABC中，PCI平面ABC, PC=3 / ACB工.D, E分别为线段 AB, BC上的点，且 CD=DE=：, CE=2EB=2DE丄平面PCD（U）求二面角A- PD- C的余弦值.33.如图，在三棱台 ABC- DEF中，已知平面 BCFEL平面 ABC, / ACB=90,BE=EF=FC=1 BC=2 AC=

14、3,（I）求证：BF丄平面ACFD34.如图，在四棱柱ABCD- A1B1C1D1中，侧棱AAi丄底面ABCD, AB丄AC, AB=1, AC=AA=2, AD=CD，且点M和N分别为BiC和DiD的中点.MN /平面ABCD（U）求二面角Di- AC- Bi的正弦值；（川）设E为棱AiBi上的点，若直线NE和平面ABCD所成角的正弦值为一，求线段AiE的长.VBC中占I八、I35 .如图，四棱锥P- ABCD中，底面ABCD为矩形，P从平面ABCD E为PD的证明：PB/平面AECU）设AP=1, AD=，三棱锥P- ABD的体积7= ，求A至U平面PBC的距离 42017年12月02日空间立体几何参考答案一选择题（共14小题）1. C; 2. B; 3. A; 4. B; 5. A; 6. B; 7. C; 8. A; 9. B; 10. D; 11. B;12. B; 13. C; 14. C;15. ; 16. 3； 17. （0, - 4, 0） ; 18. 一 ； 19. （0, 1, 1） ; 20.（,：）;5 3 3 321.;22. 23. 2； 24. ; 25.仝；26. 1 9 1727.； 28.； 29.； 30.； 31 .； 32.； 33.； 34.； 35.；