第二讲圆锥曲线的方程与性质文档格式.docx

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[解析]　不妨设B（0，b），由＝2，F（c,0），可得A，代入双曲线C的方程可得×

－＝1，即·

＝，∴＝，①

又||＝＝4，c2＝a2＋b2，

∴a2＋2b2＝16，②

由①②可得，a2＝4，b2＝6，

∴双曲线C的方程为－＝1，故选D.

[答案]　D

3．抛物线y2＝2px（p>

0）的焦点为F，O为坐标原点，M为抛物线上一点，且|MF|＝4|OF|，△MFO的面积为4，则抛物线的方程为（　　）

A．y2＝6xB．y2＝8x

C．y2＝16xD．y2＝x

[解析]　设M（x，y），因为|OF|＝，|MF|＝4|OF|，所以|MF|＝2p，由抛物线定义知x＋＝2p，所以x＝p，所以y＝±

p，又△MFO的面积为4，所以×

p＝4，解得p＝4（p＝－4舍去）．所以抛物线的方程为y2＝8x，故选B.

[答案]　B

4．（2018·

安徽淮南三校联考）已知双曲线－＝1右焦点为F，P为双曲线左支上一点，点A（0，），则△APF周长的最小值为（　　）

A．4＋B．4（1＋）

C．2（＋）D.＋3

[解析]　由题意知F（，0），设左焦点为F0，则F0（－，0），由题可知△APF的周长l为|PA|＋|PF|＋|AF|，而|PF|＝2a＋|PF0|，∴l＝|PA|＋|PF0|＋2a＋|AF|≥|AF0|＋|AF|＋2a＝＋＋2×

2＝4＋4＝4（＋1），当且仅当A、F0、P三点共线时取得“＝”，故选B.

[快速审题]　看到求圆锥曲线方程，想到待定系数法、定义法；

看到椭圆和双曲线上一点与两焦点构成的三角形，想到定义的应用．

　求解圆锥曲线标准方程的思路方法

（1）定型，就是指定类型，也就是确定圆锥曲线的焦点位置，从而设出标准方程．

（2）计算，即利用定义或待定系数法求出方程中的a2，b2或p.

考点二　圆锥曲线的几何性质

1．在椭圆中：

a2＝b2＋c2，离心率为e＝＝.

2．在双曲线中：

c2＝a2＋b2，离心率为e＝＝.

3．双曲线－＝1（a>

0）的渐近线方程为y＝±

x.

[解析]　

（1）解法一：

由题意知，e＝＝，所以c＝a，所以b＝＝a，所以＝，所以该双曲线的渐近线方程为y＝±

x＝±

x，故选A.

解法二：

由e＝＝＝，得＝，所以该双曲线的渐近线方程为y＝±

（2）设|F1F2|＝2c，|AF1|＝m，

若△F1AB是以A为直角顶点的等腰直角三角形，所以|AB|＝|AF1|＝m，|BF1|＝m.由椭圆的定义可知△F1AB的周长为4a，

所以4a＝2m＋m，m＝2（2－）a.

所以|AF2|＝2a－m＝（2－2）a.

因为|AF1|2＋|AF2|2＝|F1F2|2，

所以4（2－）2a2＋4（－1）2a2＝4c2，

所以e2＝9－6，e＝－，故选D.

[答案]　

（1）A　

（2）D

[探究追问1]　本例

（2）中若椭圆改为双曲线－＝1（a>

0）过F2的直线与双曲线交于A，B两点，其他条件不变，则双曲线离心率e的值为________．

[解析]　如图所示：

因为|AF1|－|AF2|＝2a，|BF1|－|BF2|＝2a，|AF1|＝|AF2|＋|BF2|，

所以|BF2|＝2a，|BF1|＝4a.

所以|AF1|＝2a，|AF2|＝2a－2a.

因为|F1F2|2＝|AF1|2＋|AF2|2，

所以（2c）2＝（2a）2＋（2a－2a）2，

所以e2＝5－2，e＝.

[答案]　

[探究追问2]　在本例

（2）中若条件变为“在双曲线－＝1（a>

0）中，A1，A2是左、右顶点，F是右焦点，B是虚轴的上端点，若在线段BF上存在点P，使得△PA1A2构成以A1A2为斜边的直角三角形”，则双曲线离心率e的取值范围是________．

[解析]　由题意知以线段A1A2为直径的圆和线段BF有公共点，则原点到直线BF的距离小于或等于a，

又直线BF的方程为＋＝1，即bx＋cy－bc＝0，

所以≤a，整理得a4－3a2c2＋c4≤0，

即e4－3e2＋1≤0，解得≤e2≤，又e>

1，所以1<

e≤.

　应用圆锥曲线性质的2个要点

（1）确定椭圆和双曲线的离心率的值及范围，其关键就是确立一个关于a，b，c的方程（组）或不等式（组），再根据a，b，c的关系消掉b得到a，c的关系式．建立关于a，b，c的方程（组）或不等式（组），要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等．

（2）求双曲线渐近线方程关键在于求或的值，也可将双曲线等号右边的“1”变为“0”，然后因式分解得到．

临汾二模）若直线y＝－x与椭圆C：

＋＝1（a>

b>

0）交于A，B两点，以线段AB为直径的圆恰好经过椭圆的右焦点，则椭圆C的离心率为（　　）

A.B.

C.－1D．4－2

[解析]　设椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，O为坐标原点，由题意可得|OF2|＝|OA|＝|OB|＝|OF1|＝c.由y＝－x得∠AOF2＝，∠AOF1＝，∴|AF2|＝c，|AF1|＝c.由椭圆的定义知，|AF1|＋|AF2|＝2a，

∴c＋c＝2a，∴e＝＝－1，故选C.

南昌调研）已知F1，F2是双曲线C：

0）的两个焦点，P是C上一点，若|PF1|＋|PF2|＝6a，且△PF1F2最小内角的大小为30°

，则双曲线C的渐近线方程是（　　）

A.x±

y＝0B．x±

y＝0

C．x±

2y＝0D．2x±

[解析]　由题意，不妨设|PF1|>

|PF2|，则根据双曲线的定义得，

|PF1|－|PF2|＝2a，

又|PF1|＋|PF2|＝6a，

解得|PF1|＝4a，|PF2|＝2a.

在△PF1F2中，|F1F2|＝2c，而c>

a，

所以|PF2|<

|F1F2|，

所以∠PF1F2＝30°

，所以（2a）2＝（2c）2＋（4a）2－2×

2c×

4acos30°

，

得c＝a，所以b＝＝a，

所以双曲线的渐近线方程为y＝±

x，即x±

y＝0，故选A.

[答案]　A

考点三　抛物线中的最值问题

抛物线中的最值问题一般情况下都与抛物线的定义有关，实现由点到点的距离与点到直线的距离的转化．

[解题指导]　

―→―→

―→

（2）―→―→

[解析]　

（1）由题意得圆x2＋（y－4）2＝1的圆心C（0,4），半径r＝1，抛物线的焦点F（1,0）．由抛物线的几何性质可得：

点P到点Q的距离与点P到抛物线的准线距离之和的最小值是|CF|－r＝－1＝－1，故选C.

（2）过P作PM⊥l于M，则由抛物线定义知|PM|＝|PF|，

故|PA|＋|PF|＝|PA|＋|PM|.

当A、P、M三点共线时，

|PA|＋|PM|最小，此时点P坐标为（2,2），故选C.

[答案]　

（1）C　

（2）C

　与抛物线最值有关问题的两种转化

（1）将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”，使问题得解．

（2）将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，利用“与直线上所有点的连线中垂线段最短”解决．

郑州检测）已知抛物线x2＝4y上有一条长为6的动弦AB，则AB的中点到x轴的最短距离为（　　）

A.B.C．1D．2

[解析]　由题意知，抛物线的准线l：

y＝－1，过点A作AA1⊥l交l于点A1，过点B作BB1⊥l交l于点B1，设弦AB的中点为M，过点M作MM1⊥l交l于点M1，则

|MM1|＝.因为|AB|≤|AF|＋|BF|（F为抛物线的焦点），即|AF|＋|BF|≥6，所以|AA1|＋|BB1|≥6，2|MM1|≥6，|MM1|≥3，故点M到x轴的距离d≥2，故选D.

2．已知点F为抛物线y2＝－8x的焦点，O为坐标原点，点P是抛物线准线上一动点，点A在抛物线上，且|AF|＝4，则|PA|＋|PO|的最小值为（　　）

A．6B．2＋4

C．2D．4

[解析]　由已知可得抛物线y2＝－8x的焦点为F（－2,0），准线方程为x＝2.设点A的坐标为（x0，y0），根据抛物线的定义可得2－x0＝4，所以x0＝－2，y0＝±

4.O关于准线的对称点为O′（4,0），则当点P为AO′与准线x＝2的交点时，|PA|＋|PO|有最小值，且最小值为|AO′|＝2，故选C.

浙江卷）双曲线－y2＝1的焦点坐标是（　　）

A．（－，0），（，0）B．（－2,0），（2,0）

C．（0，－），（0，）D．（0，－2），（0,2）

[解析]　∵a2＝3，b2＝1，∴c＝＝2.又∵焦点在x轴上，∴双曲线的焦点坐标为（－2,0），（2,0），故选B.

天津卷）已知双曲线－＝1（a>

0）的离心率为2，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点．设A，B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2，且d1＋d2＝6，则双曲线的方程为（　　）

A.－＝1B.－＝1

C.－＝1D.－＝1

[解析]　∵双曲线－＝1（a>

0）的离心率为2，∴e2＝1＋＝4，∴＝3，即b2＝3a2，∴c2＝a2＋b2＝4a2，

由题意可设A（2a,3a），B（2a，－3a），

∵＝3，∴渐近线方程为y＝±

x，

则点A与点B到直线x－y＝0的距离分别为d1＝＝a，d2＝＝a，又∵d1＋d2＝6，∴a＋a＝6，解得a＝，∴b2＝9，∴双曲线的方程为－＝1，故选C.

3．（2018·

全国卷Ⅱ）已知F1，F2是椭圆C：

0）的左、右焦点，A是C的左顶点，点P在过A且斜率为的直线上，△PF1F2为等腰三角形，∠F1F2P＝120°

，则C的离心率为（　　）

A.B.C.D.

[解析]　由题意易知直线AP的方程为y＝（x＋a），①

直线PF2的方程为y＝（x－c）．②

联立①②得y＝（a＋c），

如图，过P向x轴引垂线，垂足为H，则PH＝（a＋c）．

因为∠PF2H＝60°

，PF2＝F1F2＝2c，PH＝（a＋c），

所以sin60°

＝＝

＝，

即a＋c＝5c，即a＝4c，

所以e＝＝，故选D.

江苏卷）在平面直角坐标系xOy中，若双曲线－＝1（a>

0）的右焦点F（c,0）到一条渐近线的距离为c，则其离心率的值是________．

[解析]　双曲线的一条渐近线方程为bx－ay＝0，则F（c,0）到这条渐近线的距离为＝c，∴b＝c，∴b2＝c2，又b2＝c2－a2，∴c2＝4a2，∴e＝＝2.

[答案]　2

5．（2018·

北京卷）已知椭圆M：

0），双曲线N：

－＝1.若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M的离心率为________；

双曲线N的离心率为________．

[解析]　

解法一：

如图是一个正六边形，A，B，C，D是双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点，F1，F2为椭圆M的两个焦点．

∵直线AC是双曲线N的一条渐近线，且其方程为y＝x，

∴＝.设m＝k，则n＝k，则双曲线N的离心率e2＝＝2.

连接F1C，在正六边形ABF2CDF1中，可得∠F1CF2＝90°

，∠CF1F2＝30°

.

设椭圆的焦距为2c，则|CF2|＝c，|CF1|＝c，再由椭圆的定义得|CF1|＋|CF2|＝2a，即（＋1）c＝2a，∴椭圆M的离心率e1＝＝＝＝－1.

双曲线N的离心率同解法一．由题意可得C点坐标为，代入椭圆M的方程，并结合a，b，c的关系，联立得方程组

解得＝－1.

[答案]　－1　2

圆锥曲线的定义、方程与性质是每年高考必考的内容．以选择、填空题的形式考查，常出现在第4～11或15～16题的位置，着重考查圆锥曲线的几何性质与标准方程，难度中等．

热点课题15　几何情境下的圆锥曲线问题

[感悟体验]

福建福州质检）已知双曲线E：

0）的左、右焦点分别为F1、F2，|F1F2|＝6，P是E右支上的一点，PF1与y轴交于点A，△PAF2的内切圆与边AF2的切点为Q.若|AQ|＝，则E的离心率是（　　）

A．2B.C.D.

[解析]　如图所示，设PF1、PF2分别与△PAF2的内切圆切于M、N，依题意，有|MA|＝|AQ|，|NP|＝|MP|，|NF2|＝|QF2|，|AF1|＝|AF2|＝|QA|＋|QF2|，2a＝|PF1|－|PF2|＝（|AF1|＋|MA|＋|MP|）－（|NP|＋|NF2|）＝2|QA|＝2，故a＝，从而e＝＝＝，故选C.

2.

（2018·

贵阳监测）已知点P是双曲线C：

0）左支上一点，F1、F2分别是双曲线的左、右焦点，且PF1⊥PF2，PF2与两条渐近线相交于M、N两点（如图），点N恰好平分线段PF2，则双曲线的离心率是________．

[解析]　由题意可知，ON为△PF1F2的中位线，∴PF1∥ON，

∴tan∠PF1F2＝tan∠NOF2＝kON＝，

∴

解得

又|PF2|－|PF1|＝2a，∴2b－2a＝2a，b＝2a，c＝＝a，e＝＝.

专题跟踪训练（二十五）

一、选择题

广西三市第一次联合调研）若抛物线y2＝2px（p>

0）上的点A（x0，）到其焦点的距离是A到y轴距离的3倍，则p等于（　　）

A.B．1C.D．2

[解析]　由题意3x0＝x0＋，x0＝，则＝2，∵p>

0，∴p＝2，故选D.

深圳一模）过点（3,2）且与椭圆3x2＋8y2＝24有相同焦点的椭圆方程为（　　）

A.＋＝1B.＋＝1

C.＋＝1D.＋＝1

[解析]　椭圆3x2＋8y2＝24的焦点为（±

，0），可得c＝，设所求椭圆的方程为＋＝1，可得＋＝1，又a2－b2＝5，得b2＝10，a2＝15，所以所求的椭圆方程为＋＝1，故选C.

福州模拟）已知双曲线－＝1（a>

0）的右顶点与抛物线y2＝8x的焦点重合，且其离心率e＝，则该双曲线的方程为（　　）

[解析]　易知抛物线y2＝8x的焦点为（2,0），所以双曲线的右顶点是（2,0），所以a＝2.又双曲线的离心率e＝，所以c＝3，b2＝c2－a2＝5，所以双曲线的方程为－＝1，故选A.

合肥二模）若中心在原点，焦点在y轴上的双曲线离心率为，则此双曲线的渐近线方程为（　　）

A．y＝±

xB．y＝±

x

C．y＝±

xD．y＝±

[解析]　根据题意，该双曲线的离心率为，即e＝＝，则有c＝a，进而b＝＝a.又由该双曲线的焦点在y轴上，则其渐近线方程为y＝±

x，故选B.

郑州一模）已知双曲线－x2＝1的两条渐近线分别与抛物线y2＝2px（p>

0）的准线交于A，B两点，O为坐标原点，若△OAB的面积为1，则p的值为（　　）

A．1B.C．2D．4

[解析]　双曲线－x2＝1的两条渐近线方程是y＝±

2x，抛物线y2＝2px（p>

0）的准线方程是x＝－，故A，B两点的纵坐标分别是y＝±

p.又△AOB的面积为1，∴·

·

2p＝1.∵p>

0，∴得p＝，故选B.

6．（2018·

东北三校联考）已知F1，F2是双曲线E：

0）的左、右焦点，过点F1的直线l与E的左支交于P，Q两点，若|PF1|＝2|F1Q|，且F2Q⊥PQ，则E的离心率是（　　）

[解析]　设|F1Q|＝t（t>

0），则|PF1|＝2t，由双曲线的定义有，|F2Q|＝t＋2a，|PF2|＝2t＋2a，又F2Q⊥PQ，所以△F1F2Q，△PQF2都为直角三角形．由勾股定理有即

故离心率e＝＝，故选D.

7．（2018·

长沙一模）A是抛物线y2＝2px（p>

0）上一点，F是抛物线的焦点，O为坐标原点，当|AF|＝4时，∠OFA＝120°

，则抛物线的准线方程是（　　）

A．x＝－1B．y＝－1

C．x＝－2D．y＝－2

[解析]　过A向准线作垂线，设垂足为B，准线与x轴的交点为D.因为∠OFA＝120°

，所以△ABF为等边三角形，∠DBF＝30°

，从而p＝|DF|＝2，因此抛物线的准线方程为x＝－1，故选A.

8．（2018·

陕西西安三模）已知圆x2＋y2－4x＋3＝0与双曲线－＝1的渐近线相切，则双曲线的离心率为（　　）

A.B．2C．2D.

[解析]　将圆的一般方程x2＋y2－4x＋3＝0化为标准方程（x－2）2＋y2＝1.由圆心（2,0）到直线x－y＝0的距离为1，得＝1，解得2＝，所以双曲线的离心率为e＝＝，故选D.

9．（2018·

宁夏银川一中二模）已知直线y＝x和椭圆＋＝1（a>

0）交于不同的两点M，N，若M，N在x轴上的射影恰好为椭圆的两个焦点，则椭圆的离心率为（　　）

[解析]　由题意可知，M，N在x轴上的射影恰好为椭圆的两个焦点，则M点坐标为，则＝c，则3b2＝2ac，即3c2＋2ac－3a2＝0.

上式两边同除以a2，整理得3e2＋2e－3＝0，解得e＝－或e＝.由0<

e<

1，得e＝，故选C.

10．（2018·

杭州第一次质检）设双曲线－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线l交双曲线左支于A，B两点，则|BF2|＋|AF2|的最小值为（　　）

A.B．11C．12D．16

[解析]　由双曲线定义可得|AF2|－|AF1|＝2a＝4，|BF2|－|BF1|＝2a＝4，两式相加可得|AF2|＋|BF2|＝|AB|＋8，由于AB为经过双曲线的左焦点与左支相交的弦，而|AB|min＝＝3，故|AF2|＋|BF2|＝|AB|＋8≥3＋8＝11，故选B.

11．（2018·

全国卷Ⅰ）已知双曲线C：

－y2＝1，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M，N.若△OMN为直角三角形，则|MN|＝（　　）

A.B．3C．2D．4

由双曲线C：

－y2＝1可知其渐近线方程为y＝±

x，∴∠MOx＝30°

，∴∠MON＝60°

，不妨设∠OMN＝90°

，则易知焦点F到渐近线的距离为b，即|MF|＝b＝1，又知|OF|＝c＝2，∴|OM|＝，则在Rt△OMN中，|MN|＝|OM|·

tan∠MON＝3，故选B.

12．（2018·

济宁模拟）

如图，椭圆的中心在坐标原点O，顶点分别是A1，A2，B1，B2，焦点分别为F1，F2，延长B1F2与A2B2交于P点，若∠B1PA2为钝角，则此椭圆的离心率的取值范围为（　　）

A.B.

C.D.

[解析]　设椭圆的方程为＋＝1（a>

0），∠B1PA2为钝角可转化为，所夹的角为钝角，则（a，－b）·

（－c，－b）<

0，得b2<

ac，即a2－c2<

ac，故2＋－1>

0，即e2＋e－1>

0，e>

或e<

，又0<

1，∴<

1，故选D.

二、填空题

13．（2018·

成都摸底测试）已知双曲线－＝1（a>

0）和抛物线y2＝8x有相同的焦点，则双曲线的离心率为________．

[解析]　易知抛物线y2＝8x的焦点为（2,0），所以双曲线－＝1的焦点为（2,0），则a2＋2＝22，即a＝，所以双曲线的离心率e＝＝＝.

14．（2018·

湖北八校联考）

如图所示，已知椭圆C的中心为原点O，F（－5,0）为C的左焦点，P为C上一点，满足|OP|＝|OF|且|PF|＝6，则椭圆C的方程为________．

[解析]　由题意可得c＝5，设右焦点为F′，连接PF′，由|OP|＝|OF|＝|OF′|知，∠PFF′＝∠FPO，∠OF′P＝∠OPF′，∴∠PFF′＋∠OF′P＝∠FPO＋∠OPF′，∴∠FPO＋∠OPF′＝90°

，即PF⊥PF′.在Rt△PFF′中，由勾股定理，得|PF′|＝＝＝8，

由椭圆的定义，得|PF|＋|PF′|＝2a＝6＋8＝14，从而a＝7，a2＝49，

于是b2＝a2－c2＝49－52＝24，∴椭圆C的方程为＋＝1.

[答案]　＋＝1

15．（2018·

西安四校联考）已知双曲线－＝1（a>

0）的左、右焦点分别为F1、F2，过F1的直线分别交双曲线的两条渐近线于P、Q两点，若P恰为线段F1Q的中点，且QF1⊥QF2，则此双曲线的渐近线方程为____________．

[解析]　根据题意，P是线段F1Q的中点，QF1⊥QF2，且O是线段F1F2的中点，故OP⊥F1Q，而两条渐近线关于y轴对称，故∠POF1＝∠QOF2，又∠POF1＝∠POQ，所以∠QOF2＝60°

，渐近线的斜率为±

，故渐近线方程为y＝±

[答案]　y＝±

16.

如图，在平面直角坐标系xOy中，F是椭圆＋＝1（a>

0）的右焦点，直线y＝与椭圆交于B，C两点，且∠BFC＝90°

，则该椭圆的离心率是________．

[解析]　由已知条件易得B，C，F（c,0），∴＝，＝，

由∠BFC＝90°

，可得·

＝0，

所以＋2＝0，

c2－a2＋b2＝0，

即4c2－3a2＋（a2－c2）＝0，

亦即3c2＝2a2，

所以＝，则e＝＝.