微分几何课后习题答案第四版梅向明黄敬之编docxWord格式文档下载.docx
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以{a,-b,2u0
}为方向向量的直线。
sin
acos
sin,asin
}上任意点的切平面和法线方程。
3．求球面r={acos
解r=
asin
cos
，r=
{
acos
acoscos
x
y
z
任意点的切平面方程为
即xcoscos
+ycos
+zsin
-a=0
；
法线方程为
zasin
。
cossin
4．求椭圆柱面x2
y2
1在任意点的切平面方程，并证明沿每一条直母线，此
a2
b2
曲面只有一个切平面。
解椭圆柱面
x2
2
1的参数方程为
x=cos
y=asin
z=t,
r{asin,bcos,0},rt{0,0,1}。
所以切平面方程为：
xacos
ybsin
t
bcos
0，即xbcos+yasin
－ab=0
1
此方程与t无关，对于的每一确定的值，确定唯一一个切平面，而的每一数值
对应一条直母线，说明沿每一条直母线，此曲面只有一个切平面。
5．证明曲面
{u,v,a3
}的切平面和三个坐标平面所构成的四面体的体积是常
uv
数。
证
ru{1,0,
a3
}，rv{0,1,
}。
切平面方程为：
x
z3
u2v
uv2
v
与三坐标轴的交点分别为（3u,0,0）,（0,3v,0）,（0,0,
3a2
）。
于是，四面体的体积为：
V
13|u|3|v|3a3
9a3是常数。
6
|uv|
２曲面的第一基本形式
1.
（u-v）,2uv｝的第一基本形式.
求双曲抛物面r＝｛a（u+v）,b
解
ru
{,,2},
a
2},
4
2,
abvrv
bu
Eru
F
rv
b2
4uv,G
a2
4u2,
∴I=
（a2
4v2）du2
4uv）dudv
（a2
4u2）dv2。
sinv,
bv}的第一基本形式，并证明坐标曲线互
２．求正螺面r={ucosv,u
相垂直。
{cosv,sinv,0},rv
{usinv,ucosv,b}，E
ru2
1，Frurv0，
G
u2
b2，∴
I=
du2
（u2
b2）dv2，∵Ｆ＝０，∴坐标曲线互相垂直。
３．在第一基本形式为I=du2sinh2udv2的曲面上，求方程为u=v的曲线
的弧长。
解由条件ds2
sinh2udv2,沿曲线u=v
有du=dv，将其代入ds2得
ds2
sinh2udv2=cosh2vdv2，ds=coshvdv,
在曲线u=v上，从v1到v2的
v2
coshvdv||sinhv2
sinhv1|。
弧长为|
v1
4．设曲面的第一基本形式为I=du2
a2）dv2，求它上面两条曲线u+v
=0,u–v=0的交角。
分析由于曲面上曲线的交角是曲线的内蕴量，即等距不变量，而求等距不变量只须知道曲面的第一基本形式，不需知道曲线的方程。
解由曲面的第一基本形式知曲面的第一类基本量E
1，
Fv
0，
2，
Gu
曲线u+v=0与u–v=0的交点为u=0,v=0,交点处的第一类基本量为
E
1，
0，Ga2。
曲线u+v=0的方向为du=-dv,u
–v=0
的方向为δu=
δv,
设两曲线的夹角为
，则有
cos=
Eduu
Gdvu
Gdv2
Eu2
Gv2
Edu2
5．求曲面z=axy
上坐标曲线x=x
y=y0的交角.
={x,y,axy},
坐标曲线x=x0
的向量表示为
解曲面的向量表示为r
={x0,y,ax0y}
={x,
，其切向量ry={0，1，ax0}；
坐标曲线y=y0的向量表示为r
y0,axy0}，其切向量rx={1，0，ay0}，设两曲线x=x0与y=y0
的夹角为
，则
rxry
a2x0y0
有cos=
|rx||ry|
1a2x021a2y02
6.求u-曲线和v-曲线的正交轨线的方程.
解对于u-曲线dv=0,设其正交轨线的方向为δu:
δv,则有
Eduδu+F（duδv+dvδu）+Gdvδv=0,将dv=0代入并消去du得u-曲线的
正交的微分方程Eδu+Fδv=0.
同理可得v-曲的正交的微分方程Fδu+Gδv=0.
7.在曲面上一点,含du,dv的二次方程Pdu2+2Qdudv+Rdv2＝０，确定两
个切方向（du：
dv）和（δu：
δv），明两个方向垂直的充要条件是ER-2FQ+GP=0.
明因du,dv不同零，假定dv
0，所二次方程可写成P（du）2+
dv
2Qdu+R=0,其二根du,
u,
du
u=R，du+u=
2Q⋯⋯①又根据二方
P
dvv
向垂直的条件知Edu
u+F（
du+u）+G=0
⋯⋯②
将①代入②得ER-2FQ+GP=0.
8.明曲面的坐曲的二等分角的微分方程Edu2=Gdv2.
用分用δ、、d表示沿u－曲，v－曲及其二等分角的微分符号，
即沿u－曲δu
０，δv＝０，沿v－曲
＝０，
０．沿二等分角
方向du:
dv,根据条件,又交角公式得
（EduvFdvu）2
（Fdu
Gdvv）
，即（Edu
Fdv）2
（FduGdv）2
Eu2ds2
Gv2ds2
展开并化得E（EG-
，消去
得坐曲
）du
=G（EG-F
）dv
而EG-F
>
EG-F
的二等分角的微分方程Edu2=Gdv2.
9．曲面的第一基本形式I=
u=av
2）dv2
，求曲面上三条曲u=av,
V=1
v=1相交所成的三角形的面。
解三曲在平面上的形（如）所示。
曲
o
城的三角形的面是
u=-av
S=
u2
a2du
u）
=2
dv=2
（1
2（u2
3
=[
a2）2
a2ln（u
a2）]|0a
3a
=a2[2
ln（1
2）]
}的面积。
10．求球面r={acos
解r
=
asincos
asin
{acossin,acoscos,0}
E=r2=a2,F=rr=0,G=r2=a2cos2.球面的面积为：
S=2
d
a4cos2d2a22cosd2a2sin|2
4a2.
11.
tsin
t
1}
证明螺面r={ucosv,usinv,u+v}
和旋转曲面r={tcos
（t>
1,0<
<
）之间可建立等距映射
=arctgu+v,t=
.
分析根据等距对应的充分条件,要证以上两曲面可建立等距映射=arctgu
+v,t=u21,可在一个曲面譬如在旋转曲面上作一参数变换使两曲面在对应点有相同的参数,然后证明在新的参数下,两曲面具有相同的第一基本形式.
证明螺面的第一基本形式为
I=2du2+2dudv+（u2+1）dv2,
旋转曲面的第一
基本形式为I=（1
t2
）dt2
t2d
在旋转曲面上作一参数变换
=arctgu+v,
t=
1,
则其第一基本形式为:
1）
1）（
2dudv）2
=（u2
1）du2
2du2
2dudv
1）dv2=2du2+2dudv+（u2+1）dv2=I.
1u
所以螺面和旋转曲面之间可建立等距映射=arctgu+v,t=u21.
3曲面的第二基本形式
的第一基本形式,第二基本形式.
计算悬链面r={coshucosv,coshusinv,u}
ru={sinhucosv,sinhusinv,1},rv={-coshusinv,coshucosv,0}
ruu={coshucosv,coshusinv,0},
ruv={-sinhusinv,sinhucosv,0},
rvv={-coshucosv,-coshusinv,0},
2=cosh
2u,
rv=0,
2=cosh2
u.
所以I=cosh2udu2+cosh2udv2.
n=
{coshucosv,
coshusinv,sinhusinv},
EG
F2
cosh2
L=
coshu
1,M=0,N=
=1.
sinh21
sinh2
所以II=-
du2+dv2
2.计算抛物面在原点的2x3
5x12
4x1x2
2x22第一基本形式,第二基本形式.
解曲面的向量表示为r{x1
x2
5x12
2x1x2x22},
rx1{1,0,5x1
2x2}（0,0）
{1,0,0},rx2
{0,1,2
x1
2x2}（0,0）{0,1,0},rx1x1{0,0,5},
rx1x2{0,0,2},rx2x2{0,0,2},E=1,F=0,G=1,L=5,M=2,N=2,
I=dx12
dx22,II=
5dx12
4dx1dx2
2dx22.
3.
cosv,usinv,bv},-∞<
u,v<
∞处处有EN-2FM+GL=0。
证明对于正螺面r={u
ru
{cos
v,sinv,0},rv
usinv,ucosv,b}
，ruu={0,0,0},
ruv={-uucosv,cosv,0},
rvv={-ucosv,-usinv,0},
Eru2
1，F
rv0，
b2，L=0,M=
N=0.
所以有EN-2FM+GL=0.
4.
求出抛物面z
1（ax2
by2）在（0,0）点沿方向（dx:
dy）
的法曲率.
解rx
{1,0,ax}（0,0）
{1,0,0},
ry
{0,1,by}（0,0）
{0,1,0},rxx
{0,0,a},rxy
{0,0,0}
ryy
{0,0,b},E=1,F=0,G=1,L=a,M=0,N=b,沿方向dx:
dy的法曲率kn
adx2
bdy2.
dx2
dy2
5.
已知平面
到单位球面（S）的中心距离为
d（0<
d<
1）,求与（S）交线的曲率
与法曲率.
解设平面与（S）
的交线为（C）,
则（C）的半径为1d2,即（C）的曲率为
k
d2
又（C）的主法向量与球面的法向量的夹角的余弦等于
d2,所以
（C）的法曲率为kn
1.
6.
利用法曲率公式kn
II
证明在球面上对于任何曲纹坐标第一、第二类基
I
本量成比例。
证明因为在球面上任一点处，沿任意方向的法截线为球面的大圆，其曲率为
球面半径R的倒数1/R。
即在球面上，对于任何曲纹坐标（u,v），沿任意方向du:
kn
Ldu2
2Mdudv
Ndv2
1或-
，所以L
M
N（
1），即第一、第二
Edu2
2Fdudv
Gdv2
R
类基本量成比例。
7．求证在正螺面上有一族渐近线是直线，另一族是螺旋线。
证明对于正螺面r={ucosv,usinv,bv}，
{usinv,ucosv,b}，ruu={0,0,0}
，rvv={-ucosv,-usinv,0}
L=（ru,rv,ruu）=0,N=
（ru,rv,rvv）
=0.所以u族曲线和v族曲线都是渐近线。
而
EGF2
族曲线是直线，v族曲线是螺旋线。
8.求曲面zxy2
的渐近线.
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