高中数学数列知识点解析.doc
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数列知识要点
数列
数列的定义
数列的有关概念
数列的通项
数列与函数的关系
项
项数
通项
等差数列
等差数列的定义
等差数列的通项
等差数列的性质
等差数列的前n项和
等比数列
等比数列的定义
等比数列的通项
等比数列的性质
等比数列的前n项和
等差数列
等比数列
定义
递推公式
；
；
通项公式
（）
中项
（）
（）
前项和
重要性质
1.⑴等差、等比数列：
等差数列
等比数列
定义
通项公式
=+（n-1）d=+（n-k）d=+-d
求和公式
中项公式
A=推广：
2=
。
推广：
性质
1
若m+n=p+q则
若m+n=p+q，则。
2
若成A.P（其中）则也为A.P。
若成等比数列（其中），则成等比数列。
3
．成等差数列。
成等比数列。
4
，
5
⑵看数列是不是等差数列有以下三种方法：
①
②2（）
③（为常数）.
⑶看数列是不是等比数列有以下四种方法：
①
②（，）①
注①：
i.，是a、b、c成等比的双非条件，即a、b、c等比数列.
ii.（ac＞0）→为a、b、c等比数列的充分不必要.
iii.→为a、b、c等比数列的必要不充分.
iv.且→为a、b、c等比数列的充要.
注意：
任意两数a、c不一定有等比中项，除非有ac＞0，则等比中项一定有两个.
③（为非零常数）.
④正数列{}成等比的充要条件是数列{}（）成等比数列.
⑷数列{}的前项和与通项的关系：
[注]：
①（可为零也可不为零→为等差数列充要条件（即常数列也是等差数列）→若不为0，则是等差数列充分条件）.
②等差{}前n项和→可以为零也可不为零→为等差的充要条件→若为零，则是等差数列的充分条件；若不为零，则是等差数列的充分条件.
③非零常数列既可为等比数列，也可为等差数列.（不是非零，即不可能有等比数列）
2.①等差数列依次每k项的和仍成等差数列，其公差为原公差的k2倍；
②若等差数列的项数为2，则；
③若等差数列的项数为，则，且，
.
3.常用公式：
①1+2+3…+n=
②
③
[注]：
熟悉常用通项：
9，99，999，…；5，55，555，….
4.等比数列的前项和公式的常见应用题：
⑴生产部门中有增长率的总产量问题.例如，第一年产量为，年增长率为，则每年的产量成等比数列，公比为.其中第年产量为，且过年后总产量为：
⑵银行部门中按复利计算问题.例如：
一年中每月初到银行存元，利息为，每月利息按复利计算，则每月的元过个月后便成为元.因此，第二年年初可存款：
=.
⑶分期付款应用题：
为分期付款方式贷款为a元；m为m个月将款全部付清；为年利率.
5.数列常见的几种形式：
⑴（p、q为二阶常数）用特证根方法求解.
具体步骤：
①写出特征方程（对应，x对应），并设二根②若可设，若可设；③由初始值确定.
⑵（P、r为常数）用①转化等差，等比数列；②逐项选代；③消去常数n转化为的形式，再用特征根方法求；④（公式法），由确定.
①转化等差，等比：
.
②选代法：
.
③用特征方程求解：
.
④由选代法推导结果：
.
6.几种常见的数列的思想方法：
⑴等差数列的前项和为，在时，有最大值.如何确定使取最大值时的值，有两种方法：
一是求使，成立的值；二是由利用二次函数的性质求的值.
⑵如果数列可以看作是一个等差数列与一个等比数列的对应项乘积，求此数列前项和可依照等比数列前项和的推倒导方法：
错位相减求和.例如：
⑶两个等差数列的相同项亦组成一个新的等差数列，此等差数列的首项就是原两个数列的第一个相同项，公差是两个数列公差的最小公倍数.
2.判断和证明数列是等差（等比）数列常有三种方法：
（1）定义法:
对于n≥2的任意自然数,验证为同一常数。
（2）通项公式法。
（3）中项公式法:
验证都成立。
3.在等差数列｛｝中,有关Sn的最值问题：
（1）当>0,d<0时，满足的项数m使得取最大值.
（2）当<0,d>0时，满足的项数m使得取最小值。
在解含绝对值的数列最值问题时,注意转化思想的应用。
（三）、数列求和的常用方法
1.公式法:
适用于等差、等比数列或可转化为等差、等比数列的数列。
2.裂项相消法:
适用于其中{}是各项不为0的等差数列，c为常数；部分无理数列、含阶乘的数列等。
3.错位相减法:
适用于其中{}是等差数列，是各项不为0的等比数列。
4.倒序相加法:
类似于等差数列前n项和公式的推导方法.
5.常用结论
1）:
1+2+3+...+n=
2）1+3+5+...+（2n-1）=
3）
4）
5）
6）
练习：
1、在公差不为的等差数列中，，且，，成等比数列。
（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设，求数列的前项和公式.
2、已知等差数列满足：
，的前项和为。
（Ⅰ）求及；（Ⅱ）令（其中为常数，且），求证数列为等比数列。
3、在等比数列中，，且，是和的等差中项.
（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）若数列满足（），求数列的前项和.
4、已知等比数列中，.
（Ⅰ）若为等差数列，且满足，求数列的通项公式;
（Ⅱ）若数列满足,求数列的前项和.
5、设数列的前项和为，且．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设，数列的前项和为，求证：
．
6、设数列的前项和为，且．数列满足，．
（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）证明：
数列为等差数列，并求的通项公式；
（Ⅲ）设数列的前项和为，是否存在常数，使得不等式恒成立？
若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由．
7数列中,,（是常数,）,且成公比不为的等比数列.
（1）求的值;
（2）求的通项公式;21世育网（3）求最小的自然数,使.
8.设等差数列的前n项和为,且,.
（Ⅰ）求数列的通项公式;（Ⅱ）设数列前n项和为,且（为常数）.令.求数列的前n项和.
9.数列{an}满足a1=2，对于任意的n∈N*都有an＞0,且（n+1）an2+an·an+1－
nan+12=0，又知数列{bn}的通项为bn=2n－1+1.
（1）求数列{an}的通项an及它的前n项和Sn；
（2）求数列{bn}的前n项和Tn；（3）猜想Sn与Tn的大小关系，并说明理由.
10设数列的前项和为,满足,,且、、成等差数列.
（Ⅰ）求的值; （Ⅱ）求数列的通项公式;（Ⅲ）证明:
对一切正整数,有.
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