高中数学人教版选修2-2全套教案.doc
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第一章 导数及其应用
§1.1.1变化率问题
教学目标：
1．理解平均变化率的概念；2．了解平均变化率的几何意义；3．会求函数在某点处附近的平均变化率
教学重点：
平均变化率的概念、函数在某点处附近的平均变化率；
教学难点：
平均变化率的概念．
教学过程：
一．创设情景
为了描述现实世界中运动、过程等变化着的现象，在数学中引入了函数，随着对函数的研究，产生了微积分，微积分的创立以自然科学中四类问题的处理直接相关：
一、已知物体运动的路程作为时间的函数,求物体在任意时刻的速度与加速度等;
二、求曲线的切线;
三、求已知函数的最大值与最小值;
四、求长度、面积、体积和重心等。
导数是微积分的核心概念之一它是研究函数增减、变化快慢、最大（小）值等问题最一般、最有效的工具。
导数研究的问题即变化率问题：
研究某个变量相对于另一个变量变化的快慢程度．
二．新课讲授
（一）问题提出
问题1气球膨胀率
我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢?
h
t
o
n气球的体积V（单位:
L）与半径r（单位:
dm）之间的函数关系是
n如果将半径r表示为体积V的函数,那么
分析:
，
⑴当V从0增加到1时,气球半径增加了气球的平均膨胀率为
⑵当V从1增加到2时,气球半径增加了
气球的平均膨胀率为
可以看出，随着气球体积逐渐增大，它的平均膨胀率逐渐变小了．
思考：
当空气容量从V1增加到V2时,气球的平均膨胀率是多少?
问题2高台跳水
在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h（单位：
m）与起跳后的时间t（单位：
s）存在函数关系h（t）=-4.9t2+6.5t+10.如何用运动员在某些时间段内的平均速度粗略地描述其运动状态?
思考计算：
和的平均速度
在这段时间里，；
在这段时间里，
探究：
计算运动员在这段时间里的平均速度，并思考以下问题：
⑴运动员在这段时间内使静止的吗？
⑵你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？
探究过程：
如图是函数h（t）=-4.9t2+6.5t+10的图像，结合图形可知，，
所以，
虽然运动员在这段时间里的平均速度为，但实际情况是运动员仍然运动，并非静止，可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态．
（二）平均变化率概念:
1．上述问题中的变化率可用式子表示,称为函数f（x）从x1到x2的平均变化率
2．若设,（这里看作是对于x1的一个“增量”可用x1+代替x2,同样）
3．则平均变化率为
思考：
观察函数f（x）的图象
平均变化率表示什么?
f（x2）
y=f（x）
y
△y=f（x2）-f（x1）
f（x1）
直线AB的斜率
△x=x2-x1
x2
x1
x
O
三．典例分析
例1．已知函数f（x）=的图象上的一点及临近一点,则．
解：
，∴
例2．求在附近的平均变化率。
解：
，所以
所以在附近的平均变化率为
四．课堂练习
1．质点运动规律为，则在时间中相应的平均速度为．
2.物体按照s（t）=3t2+t+4的规律作直线运动,求在4s附近的平均变化率.
3.过曲线y=f（x）=x3上两点P（1，1）和Q（1+Δx,1+Δy）作曲线的割线，求出当Δx=0.1时割线的斜率.
五．回顾总结：
1．平均变化率的概念；2．函数在某点处附近的平均变化率
六．布置作业
导数与导函数的概念
教学目标：
1、知识与技能：
理解导数的概念、掌握简单函数导数符号表示和求解方法；
理解导数的几何意义；
理解导函数的概念和意义；
2、过程与方法：
先理解概念背景，培养解决问题的能力；再掌握定义和几何意义，培养转化问题的能力；最后求切线方程，培养转化问题的能力
3、情感态度及价值观；让学生感受事物之间的联系，体会数学的美。
教学重点：
1、导数的求解方法和过程；2、导数符号的灵活运用
教学难点：
1、导数概念的理解；2、导函数的理解、认识和运用
教学过程：
一、情境引入
在前面我们解决的问题：
1、求函数在点（2，4）处的切线斜率。
，故斜率为4
2、直线运动的汽车速度V与时间t的关系是，求时的瞬时速度。
，故斜率为4
二、知识点讲解
上述两个函数和中，当（）无限趋近于0时，（）都无限趋近于一个常数。
归纳：
一般的，定义在区间（，）上的函数，，当无限趋近于0时，无限趋近于一个固定的常数A，则称在处可导，并称A为在处的导数，记作或，上述两个问题中：
（1），
（2）
三、几何意义：
我们上述过程可以看出在处的导数就是在处的切线斜率。
四、例题选讲
例1、求下列函数在相应位置的导数
（1），
（2），（3），
例2、函数满足，则当x无限趋近于0时，
（1）
（2）
变式:
设f（x）在x=x0处可导，（3）无限趋近于1，则=___________
（4）无限趋近于1，则=________________
（5）当△x无限趋近于0，所对应的常数与的关系。
总结：
导数等于纵坐标的增量与横坐标的增量之比的极限值。
例3、若，求和注意分析两者之间的区别。
例4：
已知函数，求在处的切线。
导函数的概念涉及：
的对于区间（,）上任意点处都可导，则在各点的导数也随x的变化而变化，因而也是自变量x的函数，该函数被称为的导函数，记作。
五、小结与作业
§1.1.2导数的概念
教学目标：
1．了解瞬时速度、瞬时变化率的概念；
2．理解导数的概念，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵；
3．会求函数在某点的导数
教学重点：
瞬时速度、瞬时变化率的概念、导数的概念；
教学难点：
导数的概念．
教学过程：
一．创设情景
h
t
o
（一）平均变化率
（二）探究：
计算运动员在这段时间里的平均速度，并思考以下问题：
⑴运动员在这段时间内使静止的吗？
⑵你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？
探究过程：
如图是函数h（t）=-4.9t2+6.5t+10的图像，结合图形可知，，
所以，
虽然运动员在这段时间里的平均速度为，但实际情况是运动员仍然运动，并非静止，可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态．
二．新课讲授
1．瞬时速度
我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度。
运动员的平均速度不能反映他在某一时刻的瞬时速度，那么，如何求运动员的瞬时速度呢？
比如，时的瞬时速度是多少？
考察附近的情况：
思考：
当趋近于0时，平均速度有什么样的变化趋势？
结论：
当趋近于0时，即无论从小于2的一边，还是从大于2的一边趋近于2时，平均速度都趋近于一个确定的值．
从物理的角度看，时间间隔无限变小时，平均速度就无限趋近于史的瞬时速度，因此，运动员在时的瞬时速度是
为了表述方便，我们用
表示“当，趋近于0时，平均速度趋近于定值”
小结：
局部以匀速代替变速，以平均速度代替瞬时速度，然后通过取极限，从瞬时速度的近似值过渡到瞬时速度的精确值。
2导数的概念
从函数y=f（x）在x=x0处的瞬时变化率是:
我们称它为函数在出的导数，记作或，即
说明：
（1）导数即为函数y=f（x）在x=x0处的瞬时变化率
（2），当时，，所以
三．典例分析
例1．
（1）求函数y=3x2在x=1处的导数.
分析：
先求Δf=Δy=f（１＋Δx）-f（１）=6Δx+（Δx）2 再求再求
解：
法一（略）
法二：
（2）求函数f（x）=在附近的平均变化率，并求出在该点处的导数．
解：
例2．（课本例1）将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热，如果第时，原油的温度（单位：
）为，计算第时和第时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义．
解：
在第时和第时，原油温度的瞬时变化率就是和
根据导数定义，
所以同理可得:
在第时和第时，原油温度的瞬时变化率分别为和5，说明在附近，原油温度大约以的速率下降，在第附近，原油温度大约以的速率上升．
注：
一般地，反映了原油温度在时刻附近的变化情况．
四．课堂练习1．质点运动规律为，求质点在的瞬时速度为．
2．求曲线y=f（x）=x3在时的导数．
3．例2中，计算第时和第时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义．
五．回顾总结：
1．瞬时速度、瞬时变化率的概念；2．导数的概念
六．布置作业
§1.1.3导数的几何意义
教学目标：
1．了解平均变化率与割线斜率之间的关系；
2．理解曲线的切线的概念；
3．通过函数的图像直观地理解导数的几何意义，并会用导数的几何意义解题；
教学重点：
曲线的切线的概念、切线的斜率、导数的几何意义；
教学难点：
导数的几何意义．
教学过程：
一．创设情景
（一）平均变化率、割线的斜率
（二）瞬时速度、导数
我们知道，导数表示函数y=f（x）在x=x0处的瞬时变化率，反映了函数y=f（x）在x=x0附近的变化情况，导数的几何意义是什么呢？
二．新课讲授
（一）曲线的切线及切线的斜率：
如图3.1-2，当沿着曲线趋近于点时，割线的变化趋势是什么？
图3.1-2
我们发现,当点沿着曲线无限接近点P即Δx→0时,割线趋近于确定的位置，这个确定位置的直线PT称为曲线在点P处的切线.
问题：
⑴割线的斜率与切线PT的斜率有什么关系？
⑵切线PT的斜率为多少？
容易知道，割线的斜率是,当点沿着曲线无限接近点P时，无限趋近于切线PT的斜率，即
说明：
（1）设切线的倾斜角为α,那么当Δx→0时,割线PQ的斜率,称为曲线在点P处的切线的斜率.
这个概念:
①提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法;
②切线斜率的本质—函数在处的导数.
（2）曲线在某点处的切线:
1）与该点的位置有关;2）要根据割线是否有极限位置来判断与求解.如有极限,则在此点有切线,且切线是唯一的;如不存在,则在此点处无切线;3）曲线的切线,并不一定与曲线只有一个交点,可以有多个,甚至可以无穷多个.
（二）导数的几何意义：
函数y=f（x）在x=x0处的导数等于在该点处的切线的斜率，
即说明：
求曲线在某点处的切线方程的基本步骤:
①求出P点的坐标;
②求出函数在点处的变化率，得到曲线在点的切线的斜率；
③利用点斜式求切线方程.
（二）导函数：
由函数f（x）在x=x0处求导数的过程可以看到,当时,是一个确定的数，那么,当x变化时,便是x的一个函数,我们叫它为f（x）的导函数.记作：
或，
即:
注：
在不致发生混淆时，导函数也简称导数．
（三）函数在点处的导数、导函数、导数之间的区别与联系。
1）函数在一点处的导数，就是在该点的函数的改变量与自变量的改变量之比的极限，它是一个常数，不是变数。
2）函数的导数，是指某一区间内任意点x而言的，就是函数f（x）的导函数
3）函数在点处的导数就是导函数在处的函数值，这也是求函数在点处的导数的方法之一。
三．典例分析
例1:
（1）求曲线y=f（x）=x2+1在点P（1,2）处的切线方程.
（2）求函数y=3x2在点处的导数.
解：
（1）,
所以，所求切线的斜率为2，因此，所求的切线方程为即
（2）因为
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