高中不等式的证明方法.doc
《高中不等式的证明方法.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中不等式的证明方法.doc（7页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
zhang
不等式的证明方法
不等式的证明是高中数学的一个难点，证明方法多种多样，近几年高考出现较为形式较为活跃，证明中经常需与函数、数列的知识综合应用，灵活的掌握运用各种方法是学好这部分知识的一个前提，下面我们将证明中常见的几种方法作一列举。
注意的变式应用。
常用（其中）来解决有关根式不等式的问题。
一、比较法
比较法是证明不等式最基本的方法，有做差比较和作商比较两种基本途径。
1、已知a,b,c均为正数，求证：
证明：
∵a,b均为正数，∴
同理，
三式相加，可得
∴
二、综合法
综合法是依据题设条件与基本不等式的性质等，运用不等式的变换，从已知条件推出所要证明的结论。
2、a、b、，，求证：
证：
∴
3、设、、是互不相等的正数，求证：
证：
∵∴
∵同理：
∴
4、知a,b,c，求证:
证明：
∵
即，两边开平方得
同理可得三式相加，得
5、且，证：
。
证：
6、已知
策略:
由于
证明：
。
三、分析法
分析法的思路是“执果索因”：
从求证的不等式出发，探索使结论成立的充分条件，直至已成立的不等式。
7、已知、、为正数，求证：
证：
要证：
只需证：
即：
∵成立∴原不等式成立
8、且，求证。
证：
即：
∵即∴原命题成立
四、换元法
换元法实质上就是变量代换法，即对所证不等式的题设和结论中的字母作适当的变换，以达到化难为易的目的。
9、，求证：
。
证明：
令
左∴
10、，求证：
证：
由设，∴
∴
11、已知a>b>c,求证：
证明：
∵a－b>0,b－c>0,a－c>0∴可设a－b=x,b－c=y（x,y>0）则a－c=x+y,原不等式转化为证明即证，即证∵∴原不等式成立（当仅x=y当“=”成立）
12、已知1≤x＋y≤2，求证：
≤x－xy＋y≤3．
证明：
∵1≤x＋y≤2，∴可设x=rcos，y=rsin，其中1≤r≤2，0≤＜．
∴x－xy＋y=r－rsin=r（1－sin），∵≤1－sin≤，∴r≤r（1－sin）≤r，而r≥，r≤3∴≤x－xy＋y≤3．
13、已知x－2xy＋y≤2，求证：
|x＋y|≤．
证明：
∵x－2xy＋y=（x－y）＋y，∴可设x－y=rcos，y=rsin，其中0≤r≤，0≤＜．
∴|x＋y|=|x－y＋2y|=|rcos＋2rsin|=r|sin（＋ractan）|≤≤．
14、解不等式＞
解：
因为=6，故可令=sin，＝cos，∈［0，］
则原不等式化为sin－cos＞所以sin＞+cos
由∈［0，］知+cos＞0，将上式两边平方并整理，得48cos2+4cos－23＜0
解得0≤cos＜所以x＝6cos2－1＜，且x≥－1，故原不等式的解集是｛x|-1≤x＜.
15、－1≤－x≤．
证明：
∵1－x≥0，∴－1≤x≤1，故可设x=cos，其中0≤≤．
则－x=－cos=sin－cos=sin（－），∵－≤－≤，
∴－1≤sin（－）≤，即－1≤－x≤．
五、增量代换法
在对称式（任意互换两个字母，代数式不变）和给定字母顺序（如a＞b＞c）的不等式，常用增量进行代换，代换的目的是减少变量的个数，使要证的结论更清晰，思路更直观，这样可以使问题化难为易，化繁为简．
16、已知a，bR，且a＋b=1，求证：
（a＋2）＋（b＋2）≥．
证明：
∵a，bR，且a＋b=1，∴设a=＋t，b=－t，（tR）
则（a＋2）＋（b＋2）=（＋t＋2）＋（－t＋2）=（t＋）＋（t－）=2t＋≥．
∴（a＋2）＋（b＋2）≥．
六、利用“1”的代换型
17、策略：
做“1”的代换。
证明：
.
七、反证法
反证法的思路是“假设矛盾肯定”，采用反证法时，应从与结论相反的假设出发，推出矛盾的过程中，每一步推理必须是正确的。
18、若p＞0，q＞0，p＋q=2，求证：
p＋q≤2．证明：
反证法
假设p＋q＞2，则（p＋q）＞8，即p＋q＋3pq（p＋q）＞8，∵p＋q=2，∴pq（p＋q）＞2．
故pq（p＋q）＞2=p＋q=（p＋q）（p－pq＋q），又p＞0，q＞0p＋q＞0，
∴pq＞p－pq＋q，即（p－q）＜0，矛盾．故假设p＋q＞2不成立，∴p＋q≤2．
19、已知、、（0，1），求证：
，，，不能均大于。
证明：
假设，，均大于∵，均为正∴
同理∴
∴不正确∴假设不成立∴原命题正确
20、已知a,b,c∈（0，1），求证：
（1－a）b,（1－b）c,（1－c）a不能同时大于。
证明：
假设三式同时大于∵0＜a＜1∴1－a＞0∴
21、、、，，，，求证：
、、均为正数。
证明：
反证法：
假设、、不均为正数又∵、、两负一正
不妨设，，又∵∴同乘以∴即，与已知矛盾
∴假设不成立∴、、均为正数
八、放缩法
放缩时常用的方法有：
1去或加上一些项2分子或分母放大（或缩小）3用函数单调性放缩4用已知不等式放缩
22、已知a、b、c、d都是正数，求证：
1＜＋＋＋＜2．
证明：
∵＜＜，＜＜，
＜＜，＜＜，
将上述四个同向不等式两边分别相加，得：
1＜＋＋＋＜2．
23、，求证：
。
证明：
∵
∴
判别式法
24、A、B、C为的内角，、、为任意实数，求证：
。
证明：
构造函数，判别式法令
为开口向上的抛物线
无论、为何值，∴∴命题真
九、构造函数法
构造函数法证明不等式24设0≤a、b、c≤2，求证：
4a＋b＋c＋abc≥2ab＋2bc＋2ca．
证明：
视a为自变量，构造一次函数=4a＋b＋c＋abc－2ab－2bc－2ca=（bc－2b－2c＋4）a＋（b＋c－2bc），由0≤a≤2，知表示一条线段．又=b＋c－2bc=（b－c）≥0，=b＋c－4b－4c＋8=（b－2）＋（c－2）≥0，
可见上述线段在横轴及其上方，∴≥0，即4a＋b＋c＋abc≥2ab＋2bc＋2ca．
构造向量法证明不等式根据已知条件与欲证不等式结构，将其转化为向量形式，利用向量数量积及不等式关系·≤||·||，就能避免复杂的凑配技巧，使解题过程简化．应用这一方法证明一些具有和积结构的代数不等式，思路清晰，易于掌握．
25、设a、b∈R，且a＋b=1，求证：
（a＋2）＋（b＋2）≥．
证明：
构造向量=（a＋2，b＋2），=（1，1）．设和的夹角为，其中0≤≤．
∵||=，||=，∴·=||·||cos=··cos；
y
x
x＋y=0
2
A
B
D
C
O
另一方面，·=（a＋2）·1＋（b＋2）·1=a＋b＋4=5，而0≤|cos|≤1，
所以·≥5，从而（a＋2）＋（b＋2）≥．
构造解析几何模型证明不等式
如果不等式两边可以通过某种方式与图形建立联系，则可根据已知式的结构挖掘出它的几何背景，通过构造解析几何模型，化数为形，利用数学模型的直观性，将不等式表达的抽象数量关系转化为图形加以解决．
26、设a＞0，b＞0，a＋b=1，求证：
＋≤2．
证明：
所证不等式变形为：
≤2．这可认为是点A（）到直线x＋y=0的距离．
但因（）＋（）=4，故点A在圆x＋y=4（x＞0，y＞0）上．如图所示，AD⊥BC，半径AO＞AD，即有：
≤2，所以＋≤2．
1．实数绝对值的定义:
|a|= 这是去掉绝对值符号的依据，是解含绝对值符号的不等式的基础。
2．最简单的含绝对值符号的不等式的解。
若a>0时，则 |x|ax<-a或x>a。
注:
这里利用实数绝对值的几何意义是很容易理解上式的，即|x|可看作是数轴上的动点P（x）到原点的距离。
3．常用的同解变形
|f（x）| |f（x）|>g（x）f（x）<-g（x）或f（x）>g（x）；
|f（x）|<|g（x）|f2（x） 4．三角形不等式:
||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|。
升级会员 