高三数学立体几何专题训练.doc
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高三数学立体几何专题训练
【考点】1.三视图；2求体积；3证线面垂直（垂直关系）；4求二面角的平面角；5求线面
角；6求异面直线所成角；7.求三角形面积；8判断平行、垂直、相交、重合位置关系。
【复习建议】
本题为低中档，一般分为两小问，可得满分。
第
（1）问，一般考查平行与垂直的证明
及相关问题，需要同学掌握好平行与垂直的证明的有关定理，并注意证明过程的书写规范，
如能建系。
也可用向量法；第
（2）问一般研究空间角，如用综合法请注意证明过程。
如用
空间向量需注意：
异面直线所成角（一定不大于900）、线面所成角（此类题最容易错，记
住所求向量的夹角的余弦为线面所成角的正弦）、二面角（注意观察是钝角还是锐角，一般
情况下是锐角）。
向量法建系要用黑色签字笔在答题卡上建，并用文字说明，注意检查所写
的点或向量坐标有无错，注意用向量数量积公式求夹角余弦时的运算，注意是否作答。
特别
的说明：
广东近年的立体几何题图形都比较新颖特别，但其实都很简单，无需紧张。
用向量
还是综合法，视题目（更适合哪种方法）和个人情况而定。
最后适当注意：
求解线面所成角
要转换（比如线面所成角的正弦与向量夹角的余弦关系）和翻折问题。
下面的例题仅供参考。
【题例】1.如图3所示，在四面体P—ABC中，已知PA=BC=6，PC=AB=10，AC=8，．F是线段PB上一点，,点E在线段AB上且EF⊥PB．
（I）证明：
PB⊥平面CEF；
（Ⅱ）求二面角B—CE-F的正切。
选题目的，练好计算（包括三角形各边，二面角求解）
练好规范；判定是否适用向量。
2．翻折问题．体积问题．函数导数）如图6所示，等腰△ABC的底
边,高CD=3，点E是线段BD上异于点B,D的动点，点F在BC边上，且EF⊥AB，现沿EF将△BEF折起到△PEF的位置，使PE⊥AE，记BE=x，V（x）表示四棱锥P一ACEF的体积.
（1）求V（x）的表达式；
（2）当x为何值时，V（x）取得最大值?
（3）当V（x）取得最大值时，求异面直线AC与PF所成角的余弦值
3、（组合图形问题）如图所示：
边长为2的正方形ABFC和高为2的直角梯形ADEF
所在的平面互相垂直且,ED∥AF,且∠DAF=900
（1）求BD和面BEF所成的角的正弦；
（2）线段EF上是否存在点P使过P、A、C三点的
平面和直线DB垂直，若存在，求EP与PF的比值；
若不存在，说明理由。
总结：
解决存在性问题方法：
1．先假设存在，再去推理，下结论：
2．运用推理证明计算得出结论，或先利用条件特例得出结论,然后再根据条件给出证明或计算。
4．（视图，无棱二面角问题）四棱锥P—ABCD的底面与四个侧面的形状和大小如图所示．
（1）写出四棱锥P一ABCD中四对线面垂直关系（不要求证明）；
（2）在四棱锥P--ABCD中，若E为PA的中点，求证：
BE∥平面PCD；
（3）在四棱锥P一ABCD中，设面PAB与面PCD所在的角为θ（00<θ≤900），求cosθ的值．
5．（无棱二面角问题）如图，四棱锥S一ABCD的底面是边长为l的正方形．SD
垂直于底面ABCD，
（1）求证：
BC⊥SC
（2）求面ASD与面BSC所成二面角的大小；
（3）设棱SA的中点为M，求异面直线DM与SB所成角的大小．
6．
如图①边长为1的正方形ABCD中，点E、
F分别为AB、BC的中点，将ABEF剪去，将
△AED、△DCF分别沿DE、DF折起，使A、
C两点重合于点P得一三棱锥如图②示．
（1）求证：
PD⊥EF：
（2）求三棱锥P—DEF的体积；
（3）求DE与平面PDF所成角的正弦值．
7、如图，在四棱锥P一ABCD中，底面ABCD为菱形，∠BAD=600，Q为AD的中点。
（1）若PA=PD，求证：
平面PQB⊥平面PAD；
（2）点M在线段PC上，PM=tPC，试确定t的值，使PA∥平面MQB
（3）在
（2）的条件下，若平面PAD⊥平面ABCD，且PA=PD=AD=2
求二面角M—BQ-C的大小。
8．（本小题满分l4分）
如图，△ABC是以∠ABC为直角的三角形，SA⊥平面ABC，SA=BC=2。
AB=4．M、N、D分别是SC、AB、BC的中点。
（1）求证：
MN⊥AB；
（2）求二面角S-ND—A的余弦值：
（3）求点A到平面SND的距离。
参考答案
l（I）证明：
∴△PAC是以∠PAC为直角的直角三角形，同理可证△PAB是以∠PAB为直角的直角三角形，△PCB是以∠PCB为直角的直角三角形．故PA⊥平面ABC,又
而,故CF⊥PB，又已知EF⊥PB
∴PB⊥平面CEF
（II）由（I）知PB⊥CE，PA⊥平面ABC．∴AB是PB在平面ABC上的射影，故AB⊥CE
在平面PAB内，过F作FF1垂直AB交AB于F1，则FF1⊥平面ABC，EFl是EF在
平面ABC上的射影，∴EF⊥EC,故∠FEB是二面角B—CE—F的平面角．
二面角B—CE一F的正切为
说明：
本题不适宜用向量
2
（1）由折起的过程可知，PE⊥平面ABC，
（2）
所以时，单调递增；
时,单调递减；因此时，V（x）取得最大值
（3）过F作MT∥AC交AD与M，则
在△PFM中，
∴异面直线AC与PF所成角的余弦值为
3解
（1）因为AC、AD、AB两两垂直，建立如图坐标系，则B（2，0，0），D（0，0，2）
E（1，l，2），F（2，2，0）。
则
设平面BEF的法向量,则
则可取
∴向量和所成角的正弦为
即BD和面BEF所成的角的正弦
（2）假设线段EF上存在点P使过P、A、C三点的平面和直线DB垂直，不妨设
则P点坐标为
则向量
向量
所以
所以
故存在这样的点P，当点P为EF中点时，BD⊥面PAC
4．解
（1）如图，在四棱锥P一ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD⊥平面PAB，BC⊥平面PAB，AB⊥平面PAD．
（2）依题意AB、AD、AP两两垂直，分别以直线AB、AD、AP为轴，建立空间直角坐标系，如图．则P（0，0，2），B（2，0，0）,C（2,2，0），D（0，4，0）．
∵E是PA中点，∴点E的坐标为（0，0，1），
设是平面PCD的法向量．
由，即
取y=1，得为平面PCD的一个法向量．
平面PCD.
又平面PCD，∴BE∥平面PCD．
（3）由
（2），平面PCD的一个法向量为
又∵AD⊥平面PAB，∴平面PAB的一个法向量为
5、方法一．解：
（1）如图建立空间直角坐标系．则有B（1,1，0），C（0，1，0），S（0，0,1）
于是.于是
所以,于是BC⊥SC，
（2）显然平面ASD的法向量为,设平面SCB的法向量为
则有,即,解得
由于
所以与的夹角为450，由图可以判断面ASD与面BSC所成的角为锐角，因此与与
的夹角相等，从而面ASD与面BSC所成的角为450．
（3）M点坐标为于是，而,并且
于是DM⊥SB，即异面直线DM与SB所成角的为900：
方法二：
几何法更快
6．
（1）证明：
依题意知图①折前AD⊥AE,CD⊥CF．∴PD⊥PE，PF⊥PD，……2分
∴PD⊥平面PEF………3分
又平面PEF∴PD⊥EF………4分
（2）解法l：
依题意知图①中
在△BEF中
在△PEF中
…………7分
………8分
（2）解法2：
依题意知图①中
在△BEF中……………………5分
取EF的中点M，连结PM,则PM⊥EF…………6分
……………7分
…………8分
（3）由
（2）知PE⊥PF,又PE⊥PD∴PE⊥平面PDF…………10分
∴∠PDE为DE与平面PDF所成的角，…………………………11分
在Rt△PDE中．……………l2分
…………14分
7．解：
（1）连BD，四边形ABCD菱形，∵AD⊥AB，∠BAD=600,△ABD为正三角形，Q为AD中点，∴AD⊥BQ,∵PA=PD，Q为AD的中点，AD⊥PQ,又BQ∩PQ=Q．∴AD⊥平面PQB，
平面PAD,∴平面PQB⊥平面PAD
（2）当时，PA∥平面MQB,
下面证明，若PA∥平面MQB，连AC交BQ于N,
由AQ∥BC,可得∽,
即
∵PA∥平面MQB，平面PAC,
平面PAC∩平面MQB=MN，∴PA∥MN
即：
（3）由PA=PD=AD=2，Q为AD的中点，则PQ⊥AD.又平面PAD⊥平面ABCD，所以PQ⊥平面ABCD，以Q为坐标原点，分别以QA、QB、QP所在的直线为x，y，z轴，建立如图所示的坐标系，则各点坐标为
令,则,由,
得点的坐标,
设平面MQB的法向量为,可得
,∴,解得
取平面ABCD的法向量
又因为二面角M—BQ—C为锐二面角，所以其大小为600。
8
（1）略证：
作ME⊥AC，连接NE，可证得AB⊥平面MNE,即得MN⊥AB……4分
过A作AF垂直DN且与DN的延长线相交于点F，连接SF
在△DBN中,,
在Rt△AFN中,
在Rt△SAF中,
（3）过点A作AH⊥SF于H，由
（2）知平面SAF⊥平面SND∴AH⊥面SND
∴AH的长为点A到平面SND的距离
在Rt△AHF中，
故点A到平面SND的距离为……………………14分
解法二：
（向量法）B为坐标原点，建立空间直角坐标系（如图），
由题意得M（1，2，1），N（0，2，0）
所以
设平面SND的法向量为
则，且，
令解z=1得：
x=2，y=-1
又平面AND的法向量为
（3）
9
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