高三数学不等式1基本不等式经典例题高考真题剖析解析版.doc

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必修五：

基本不等式

应用一：

求最值

例：

求下列函数的值域

（1）y＝3x2＋

（2）y＝x＋

解：

（1）y＝3x2＋≥2＝∴值域为[，+∞）

（2）当x＞0时，y＝x＋≥2＝2；

当x＜0时，y＝x＋=－（－x－）≤－2=－2

∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞）

l解题技巧

技巧一：

凑项

例已知，求函数的最大值。

解：

因，所以首先要“调整”符号，又不是常数，所以对要进行拆、凑项，

，

当且仅当，即时，上式等号成立，故当时，。

技巧二：

凑系数

例：

当时，求的最大值。

解析：

由知，，利用均值不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值。

注意到为定值，故只需将凑上一个系数即可。

当，即x＝2时取等号当x＝2时，的最大值为8。

变式：

设，求函数的最大值。

解：

∵∴∴

当且仅当即时等号成立。

技巧三：

分离、换元

例：

求的值域。

解析一：

本题看似无法运用均值不等式，不妨将分子配方凑出含有（x＋1）的项，再将其分离。

当,即时,（当且仅当x＝1时取“＝”号）。

解析二：

本题看似无法运用均值不等式，可先换元，令t=x＋1，化简原式在分离求最值。

当,即t=时,（当t=2即x＝1时取“＝”号）。

技巧四：

在应用最值定理求最值时，若遇等号取不到的情况，结合函数的单调性。

例：

求函数的值域。

解：

令，则

因，但解得不在区间，故等号不成立，考虑单调性。

因为在区间单调递增，所以在其子区间为单调递增函数，故。

所以，所求函数的值域为。

技巧五：

整体代换

多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错。

。

例：

已知，且，求的最小值错解：

，且，故。

错因：

解法中两次连用均值不等式，在等号成立条件是，在等号成立条件是即,取等号的条件的不一致，产生错误。

因此，在利用均值不等式处理问题时，列出等号成立条件是解题的必要步骤，而且是检验转换是否有误的一种方法。

正解：

，

当且仅当时，上式等号成立，又，可得时，。

技巧六

例：

已知x，y为正实数，且x2＋＝1，求x的最大值.

分析：

因条件和结论分别是二次和一次，故采用公式ab≤。

同时还应化简中y2前面的系数为，x＝x＝x·

下面将x，分别看成两个因式：

x·≤＝＝即x＝·x≤

技巧七：

已知a，b为正实数，2b＋ab＋a＝30，求函数y＝的最小值.

分析：

这是一个二元函数的最值问题，通常有两个途径，一是通过消元，转化为一元函数问题，再用单调性或基本不等式求解，对本题来说，这种途径是可行的；二是直接用基本不等式，对本题来说，因已知条件中既有和的形式，又有积的形式，不能一步到位求出最值，考虑用基本不等式放缩后，再通过解不等式的途径进行。

法一：

a＝，ab＝·b＝

由a＞0得，0＜b＜15

令t＝b+1，1＜t＜16，ab＝＝－2（t＋）＋34∵t＋≥2＝8

∴ab≤18∴y≥当且仅当t＝4，即b＝3，a＝6时，等号成立。

法二：

由已知得：

30－ab＝a＋2b∵a＋2b≥2　∴30－ab≥2

令u＝　则u2＋2u－30≤0，－5≤u≤3

∴≤3，ab≤18，∴y≥

点评：

①本题考查不等式的应用、不等式的解法及运算能力；②如何由已知不等式出发求得的范围，关键是寻找到之间的关系，由此想到不等式，这样将已知条件转换为含的不等式，进而解得的范围.

技巧八、取平方

例:

求函数的最大值。

解析：

注意到与的和为定值。

又，所以

当且仅当=，即时取等号。

故。

应用二：

利用均值不等式证明不等式

例：

已知a、b、c，且。

求证：

分析：

不等式右边数字8，使我们联想到左边因式分别使用均值不等式可得三个“2”连乘，又，可由此变形入手。

解：

a、b、c，。

。

同理，。

上述三个不等式两边均为正，分别相乘，得

。

当且仅当时取等号。

应用三：

均值不等式与恒成立问题

例：

已知且，求使不等式恒成立的实数的取值范围。

解：

令，

。

，

应用四：

均值定理在比较大小中的应用：

例：

若，则的大小关系是.

分析：

∵∴

（

∴R>Q>P。

【高考真题训练】

1.（2010·山东）已知x，y∈R＋，且满足＋＝1，则xy的最大值为__3___.

2.（2011·陕西）设0

　A.a

C.a<

3.（2010·四川）设a＞b＞c＞0，则2a2＋＋－10ac＋25c2的最小值是 （B）

A.2 B.4 C.2 D.5

4.（2013课标全国Ⅱ，文24）选修4—5：

不等式选讲

设a，b，c均为正数，且a＋b＋c＝1.证明：

（1）ab＋bc＋ca≤；

（2）≥1.

解：

（1）由a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ca，

得a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.

由题设得（a＋b＋c）2＝1，即a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca＝1.

所以3（ab＋bc＋ca）≤1，即ab＋bc＋ca≤.

（2）因为，，，

故≥2（a＋b＋c），

即≥a＋b＋c.

所以≥1.

5.[2014·重庆卷]若log4（3a＋4b）＝log2，则a＋b的最小值是（　　）

A．6＋2　B．7＋2　

C．6＋4　D．7＋4　

D　[解析]由log4（3a＋4b）＝log2，得3a＋4b＝ab，则＋＝1，所以a＋b＝（a＋b）＝7＋＋≥7＋2　＝7＋4　，当且仅当＝，即a＝4＋2　，b＝2　＋3时等号成立，故其最小值是7＋4　.

6.[2014·湖北卷]某项研究表明：

在考虑行车安全的情况下，某路段车流量F（单位时间内经过测量点的车辆数，单位：

辆/小时）与车流速度v（假设车辆以相同速度v行驶，单位：

米/秒）、平均车长l（单位：

米）的值有关，其公式为F＝.

（1）如果不限定车型，l＝6.05，则最大车流量为________辆/小时；

（2）如果限定车型，l＝5，则最大车流量比

（1）中的最大车流量增加________辆/小时．

（1）1900　

（2）100　[解析]

（1）依题意知，l>0，v>0，所以当l＝6.05时，

F＝＝≤＝1900，当且仅当v＝11时，取等号．

（2）当l＝5时，

F＝＝≤2000，

当且仅当v＝10时，取等号，此时比

（1）中的最大车流量增加100辆/小时．

7．[2014·福建卷]要制作一个容积为4m3，高为1m的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是（　　）

A．80元B．120元

C．160元D．240元

C　[解析]设底面矩形的一边长为x.由容器的容积为4m3，高为1m．得另一边长为m.

记容器的总造价为y元，则

y＝4×20＋2×1×10

＝80＋20

≥80＋20×2

＝160，

当且仅当x＝，即x＝2时等号成立．

因此，当x＝2时，y取得最小值160，即容器的最低总造价为160元，故选C.

8.[2014·辽宁卷]对于c＞0，当非零实数a，b满足4a2－2ab＋b2－c＝0且使|2a＋b|最大时，＋＋的最小值为________．

－1　[解析]因为4a2－2ab＋b2－c＝0，所以（2a＋b）2－c＝6ab＝3×2ab≤3×，所以（2a＋b）2≤4c，当且仅当b＝2a，c＝4a2时，|2a＋b|取得最大值．故＋＋＝＋＝－1，其最小值为－1.

9．[2014·浙江卷]已知实数a，b，c满足a＋b＋c＝0，a2＋b2＋c2＝1，则a的最大值是________．

　[解析]方法一：

令b＝x，c＝y，则x＋y＝－a，x2＋y2＝1－a2，此时直线x＋y＝－a与圆x2＋y2＝1－a2有交点，则圆心到直线的距离d＝≤，解得a2≤，所以a的最大值为.

方法二：

将c＝－（a＋b）代入a2＋b2＋c2＝1得2b2＋2ab＋2a2－1＝0，此关于b的方程有实数解，则Δ＝（2a）2－8（2a2－1）≥0，整理得到a2≤，所以a的最大值为.

10.[2014·江苏卷]若△ABC的内角满足sinA＋sinB＝2sinC，则cosC的最小值是______．

　[解析]设△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，则由正弦定理得a＋b＝2c.故

cosC＝＝＝＝－≥－＝，

当且仅当3a2＝2b2，即＝时等号成立．