七年级数学下册 平面直角坐标系章末重难点题型举一反三人教版解析版Word格式文档下载.docx

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，据此求出m的值，再根据各象限内点的坐标的符号进行判断即可．

∵点A（m2﹣4，m+1）在y轴的非负半轴上，

∴

，

解得m＝2，

∴m﹣1＝1，1﹣2m＝﹣3，

∵（1，﹣3）在第四象限，

∴点B（m﹣1，1﹣2m）在第四象限．

D．

【点睛】本题考查了点的坐标，根据y轴上的点的坐标特点求出m的值是解答本题的关键，注意：

四个象限的符号特点分别是：

第一象限（+，+）；

第二象限（﹣，+）；

第三象限（﹣，﹣）；

第四象限（+，﹣）．

【变式1-3】

（2020•西湖区校级期中）如图，平面直角坐标系中有P、Q两点，其坐标分别为P（4，a）、Q（b，6）．根据图中P、Q两点的位置，判断点（9﹣2b，a﹣6）落在第（　　）象限

A．一B．二C．三D．四

【分析】直接利用Q，P的位置进而得出a＜6，b＜4，进而得出9﹣2b＞0，a﹣6＜0，求出答案即可．

如图所示：

a＜6，b＜4，

则9﹣2b＞0，a﹣6＜0，

故点（9﹣2b，a﹣6）落在第四象限．

【点睛】此题主要考查了点的坐标，正确得出a，b的取值范围是解题关键．

【考点2坐标轴上点的特征】

【方法点拨】坐标系内点的坐标特点：

坐标原点（0，0）、x轴（x，0）、y轴（0，y）.注意若点在坐标轴上，则要分成在x轴、y轴上两种情况来讨论.

【例2】

（2020春•孟村县期中）已知点P（3a，a+2）在y轴上，则点P的坐标是（　　）

A．（0，2）B．（0，﹣6）C．（2，0）D．（0，6）

【分析】直接利用y轴上点的坐标特点得出其横坐标为零，进而得出答案．

∵点P（3a，a+2）在y轴上，

∴3a＝0，

解得：

a＝0，

故a+2＝2．

则点P的坐标是（0，2）．

A．

【点睛】此题主要考查了点的坐标，正确掌握y轴上点的坐标特点是解题关键．

【变式2-1】

（2020春•雨花区校级期末）已知A（a﹣5，2b﹣1）在y轴上，B（3a+2，b+3）在x轴上，则C（a，b）的坐标为　　．

【分析】直接利用x，y轴上点的坐标特点得出a，b的值进而得出答案．

∵A（a﹣5，2b﹣1）在y轴上，B（3a+2，b+3）在x轴上，

∴a﹣5＝0，b+3＝0，

a＝5，b＝﹣3，

∴C（a，b）的坐标为：

（5，﹣3）．

故答案为：

【点睛】此题主要考查了点的坐标，正确得出a，b的值是解题关键．

【变式2-2】

（2020春•昆明期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（a2﹣4，3）在y轴上，点B在x轴上，且横坐标为a，则点B的坐标为　　．

【分析】直接利用y轴上点的坐标特点得出a的值，进而得出答案．

∵点A（a2﹣4，3）在y轴上，

∴a2﹣4＝0，

a＝2或﹣2，

∵点B在x轴上，且横坐标为a，

∴点B的坐标为：

（2，0）和（﹣2，0）．

【点睛】此题主要考查了点的坐标，正确掌握坐标轴上点的坐标特点是解题关键．

【变式2-3】

（2019春•和平区期中）在平面直角坐标系中，已知点A（0，0），|AB|＝3，且点B和点A在同一坐标轴上，则点B的坐标为　　．

【分析】根据数轴上到一点距离相等的点有两个，可得答案．

B在x轴上时点B的坐标为（3，0）或（﹣3，0），

B在y轴上时点B的坐标为（0，3）或（0，﹣3）；

（3，0）或（﹣3，0）或（0，3）或（0，﹣3）．

【点睛】本题考查了点的坐标．解题的关键能够正确确定出点的坐标，利用数轴上到一点距离相等的点有两个，以防遗漏．

【考点3点到坐标轴的距离】

【方法点拨】点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，到y轴的距离等于横坐标的绝对值.

【例3】

（2020春•邵东市期末）若M在平面直角坐标系第二象限，且M到x轴的距离为4，到y轴距离为3，则点M的坐标为（　　）

A．（3，﹣4）B．（4，﹣3）C．（﹣4，3）D．（﹣3，4）

【分析】若M在平面直角坐标系第二象限，且M到x轴的距离为4，到y轴距离为3，则点M的坐标为

由题意可得，

|x|＝3，|y|＝4，

∵点M在第二象限，

∴x＝﹣3，y＝4

即M（﹣3，4），

【点睛】本题考查了直角坐标系，正确理解横坐标与纵坐标的意义是解题的关键．

【变式3-1】

（2019春•鹿邑县期中）已知点P（x，y）到x轴的距离为2，到y轴的距离为3，且x+y＞0，x＜0，则点P的坐标为（　　）

A．（﹣2，3）B．（2，3）C．（3，﹣2）D．（3，2）

【分析】由点P（x，y）到X轴距离为2，到Y轴距离为3，可得x，y的可能的值，由x+y＞0，xy＜0，可得两数异号，且正数的绝对值较大；

根据前面得到的结论即可判断点P的坐标．

∵点P（x，y）到x轴距离为2，到y轴距离为3，

∴|x|＝3，|y|＝2，

∴x＝±

3，y＝±

2；

∵x+y＞0，xy＜0，

∴x＝3，y＝﹣2，

∴P的坐标为（3，﹣2），

【点睛】本题涉及到的知识点为：

点到x轴的距离为点的纵坐标的绝对值；

点到y轴的距离为点的横坐标的绝对值；

两数相乘，异号得负；

异号两数相加，结果的符号和绝对值较大的加数的符号相同．

【变式3-2】

（2020春•越秀区校级月考）在平面直角坐标系中，点A的坐标是（3a﹣5，a+1）．若点A到x轴的距离与到y轴的距离相等，且点A在y轴的右侧，则a的值为（　　）

A．1B．2C．3D．1或3

【分析】根据点A到x轴的距离与到y轴的距离相等可得3a﹣5＝a+1或3a﹣5＝﹣（a+1），解出a的值，再由点A在y轴的右侧可得3a﹣5＞0，进而可确定a的值．

∵点A到x轴的距离与到y轴的距离相等，

∴3a﹣5＝a+1或3a﹣5＝﹣（a+1），

a＝3或1，

∵点A在y轴的右侧，

∴点A的横坐标为正数，

∴3a﹣5＞0，

∴a

∴a＝3，

【点睛】此题主要考查了点的坐标，关键是掌握到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，到y轴的距离等于横坐标的绝对值．

【变式3-3】

（2020春•郁南县期末）若点P（2x，x﹣3）到两坐标轴的距离之和为5，则x的值为　　．

【分析】分别利用P点在第一、二、三、四象限以及在坐标轴上分别分析得出答案．

当点P在第一象限，x﹣3＞0，

x＞3，

且2x+x﹣3＝5，

x

3，不合题意；

当点P在第二象限，

不等式组无解，不合题意；

当点P在第三象限，

不等式组的解集为：

x＜0，

则﹣2x﹣x+3＝5，

；

当点P在第四象限，

则

0＜x＜3，

故2x﹣（x﹣3）＝5，

x＝2，

当点P在x轴上，则x﹣3＝0，

x＝3，此时2x＝6，不合题意；

当点P在y轴上，则2x＝0，

x＝0，此时|x﹣3|＝3，不合题意；

综上所述：

或x＝2．

【考点4角平分线上点的特征】

【方法点拨】象限角平分线上点的坐标特点：

第1、3象限中x＝y，第二、四象限中x＋y＝0．

【例4】

（2020•新吴区期中）已知点A（m2﹣2，5m+4）在第一象限的角平分线上，则m的值为（　　）

A．6B．﹣1C．﹣1或6D．2或3

【分析】根据第一象限角平分线上点的横坐标与纵坐标相等列方程求解，再根据第一象限点的横坐标与纵坐标都是正数作出判断．

∵点A（m2﹣2，5m+4）在第一象限的角平分线上，

∴m2﹣2＝5m+4，

∴m2﹣5m﹣6＝0，

解得m1＝﹣1，m2＝6，

当m＝﹣1时，m2﹣2＝﹣1，

点A（﹣1，﹣1）在第三象限，不符合题意，

所以m的值为6．

【点睛】本题考查了点的坐标，熟记第一象限平分线上的点的横坐标与纵坐标相等是解题的关键，易错点在于要注意对求出的解进行判断．

【变式4-1】

（2020•平南县期中）若点N在第一、三象限的角平分线上，且点N到y轴的距离为2，则点N的坐标是（　　）

A．（2，2）B．（﹣2，﹣2）

C．（2，2）或（﹣2，﹣2）D．（﹣2，2）或（2，﹣2）

【分析】根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得点M的横坐标与纵坐标的长度相等，再分点M在第一、三象限两种情况解答．

∵点N在第一、三象限的角平分线上，

∴点N到y轴的距离也为2，

当点N在第一象限时，点N的坐标为（2，2）；

点N在第三象限时，点N的坐标为（﹣2，﹣2）．

所以，点N的坐标为（2，2）或（﹣2，﹣2）．

【点睛】本题考查了坐标与图形的性质，主要利用了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，要注意分情况讨论．

【变式4-2】

（2020春•龙华区校级期末）若点P（3a﹣2，2a+7）在第二、四象限的角平分线上，则点P的坐标是　　．

【分析】根据第二、第四象限坐标轴夹角平分线上的点，横纵坐标互为相反数，由此就可以得到关于a的方程，解出a的值，即可求得P点的坐标．

∵点P（3a﹣2，2a+7）在第二、四象限的角平分线上，

∴3a﹣2+2a+7＝0，

a＝﹣1，

∴P（﹣5，5）．

（﹣5，5）．

【点睛】本题考查了点的坐标的知识，注意掌握知识点：

第二、四象限的夹角角平分线上的点的横纵坐标互为相反数．

【变式4-3】

（2020秋•高邮市期中）在平面直角坐标系xOy中，有一点P（a，b），实数a，b，m满足以下两个等式：

2a﹣6m+4＝0，b+2m﹣8＝0．

（1）当a＝1时，点P到x轴的距离为　　；

（2）若点P在第一、三象限的角平分线上，求点P的坐标；

（3）当a＜b时，则m的取值范围是　　．

【分析】

（1）把a＝1代入2a﹣6m+4＝0中求出m值，再把m值代入b+2m﹣8＝0中即可求出b的值，再根据点到x轴的距离是纵坐标的绝对值即可求解；

（2）借助两个等式，用m把a、b分别表示出来，再根据题意可知P点的横、纵坐标相等，列关于m的方程求出m的值，最后求出a、b值．

（3）把a、b用m表示出来，代入a＜b，则m的取值范围可求．

（1）当a＝1时，则2×

1﹣6m+4＝0，解得m＝1．

把m＝1代入b+2m﹣8＝0中，得b＝6．所以P点坐标为（1，6），

所以点P到x轴的距离为6．

故答案为6．

（2）当点P在第一、三象限的角平分线上时，根据点的横、纵坐标相等，可得a＝b．

由2a﹣6m+4＝0，可得a＝3m﹣2；

由b+2m﹣8＝0，可得b＝﹣2m+8．则3m﹣2＝﹣2m+8，解得m＝2．

把m＝2分别代入2a﹣6m+4＝0，b+2m﹣8＝0中，解得a＝b＝4，所以P点坐标为（4，4）．

（3）由

（2）中解答过程可知a＝3m﹣2，b＝﹣2m+8．若a＜b，即3m﹣2＜﹣2m+8，解得m＜2．

故答案为m＜2．

【点睛】本题主要考察了点的坐标特征及解不等式，熟知特殊点的坐标特征是解题的关键．

【考点5点的坐标与象限（新定义问题）】

【例5】

（2020春•东西湖区期中）若定义：

f（a，b）＝（﹣a，b），g（m，n）＝（m，﹣n），例如f（1，2）＝（﹣1，2），g（﹣4，﹣5）＝（﹣4，5），则g（f（3，﹣4））的值为（　　）

A．（3，﹣4）B．（﹣3，4）C．（3，4）D．（﹣3，﹣4）

【分析】根据f（a，b）＝（﹣a，b），g（m，n）＝（m，﹣n），可得答案．

g（f（3，﹣4））＝g（﹣3，﹣4）＝（﹣3，4），

【点睛】本题考查了点的坐标，利用f（a，b）＝（﹣a，b），g（m，n）＝（m，﹣n）是解题关键．

【变式5-1】

（2019春•无为县期末）如图，平面中两条直线l1和l2相交于点O，对于平面上任意点M，若p，q分别是M到直线l1和l2的距离，则称有序非负实数对（p，q）是点M的“距离坐标”．根据上述定义，有以下几个结论：

①“距离坐标”是（0，2）的点有1个；

②“距离坐标”是（3，4）的点有4个；

③“距离坐标”（p，q）满足p＝q的点有4个．

其中正确的有（　　）

A．0个B．1个C．2个D．3个

【分析】根据（p，q）是点M的“距离坐标”，得出①若pq≠0，则“距离坐标”为（p、q）的点有且仅有4个．②若pq＝0，且p+q≠0，则“距离坐标”为（p、q）的点有且仅有2个，进而得出解集从而确定答案．

①p＝0，q＝2，则“距离坐标”为（0，2）的点有且仅有2个；

故此选项①“距离坐标”是（0，2）的点有1个错误；

②正确，四个交点为与直线L1相距为3的两条平行线和与直线L2相距为4的两条平行线的交点；

③“距离坐标”（p，q）满足p＝q的点有无数个，在角平分线上，故此选项错误；

故正确的有：

1个，

【点睛】此题考查了坐标确定位置；

解题的关键是要注意两条直线相交时有四个区域，本题是一个好题目，有创新性，但是难度较小，理解题意不难解答，考查学生的逻辑思维能力．

【变式5-2】

（2019秋•锦江区校级期中）对于平面坐标系中任意两点A（x1，y1），B（x2，y2）定义一种新运算“*”为：

（x1，y1）*（x2，y2）＝（x1y2，x2y1）．根据这个規则计算：

（3，5）*（﹣1，2）＝　　；

若A（x1，y1）在第三象限，B（x2，y2）在第四象限，则A*B在第　　象限．

【分析】直接利用已知运算公式结合各象限内点的坐标特点得出答案．

∵（x1，y1）*（x2，y2）＝（x1y2，x2y1），

∴（3，5）*（﹣1，2）＝（3×

2，﹣1×

5）＝（6，﹣5）

∵A（x1，y1）在第三象限，B（x2，y2）在第四象限，

∴x1＜0，y1＜0，x2＞0，y2＜0，A*B＝（x1y2，x2y1），

∴x1y2＞0，x2y1＜0，

∴A*B在第四象限．

（6，﹣5），四．

【点睛】此题主要考查了点的坐标以及数字变化规律，正确利用已知运算法则是解题关键．

【变式5-3】

（2020春•海淀区期末）在平面直角坐标系xOy中，对于点P（x，y），如果点Q（x，y′）的纵坐标满足y′

，那么称点Q为点P的“关联点”．请写出点（3，5）的“关联点”的坐标　　；

如果点P（x，y）的关联点Q坐标为（﹣2，3），则点P的坐标为　　．

【分析】根据关联点的定义，可得答案．

∵3＜5，根据关联点的定义，

∴y′＝5﹣3＝2，

点（3，5）的“关联点”的坐标（3，2）；

∵点P（x，y）的关联点Q坐标为（﹣2，3），

∴y′＝y﹣x＝3或x﹣y＝3，

即y﹣（﹣2）＝3或（﹣2）﹣y＝3，

解得y＝1或y＝﹣5，

∴点P的坐标为（﹣2，1）或（﹣2，﹣5）．

（3，2）；

（﹣2，1）或（﹣2，﹣5）．

【点睛】本题主要考查了点的坐标，理清“关联点”的定义是解答本题的关键．

【考点6点的坐标确定位置】

【方法点拨】首先由点的坐标确定坐标系，进而可确定所求位置的坐标.

【例6】

（2020春•官渡区期末）棋在中国有着三千多年的历史，由于用具简单，趣味性强，成为流行极为广泛的益智游戏．如图是局象棋残局，若在中国象棋盘上建立平面直角坐标系，使表示棋子“馬”和“車”的点的坐标分别为（4，3），（﹣2，1），则表示“炮”的点的坐标为（　　）

A．（1，3）B．（3，1）C．（2，3）D．（1，2）

【分析】直接利用已知点坐标得出原点位置进而得出答案．

“炮”的点的坐标为（1，3）．

【点睛】此题主要考查了坐标确定位置，正确得出原点位置是解题关键．

【变式6-1】

（2020春•海淀区校级期末）如图所示，某战役缴获敌人防御工事坐标地图碎片，依稀可见，一号暗堡的坐标为（4，2），四号暗堡的坐标为（﹣2，4），原有情报得知：

敌军指挥部的坐标为（0，0），你认为敌军指挥部的位置大约是（　　）

A．A处B．B处C．C处D．D处

敌军指挥部的位置大约是B处．

【点睛】此题主要考查了坐标确定位置，正确建立平面直角坐标系是解题关键．

【变式6-2】

（2020春•诸城市期末）如图为东明一中新校区分布图的一部分，方格纸中每个小方格都是边长为1个单位的正方形，若教学楼的坐标为A（1，2），图书馆的位置坐标为B（﹣2，﹣1），解答以下问题：

（1）在图中找到坐标系中的原点，并建立直角坐标系；

（2）若体育馆的坐标为C（1，﹣3），食堂坐标为D（2，0），请在图中标出体育馆和食堂的位置；

（3）顺次连接教学楼、图书馆、体育馆、食堂得到四边形ABCD，求四边形ABCD的面积．

（1）根据点A的坐标，向左1个单位，向下2个单位为坐标原点，建立平面直角坐标系即可；

（2）根据平面直角坐标系标注体育馆和食堂即可；

（3）根据四边形所在的矩形的面积减去四周四个小直角三角形的面积列式计算即可得解．

（1）建立平面直角坐标系如图所示；

（2）体育馆C（1，﹣3），食堂D（2，0）如图所示；

（3）四边形ABCD的面积＝4×

5

3×

3

2×

1×

2，

＝20﹣4.5﹣3﹣1.5﹣1，

＝20﹣10，

＝10．

【点睛】本题考查了坐标确定位置，平面直角坐标系的定义，网格结构中不规则四边形的面积的求解，熟记概念并熟练运用网格结构是解题的关键．

【变式6-3】

（2020春•永年区期末）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，小明家可用坐标（﹣1，2）表示，汽车站可用坐标（3，﹣1）表示．

（1）建立平面直角坐标系，画出x轴和y轴；

（2）某星期日早晨，小明同学从家出发，沿（0，1）→（﹣2，﹣1）→（﹣1，﹣2）→（0，﹣1）→（1，0）→（2，﹣1）→（2，2）的路线转了一圈，又回到家里，写出他路上经过的地方；

（3）连接他在上一问中经过的地点，你得到了什么图形？

（1）根据平面直角坐标系的定义建立即可；

（2）根据平面直角坐标系找出各点的位置，然后连接即可，再写出各地方的名称；

（3）根据图形形状解答．

（1）如图，建立平面直角坐标系；

（2）小明家﹣学校﹣奶奶家﹣宠物店﹣医院﹣公园﹣邮局﹣游乐场﹣消防站﹣小明家；

（3）连接他在上一问中经过的地点，得到“箭头”状的图形．

【点睛】本题考查了坐标确定位置，主要是平面直角坐标系的建立与点的坐标位置的确定方法，是基础题．

【考点7坐标与图形（平行于坐标轴）】

【方法点拨】与坐标轴平行的直线上点的坐标特点：

与x轴平行，纵坐标y相等；

与y轴平行，横坐标x相等．

【例7】

（2020春•渝中区期末）在平面直角坐标系中，已知线段MN∥x轴，且MN＝3，若点M的坐标为（﹣2，1），则点N的坐标为　．

【分析】根据平行x轴的特点进行解答即可．

∵线段MN∥x轴，点M的坐标为（﹣2，1），

∴点N的纵坐标为1，

∵MN＝3，

∴点N的横坐标为﹣2+3＝1或﹣2﹣3＝﹣5，

∴点N的坐标为（1，1）或（﹣5，1），

（1，1）或（﹣5，1）．

【点睛】此题考查坐标与图形性质，关键是根据平行x轴的坐标特点解答．

【变式7-1】

（2020春•塔河县校级期末）已知A（1，2），B（x，y），AB∥x轴，且B到y轴距离为2，则点B的坐标是　　．

【分析】根据平行于x轴的直线上点的纵坐标相等求出点B的纵坐标，再根据点到y轴的距离等于横坐标的长度求出点B的横坐标，然后写出即可．

∵AB∥x轴，

∴y＝2，

∵点B到y轴距离为2

∴点B的坐标为（2，2）或（﹣2，2）．

（2，2）或（﹣2，2）．

【点睛】本题考查了坐标与图形性质，熟记平行于x轴的直线上点的纵坐标相等是解题的关键．

【变式7-2】

（2020春•江岸区校级月考）已知点A（3a﹣6，a+4），B（﹣3，2），AB∥y轴，点P为直线AB上一点，且PA＝2PB，则点P的坐标为　　．

【分析】由AB∥y轴可知AB的横坐标相等，故3a﹣6＝﹣3，即可求出a＝1，得AB＝3，根据已知PA＝2PB，分P在线段AB上和在线段AB延长线两种情况求出PA，即可得到两种情况下P的坐标．

∵AB∥y轴，

∴3a﹣6＝﹣3，解得a＝1，

∴A（﹣3，5），

∵B点坐标为（﹣3，2），

∴AB＝3，B在A的下方，

①当P在线段AB上时，

∵PA＝2PB

∴PA

AB＝2，

∴此时P坐标为（﹣3，3），

②当P在AB延长线时，

∵PA＝2PB，即AB＝PB，

∴PA＝2AB，

∴此时P坐标为（﹣3，﹣1）；

故答案为（﹣3，3）或（﹣3，﹣1）．

【点睛】本题主要考查了坐标与图形的性质，掌握平行于y轴的直线上所有点横坐标相等是解题的关键，并根据A、B两点的距离及相对位置，分类求解．

【变式7-3】

（2020春•枞阳县期末）平面立角坐标系中，点A（﹣2，3），B（2，﹣1），经过点A的直线a∥x轴，点C是直线a上的一个动点，当线段BC的长度最短时，点C的坐标为（　　）

A．（0，﹣1）B．（﹣1，﹣2）C．（﹣2，﹣1）