吉林大学高数A3作业文档格式.docx
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（B）；
（C）1；
（D）0.
3.设曲线积分Lxy2dxy（x）dy与路径无关，其中（x）具有连续的导数，
（1,1）2
（0）0,则（0,0）xydxy（x）dy等于（）
313
（A）-（B）—（C）一（D）1
824
4,已知（xay）dy2ydx为某函数的全微分,则a（）正确.
（xy）
（A）1；
（B）0；
（C）2（D）1.
二、填空题
1.设L为x2（y1）24正向一周，则xdyydx2
Jx（y1）
2.设L为封闭折线|x||xy|1正向一周，则i]Lx2y2dxcos（xy）dyx--.一
3.设L为y°
tantdt从x=0到x—一段弧，将LP（x,y）dxQ（x,y）dy化为第一型04
二2xydxxdy
飞x了一
曲线积分为.
4.设L为封闭折线|x||y|1沿顺时针方向，则
1.计算Ly2dxxdy,其中l是抛物线yx2上从点a（i,i）到b（1,1）,再沿直线到C（0,2）的曲线.
2.计算L（x2y）dx（xsiny）dy,其中L是圆周yv2xX2上从A（2,0）到O（0,0）的一段弧.
3.设f（x）在（，）内具有一阶连续导数，L是半平面（y0）内的有向分段光滑
曲线，其起点为（a,b）,终点为（c,d）.证明
12X2
Il-[1yf（xy）]dx—[yf（xy）1]dy
yy
（1）证明曲线积分I与路径L无关
（2）当abcd时，求I的值
4.设力Fyi2xj,证明力F在上半平面内所作的功与路径无关，并求从点
y
A（1,2）到点B（2,1）力F所作的功.
5,计算IAMB（y）cosxydx（y）sinxdy,其中AMB在连结点A（,2）与
B（3,4）的线段之下方的任意路线，且该路线与AB所围成的面积为2,（y）具有连续的
导数。
四.证明题
证明PdxQdyRdz#~Q2~R2ds,并由此估计口zdxxdyydz的上界。
V
其中为球面x2y2z2a2与平面xyz0的交线并已取定方向
第三次作业
设是球面x2
y2z2a2（a0）外侧，则曲面积分
222
I；
（xyz）dxdy（）.
，、一，一、2
（A）0；
（B）4a；
设空间闭区域由曲面za2x2
的体积为V,则Ii：
1x2yz2dydz
24a
（C）a;
（D）3
y2与平面z0围成（a0），记22.
xyzdzdxz（1xyz）dxdy（
（B）V；
（C）2V;
（D）3V.
3.设是球面x2y2z2a2的外侧，则曲面积分
xdydzydzdxzdxdy
1.3
722222
（xyz）
之间部分的下侧，则I（）
（A）1h4;
（B）h4;
（C）1h4;
（D）h4
22
1.设为球面x2y2z29,法向量向外，则zdxdy.
2.向量场Axy2i'
yezjxln（1z2）k在点M（1,1,0）处的散度divA=
3.设向量场A（zsiny）i"
（zxcosy）j,贝UrotA
4.设是平面3x2y26z6在第一卦限部分的下侧，则I
PdydzQdzdxRdxdy化为对面积的曲面积分为I.
5.设为球面x2y2z2a2,法向量向外，则Jx3dydz
6.设ux2yyz,贝Udiv（gradu）.
三、计算题
1.计算x2ycosds,其中是球面x2y2z2a2的下半球面，法线朝上，是
法线正向与z轴正向的夹角。
f（x,y,z）zdxdy,其中
f（x,y,z）xdydz2f（x,y,x）ydzdx
yz
-dzdx-dxdyrr
22
其中,rjx^vv,I事z21方向外侧
4,计算I2x3dydz2y3dzdx3（z21）dxdy,其中是曲面z1x2y2（z0）的
上侧.
5.计算If；
y2dxxdyz2dz,其中是平面yz2与柱面x2y21的交线,从z轴正向看去，取逆时针方向.
第四次作业
1,
1.设0an—（n
n
1,2,3,川），则下列级数中肯定收敛的是
）•
）.
（B）unvn发散；
n1
（D）（un2v2）发散.
（A）an；
（B）
（1）nan；
（C）麻；
n1n1n1
2.若级数Un，Vn都发散，则（
n1n1
（A）（UnVn）发散；
n1
（C）（|Un||Vn|）发散；
3.设级数Un收敛，则必收敛的级数为（）.
（A）（1心；
n1n
（C）（U2n1U2n）；
4.设a为常数，则级数与-1n1n.n
（A）绝对收敛；
（B）条件收敛；
（B）u2；
（D）（UnUn1）•n1
（C）发散；
（D）收敛性取决于a的值.
一n1
5.设an
（1）ln（1-）,下列结论中正确的是（）
6.设Un0（n1,2,3,|||）,且lim11,则级数（Dn1a六（）.
nn1
（A）发散；
（B）绝对收敛；
（C）条件收敛；
（D）收敛性根据条彳^不能确定.
、填空题
1
Un=
.若级数
（1）nIn2,U2n15,则级数
2.设级数一厂收敛，则p满足什么条件
n1n1npn
3.当a时，级数an的收敛n1
1.判别级数（a0）的敛散性
n1na
2.求级数
1nn31
2nn（n1）
的和.
3.设正项数列｛a。
｝单调减少，且
（1）nan发散，试问级数n1
并说明理由.
n1an1
是否收敛?
4.判别级数
1
1的敛散性
n2n1n
5.判别级数
ann!
n2n
的敛散性（a0）
6.讨论级数
（1）
］（a0）的敛散性
a
1.若正项数列an单调增加且有上界，证明ln2-aL收敛
2,若级数an绝对收敛，证明——绝对收敛
n1n1an1
（A）R2
an
2.
3.
4.
5.
bn
班级
2,
第五次作业
姓名
学号
则骞级数
（B）R
anx2n1的收敛半径（）
—;
（C）RJ2；
（D）R
已知函数
（A）发散;
an（x1）n在x
一，一1哥级数」x
n1n3
11（A）[--,-]；
33
2处收敛，则在x0处，该级数为（）
（B）条件收敛;
的收敛域是（
（B）
11
[-3,3）；
（C）
绝对收敛；
（D）
收敛性不定.
[-3,3];
（D）
[3,3）.
2x展开为x的哥级数是
（A）—；
n0n!
、一一2一
设f（x）x（0
20f（x）sinn
（A）4
填空题
（）.
（1）n।
---xn0n!
2.设备级数
x1）,而s（x）
xdx,n1,2,
%x
anx
bnsinn
x,x
_n
（xln2）.
n!
其中
（xln2）
0n
在x2处条件收敛，则哥级数收敛半径为
的收敛半径为2,则哥级数nan（x1）n1
的收敛区间为
12n（3）
nx2n的收敛半径为
4.设函数f（x）x2,x[0,1],而s（x）包ancosnx,
2n1
），其中
20f（x）cosnxdx,n0,1,2,1卜则s（D的值为
1.设备级数Rxn1,求
nin!
（1）收敛域及其和函数；
（2）n~12n的和。
3.求哥级数工x2n的收敛域.
n13
5.将函数f（x）丁」——在x4点展成哥级数
x5x6
6.求哥级数
nxn的和函数.
7.设f（x）是周期为
与其和函数，并求级数
x,0x1,
2的周期函数，且f（x）写出f（x）的傅里叶级数
0,1x2,一
一1一的和.
i（2n1）
第六次作业
1.设函数y（x）满足微分方程xyyy2lnx0。
且在x1时y1,则在xe时,y（）
ii
（A）—；
（B）—；
（C）2；
（D）e.
e2
2.若y1,y2是方程yp（x）yq（x）（q（x）0）的两个解，要使y—y2也是方程的
解，，应满足关系式（）.
（A）1；
（B）
3.方程x（lnxIny）dyydx0是（
（A）可分离变量方程；
（C）全微分方程；
0；
（C）1；
（D）0.
齐次方程；
一阶线性非齐次方程.
4.设函数y（x）满足微分方程cos2xy
ytanx,且当x—时y0。
则当x0时
4
（A）一；
（C）1；
（D）1.
1.常微分方程xyyIny的通解是.
2.常微分方程（3x26xy2）dx（6x2y4y2）dy0的通解是x
3.设f（x）连续可微，且满足f（x）0ef（x）dx,则f（x）.
4.若曲线积分「yf（x）dxf（x）x2dy与路径无关，其中f（x）可导，则C
f（x）
2.求解微分方程
2
（y6x）y2y0
3.求解微分方程
xyxy
ysinsin-
4.求微分方程》dx（y3Inx）dy。
的通解.x
第七次作业
i.设线性无关的函数yi（x）,y2（x）,y3（x）均是方程yp（x）yq（x）yf（x）的解,
（B）yy0；
1.若yi,y2,y3是二阶非齐次线性微分方程yp（x）yq（x）yf（x）的线性无关的
解，则用％,y2,y3表达此方程的通解为
2.微分方程2y（4）2y（3）5y0的通解为
3.微分方程yyi的通解y
4.以y2excos3x为一个特解的二阶常系数线性微分方程为
5.y5y6yexsinx6的一个特解形式为.
i.求解微分方程yy2i,y|x00,y|x0i.
3.求微分方程y4y2x2在原点处与直线yx相切的特解.
4.求微分方程yysin2x的通解.
四、综合题
设f（x）具有二阶连续导数，f（0）0，f（0）1，且
[xy（xy）f（x）y]dx[f（x）xy]dy
是全微分方程，求f（x）及此全微分方程的通解.
综合练习题
0,-1）至ij（0,0,1）则以下计算（）错误.
（D）rzdy0
（A）zdV0（B）zds0（C）rzds0
3.设an为正项级数，下列结论中正确的是（）.
（A）若limn，0,则级数an收敛；
nn1
（B）若存在非零常数，使得！
imnan，则级数an发散;
（C）若级数an收敛，则limn2a0；
.n
（D）若级数a。
发散，则存在非零常数，使得limnan.
nn
4.若lima」-,则哥级数anx2n（）.
nan4no
1一
（A）当|x|<
2时绝对收敛；
（B）当|x|一时绝对发散;
1一
（C）当|x|<
4时绝对收敛；
（D）当|x|3时绝对发散.
5.设yf（x）是方程y
yesinx的解，并且f（Xo）0,则f（x）（
（A）在点Xo的某邻域内单调增加；
（C）在点Xo处取极小值
1.L为上半圆周y。
1x2,则L（x
（B）在点Xo的某邻域内单调减少;
（D）在点Xo处取极大值.
2x2y2
y）eds
2.设是柱面x2
y21在0z2之间的部分，则
y2dS
x
3.设为L椭圆一
4.周期为2的函数
2-
—1,其周长为a,则口（2xy3v
f（x）,它在一个周期内的表达式为
3x24y2）ds
f（x）x,1x1,设它的傅
里叶级数的和函数为s（x）,则
分.
5.以y1（x）sinx,y2（x）
6.曲面：
|x|
1.计算I
|y||z|
cosx为特解的二阶常系数齐次线性微分方程是
1,则n（x|y|）dS.
1…，一
1dS,其中为锥面
z
zx2
y2被柱面x2y22x截得的有限部
2.计算曲线积分ONA（2xsinyy）dx
（xcosy
1）dy,其中ONA为连接点O（0,0）和
A（2,5）的任何路径，但与直线OA围成的图形ONAO有定面积
3
y2）满足等式
.设函数f（u）在（0,）内具有二阶导数，且zf（商
-0-
（I）验证：
f（u）f-（u）0；
u
（n）若f（i）0,f
（1）1,求函数f（u）的表达式.
4.计算Ixzdydz2zydzdx3xydxdy其中为曲z1x2—（0z1）的上侧.
11x1
5.将函数f（x）—In-arctanxx展开成x的帚级数.
41x2
6
.已知齐次方程（x1）yxyy0的通解为丫（x）c〔xC2ex求非齐次方程（x1）yxyy（x1）2的通解.
uu1u22
——uxy
xyxx
求u（Jxy）的表达式。
四、证明题/4
设an（tanx）ndx,n1,2,3,•证明：
对任意常数0,级数^aM攵敛.
0n1n
综合模拟题
（一）
、单选题（共6道小题，每小题3分，满分18分）
i.设l是光滑的，包含原点的正向闭曲线，则曲线积分nxdyydx（）.
uLxy
（A）0;
（B）2；
（C）；
（D）-
（C）绝对收敛；
x2x
6.已知y〔xee,y2
此方程为（）.
2x
（A）y2yye;
（C）yye2x;
二、填空题（共6道小题，
1.设半圆形曲线x2y2
5.已知哥级数anxn在x2处收敛，则1nan（）
（B）条件收敛；
（D）收敛性不能确定.
xexex是二队常系数非齐次线性微分方程的两个解，则
（B）yy2yxe；
（D）yy2yex2xex.
每小题3分，满分18分）
R2y0的线密度1.则其对y轴的转动惯量
为.
2.设是yoz平面上的圆域y2z21,则X2y2Zds.
3.设是平面xyz1在第一卦限部分的上侧，则IPx,y,zdydz
Qx,y,zdzdxRx,y,zdxdy化成对面积积分为I=.
4.设向量场Az,3x,2y,则其旋度为.
5.微分方程6xydxxdy0的通解是.
6.微分方程yyy2=0满足y01,y01的解为.
三、计算题（共5道小题，每小题8分，满分40分）
1.求曲面积分2xzdydzzdxdy,其中为抛物面zx2+y2（0z1）上侧.
2.判断级数nsi^Jxdx的敛散性.
n101x
4.求微分方程xyyxy2lnx的通解.
四、计算题（共
1.求级数2
2道小题，每小题12分，满分24分）
，一
「一的和
4n1
2.设fx具有连续的二阶导数，f00,fx1,且对于xoy平面内任意一条正
A
向光滑封闭曲线L^sinxfxydxfxdy。
求fx.
综合模拟题
（二）
、选择题（共5道小题，每小题3分，满分15分）
（A）f0g（0）;
（C）f0g（0）;
（B）f0g（0）;
（D）f0与g（0）的大小关系不定
3.级数an收敛，则下列级数必收敛的是（）
（A）1包；
（B）an2
n1nn1
（C）（a2n1a2n）
（D）（anan1）
ypxyfx的两个不同的特
yGWV2
ycy2y1
）
*
（B）yxacosxbsinx
（D）yaxbsinx.
4.设y1y1x,V2V2x为非齐次线性微分方程
解，则其通解可表示为（）.
（A）ycy2wy〔（B）
（C）ycy2y1y1（D）
5.微分方程yyxsinx的特解形式可设为（*
（A）yaxbcosxcxdsinx
二、填空题（共5道小题，每小题
1.已知平面曲线L:
x2y2a2a
2.已知L为平面区域D:
\%ab
h,
i,Lxdy
3.已知三元函数uux,y,zx2
3分，满分15分）
0，贝UOLVx2~y7'
dsu
1a0,b0的正向边界，则
yz,贝Udivgradu
4.哥级数1n二xn的收敛域为.n1.n
5.已知x3x2y3dxxmy2y3dy=0为全微分方程，m为常数，则
三、计算题（共4个小题，每小题9分，满分36分）
asint,
1.计算曲线积分Lzxdxzydyydz,其中L为空间螺旋线xacost,yzat,0t,L的方向为曲线上由t0对应的点指向t对应点.
2.判别级数
2nn!
的敛散性.
n12n!
3.将fx——展为x3的哥的级数
x3x2
4.求微分方程yyexy2的通解.
四、计算题（共4小题，第1、2题各9分，第3、4题各8分，满分34分）
1.求常微分方程y5y6yxe2x的通解.
2.计算球面
a0被柱面x2y2axa0所割下部分的曲面
的面积.
为曲面
xzdydz2yzdzdx3xydxdy,其中
—（0
1）的上侧.
2，.
4.利用yx（0x）与yx（0x）的Fourier展开式求级数cosnx（ox）的和函数s（x）.
（C）y*ax2bxcosxcx2dxsinx
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