一元二次方程知识点与考点.docx
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一元二次方程知识点与考点
一元二次方程
一、知识结构：
解与解法
一元二次方程根的判别
韦达定理
二、考点精析
考点一、概念
（1）定义：
①只．含．有．一．个．未．知．数．，并且②未．知．数．的．最．高．次．数．是．2．，这样的③整．式．方．程．就是一元次方程。
（2）一般表达式：
ax2bxc0（a0）
⑶难点：
如何理解“未知数的最高次数是2”：
①该项系数不为“0”；
②未知数指数为“2”；③若存在某项指数为待定系数，或系数也有待定，则需建立方程或不等式加以讨论。
典型例题：
例1、下列方程中是关于x的一
元二次方程的是（
）
A3x122x1
B
11
220
x2x
2
Cax2bxc0
D
x22xx21
变式：
当k时，关于x的方程kx22xx23是一元二次方程。
例2、方程m2xm3mx10是关于x的一元二次方程，则m的值为
针对练习：
★1、方程8x27的一次项系数是，常数项是★2、若方程m2xm10是关于x的一元一次方程，⑴求m的值；⑵写出关于x的一元一次方程。
★★3、若方程m1x2mx1是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是
★★★4、若方程nxm+xn-2x2=0是一元二次方程，则下列不可能的是（）
A.m=n=2B.m=2,n=1C.n=2,m=1D.m=n=1
考点二、方程的解
⑴概念：
使方程两边相等的未知数的值，就是方程的解。
⑵应用：
利用根的概念求代数式的值；典型例题：
例1、已知2y2y3的值为2，则4y22y1的值为
例2、关于x的一元二次方程a2x2xa240的一个根为0，则a的值为
例3、已知关于x的一元二次方程ax2bxc0a0的系数满足acb，则此方程必有一根为。
例4、已知a,b是方程x24xm0的两个根，b,c是方程y28y5m0的两个根，则m的值为。
针对练习：
★1、已知方程x2kx100的一根是2，则k为，另一根是。
2x1
★2、已知关于x的方程x2kx20的一个解与方程3的解相同。
x1
⑴求k的值；⑵方程的另一个解。
22
★3、已知m是方程xx10的一个根，则代数式mm
★★4、已知a是x3x10的根，则2a6a
★★5、方程abx2bcxca0的一个根为（）
A1B1CbcDa
★★★6、若2x5y30,则4x32y。
⑴方法：
①直接开方法；②因式分解法；③配方法；④公式法
类型一、直接开方法：
x2mm0,xm
222
※※对于xa2m，axm2bxn2等形式均适用直接开方法
典型例题：
例1、解方程：
12x280;22516x2=0;31x290;
例2、若9x1216x22，则x的值为。
针对练习：
下列方程无解的是（）
222
A.x232x21B.x220C.2x31x
2
D.x290
类型二、因式分解法:
xx1xx20xx1,或xx2
0”，
※方程特点：
左边可以分解为两个一次因式的积，右边为
※方程形式：
如axm2bxn2，xaxbxaxc，
22
x2axa0
典型例题：
例1、2xx35x3的根为（
例2、若4xy234xy40，则4x+y的值为。
变式1：
a2b22a2b260,则a2b2。
变式2：
若xy2xy30，则x+y的值为。
22
变式3：
若x2xyy14，y2xyx28，则x+y的值为。
例3、方程x2x60的解为（）
A.x13，x22B.x13，x22C.x13，x23D.x12，x22
例4、解方程：
x2231x2340
例5、已知2x23xy2y20,则xy的值为xy
xy
变式：
已知2x23xy2y20,且x0,y0,则xy的值为
针对练习：
★1、下列说法中：
①方程x2pxq0的二根为x1，x2，则x2pxq（xx1）（xx2）②x26x8（x2）（x4）.
22
3a25ab6b2（a2）（a3）
4x2y2（xy）（xy）（xy）
5方程（3x1）270可变形为（3x17）（3x17）0正确的有（）
A.1个B.2个C.3个D.4个
★2、以17与17为根的一元二次方程是（）22
A．x22x60B．x22x60
22
C．y22y60D．y22y60
★★3、⑴写出一个一元二次方程，要求二次项系数不为1，且两根互为倒数：
⑵写出一个一元二次方程，要求二次项系数不为1，且两根互为相反数：
★★4、若实数x、y满足xy3xy20，则x+y的值为（）
A、-1或-2B、-1或2C、1或-2D、1或2
21
5、方程：
x22的解是。
x
★★★6、已知6x2xy6y20，且x0，y0，求2x6y的值。
3xy
2
★★★7、方程1999x219982000x10的较大根为r，方程
2
2007x22008x10的较小根为s，则s-r的值为。
※在解方程中，多不用配方法；但常利用配方思想求解代数式的值或极值之类的问题。
典型例题：
例1、试用配方法说明x22x3的值恒大于0。
例2、已知x、y为实数，求代数式x2y22x4y7的最小值。
例3、已知x2y24x6y130，x、y为实数，求xy的值。
例4、分解因式：
4x212x3
针对练习：
★★1、试用配方法说明10x27x4的值恒小于0。
★★2、已知x212x140，则x1
x2xx
★★★3、若t23x212x9，则t的最大值为，最小值为
★★★4、如果abc114a22b14,那么a2b3c的值为类型五、“降次思想”的应用
⑴求代数式的值；⑵解二元二次方程组。
典型例题：
例2、如果x2x10，那么代数式x32x27的值。
考点四、根的判别式b24ac
根的判别式的作用：
①定根的个数；②求待定系数的值；③应用于其它。
典型例题：
例1、若关于x的方程x22kx10有两个不相等的实数根，则k的取值范围是
例2、关于x的方程m1x22mxm0有实数根，则m的取值范围是（）
A.m0且m1B.m0C.m1D.m1
例3、已知关于x的方程x2k2x2k0
（1）求证：
无论k取何值时，方程总有实数根；
（2）若等腰ABC的一边长为1，另两边长恰好是方程的两个根，求ABC的周长。
例4、已知二次三项式9x2（m6）xm2是一个完全平方式，试求m的值.
针对练习：
★2、当k取何值时，多项式3x24x2k是一个完全平方式？
这个完全平方式是什么？
2
★3、已知方程mx2mx20有两个不相等的实数根，则m的值是
★★4、k为何值时，方程组y2kx2,
y24x2y10.
1）有两组相等的实数解，并求此解；
2）有两组不相等的实数解；
3）没有实数解.
22
★★★5、当k取何值时，方程x24mx4x3m22m4k0的根与m均为有理数？
考点五、方程类问题中的“分类讨论”典型例题：
例1、关于x的方程m1x22mx30⑴有两个实数根，则m为,⑵只有一个根，则m为。
例2不解方程，判断关于x的方程x22xkk23根的情况。
22
例3、如果关于x的方程x2kx20及方程x2x2k0均有实数根，问这两方程是否有相同的根？
若有，请求出这相同的根及k的值；若没有，请说明理由。
考点六、应用解答题
⑴“碰面”问题；⑵“复利率”问题；⑶“几何”问题；⑷“最值”型问题；⑸“图表”类问题
典型例题：
1、五羊足球队的庆祝晚宴，出席者两两碰杯一次，共碰杯990次，问晚宴共有多少人出席？
2、某小组每人送他人一张照片，全组共送了90张，那么这个小组共多少人？
3、北京申奥成功，促进了一批产业的迅速发展，某通讯公司开发了一种新型通讯产品投放
1
市场，根据计划，第一年投入资金600万元，第二年比第一年减少，第三年比第二年减少
3
1
，该产品第一年收入资金约400万元，公司计划三年内不仅要将投入的总资金全部收回，
2
1
还要盈利，要实现这一目标，该产品收入的年平均增长率约为多少？
（结果精确到0.1，
3
133.61）
4、某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品，据市场分析，若按每千克50元销售，
一个月能售出500千克，销售单价每涨1元，月销售量就减少10千克，针对此回答：
（1）当销售价定为每千克55元时，计算月销售量和月销售利润。
（2）商店想在月销售成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，
销售单价应定为多少？
5、将一条长20cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长作成一个正方形。
（1）要使这两个正方形的面积之和等于17cm2，那么这两段铁丝的长度分别为多少？
（2）两个正方形的面积之和可能等于12cm2吗？
若能，求出两段铁丝的长度；若不
能，请说明理由。
（3）两个正方形的面积之和最小为多少？
6、A、B两地间的路程为36千米.甲从A地，乙从B地同时出发相向而行，两人相遇后，甲再走2小时30分到达B地，乙再走1小时36分到达A地，求两人的速度.
考点七、根与系数的关系
⑴前提：
对于ax2bxc0而言，当满足①a0、②0时，
才能用韦达定理。
bc
⑵主要内容：
x1x2,x1x2
aa
⑶应用：
整体代入求值。
典型例题：
例1、已知一个直角三角形的两直角边长恰是方程2x28x70的两根，则这个直角三
角形的斜边是（）
例2、已知关于x的方程k2x22k1x10有两个不相等的实数根x1,x2，
（1）求k的取值范围；
（2）是否存在实数k，使方程的两实数根互为相反数？
若存在，求出k的值；若不
存在，请说明理由。
例3、小明和小红一起做作业，在解一道一元二次方程（二次项系数为
常数项，而得到解为8和2，小红因看错了一次项系数，而得到解为
原来的方程是什么吗？
其正确解应该是多少？
例4、已知ab，a22a10，b22b10，求ab
22ab变式：
若a22a10，b22b10，则的值为
ba
例5、已知,是方程x2x10的两个根，那么43
针对练习：
1、解方程组x2y23,
x2y25
（1）
（2）
22
2．已知a27a4，b27b4（ab），
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