解不等式(知识点、题型详解).doc
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不等式的解法
1、一元一次不等式
方法：
通过去分母、去括号、移项、合并同类项等步骤化为的形式，若,则；若,则；若,则当时，；当时，。
【例1-1】
（1）
解：
此时，因为的符号不知道，所以要分：
=0，>0,<0这三种情况来讨论.
由原不等式得>1,①当=0时，0>1.所以，此时不等式无解.
②当>0时，>,③当<0时，<.
【例1-2】已知不等式与不等式同解，解不等式。
解：
，∴的解为
∴中∴解由题意
∴代入所求：
∴
要注意：
当一元一次不等式中未知数的系数是字母时，要分未知数的系数等于0、大于0、小于0这三种情况来讨论.
2、一元二次不等式的解集（联系图象）。
尤其当和时的解集你会正确表示吗？
基本步骤：
①把二次项系数化为正
②求对应的一元二次方程的根（先考虑十字相乘法，不能因式分解的再考虑用求根公式）
③利用二次函数的图像（下图，三个“二”的关系）求出对应的解集，用集合或区间表示设,是方程的两实根，且，则其解集如下表：
二次函数、方程
或
或
R
R
R
【例2-1】解下列关于的不等式：
（1）22-3-5>0；
（2）32-4-10；（3）2-2+10；
（4）2-2+1>0；（5）2-2+3>0；（6）2-2+30.
解析：
（1）
（2）代表判别式大于0的一元二次不等式的题目.只不过
（1）对应的一元二次方程容易因式分解求两根，
（2）就不容易用十字相乘法因式分解，此时需要用一元二次方程的求根公式或者配成完全平方的形式来求两根.（3）（4）代表判别式等于0的一元二次不等式的题目.（5）（6）代表判别式小于0的一元二次不等式的题目.
（1）因为对此不等式对应的一元二次方程2-3-5=0因式分解得
（2-5）（+1）=0.所以该方程的两根为：
1=,或2=-1.
又因为此不等式对应的一元二次函数=22-3-5的抛物线开口向上，
所以，根据“大于在两边，小于在中间”的原理，
可以直接写出不等式22-3-5>0的范围：
>，或<-1；
（2）与上题解法类似.∵32-4-1=0的判别式D=42-4×3×（-1）=28>0,
∴一元二次方程32-4-1=0有两个不同的实数根为1=,或2=.
∴此不等式中的取值范围是；
（3）∵2-2+1=0的判别式D=0.
∴2-2+1=0有两个相等的实数根，1=2=1.
所以，根据“大于在两边，小于在中间”的原理，
不等式2-2+10中的取值范围是11,即=1；
（4）与（3）类似分析，可知
不等式2-2+1>0中的取值范围是>1，或<1,即≠1；
（5）因为方程2-2+3=0的判别式D<0.所以方程2-2+3=0没有实数根.
此时，就不能根据“大于在两边，小于在中间”的原理了，
这时，可以用配成完全平方式的方法.
∵2-2+3=2-2+1+2=+2>0，
∴不等式2-2+3>0中的取值范围是∈R；
（6）与（5）类似分析，可知
不等式2-2+30中的取值范围是空集.
【例2-2】解下列关于的不等式：
解析：
这是与一元
（一）二次不等式有关的含有参数的不等式题型，常考的有两种形式：
易因式分解求根的形式和不易（能）因式分解求根的形式.解这类题的关键是：
把参数以正确的情况来分类讨论，然后再用解一元一
（二）次不等式的基本方法来做.
（3）式对应的方程不易因式分解求出根，判别式的符号不能确定，并且2的系数含有参数.这说明对应方程根的情况不能确定，该不等式也不一定为一元二次不等式.综合上述分析，我们应以2的系数为0以及判别式为0时，得出的参数值作为讨论的依据.求出的参数把数轴分为几部分，相应的就分几种情况来讨论.
由上面的分析，我们就容易知道讨论的依据了.
总结：
对于这种类型中易因式分解求出两根的题型，我们先因式分解求出两根，然后再以两根的大小来进行分类讨论；当不易因式分解求出两根时，我们应以2的系数为0以及判别式为0时，得出的参数值作为讨论的依据.求出的参数把数轴分为几部分，相应的就分几种情况来讨论，在每一种情况里就变成了解基本的不等式的题型.
注意：
每一种情况的内部既不能取交集，所有情况的结果也不能取并集，最终结果只能分类回答！
要与前面所讲述的题型中“一种情况内部取交集，把所有情况的结果取并集，最后得到的才是（不）等式的解集”的原则进行区别和联系.
3、简单的一元高次不等式的解法：
数轴穿根法：
基本步骤：
⑴ 将不等式右边化为０，左边分解成若干个一次因式或二次不可分因式的积.
⑵ 把每个因式的最高次项系数化为正数.
⑶ 将每个一次因式的根从小到大依次标在数轴上.
⑷ 从右上方依次通过每个点画出曲线，遇到奇次因式的根对应的点，曲线穿过数轴；
遇到偶次因式的根对应的点，曲线不穿过数轴，仍在数轴同侧迂回.即规律“奇穿偶不穿”.
⑸ 根据曲线就可以知道函数值符号变化规律.
【例3-1】解下列关于的不等式：
解析：
这种类型的不等式如果用上述的方法1，分类讨论可以做出来，但是比较复杂，而且易出现错误.所以，常用数轴表根法（又称零点分段法）来做这类题.
所谓数轴标根法，就是用一条曲线代替列表讨论，这条曲线虽不能准确表达出函数的图象，但能体现出函数值的符号变化规律．即：
曲线与轴的交点将轴分成若干区域，曲线在轴上方所对应区间内的值，使函数值大于0 ；曲线在轴下方所对应区间内的值，使函数值小于0 ；曲线与轴的交点所对应的值，使 函数值等于0.按照上述的方法，易解出以上各题.
参考答案：
4.分式不等式的解法：
一般不能去分母，但分母恒为正或恒为负时可去分母。
基本步骤：
（1）标准化：
移项、通分使右边为0，即>0（或<0）；≥0（或≤0）的形式，
（2）转化为整式不等式（组）
（3）分解因式，并使每一个因式中最高次项的系数为正，最后用标根法求解。
【例4-1】解下列关于的不等式：
（1）.
解析：
这种题型的基本做法是化为一元一次不等式组或一元二次不等式来解.
（1）方法1：
原不等式等价于.
从而再利用一元一次不等式组的解法得到原不等式中的的范围为1<<4；
方法2：
原不等式等价于（+1）（4）>0.
从而再利用一元二次不等式的解法得到原不等式中的的范围为1<<4；
比较这两种方法，可以看出方法2运算的较快一点，而且不容易出错.
（2）与
（1）类似两种方法都可以用.只不过，要注意分母不能为0.
现在只用方法2来解:
原式等价于，
因此，原不等式中的的范围为
（3）首先要移项、通分，变为
（2）式的形式，然后再用做
（2）的方法来做.
注意：
因为分母的正负不知道，所以不能两边同时乘以分母！
原式等价于
总结：
这种题型要注意两点：
（1）要注意分母不能为0.
（2）当不等号后面是不为0的式子（常数或关于未知数的式子），并且分母的正负不知道时，不能不等式两边同时乘以分母，而只能移项、通分，变为基本的形式来做.
【例4-2】关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为____.
5.含绝对值不等式的解法
题型一：
形如与型的不等式的解法.【公式法】
【例5-1】解下列关于的不等式：
（1）|2-1|<5；
（2）|2-1|>11；（3）|2-1|>0；
（4）|2-1|0；（5）|2-1|<-1；（6）|2-1|-1.
解析：
在形如|+b|>c（或≥c）以及|+b|（1）
（2）代表常数c大于0的题型，（3）（4）代表常数c等于0的题型；（5）（6）代表常数c小于0的题型.
总结：
解这类绝对值不等式常用教材上给出的公式：
但是，我们要知道，当<0,或=0时，这两个公式也可以用.
一般地，当绝对值后的常数大于0时，用公式；当绝对值后的常数小于或等于0时，直接用“任何式子的绝对值不小于0”来解更好.
题型二：
形如或【公式法】
【例5-2】解下列关于的不等式：
解析：
因为这种形式还是含有绝对值的不等式，所以仍然可以用思路“讨论去绝对值”来解.对于题（4），我们还可以用公式法去绝对值，变成一元二次不等式组来解.
总结：
对于含有绝对值符号的题目，讨论去绝对值是一个基本的、重要的思路！
要注意：
一种情况内部取交集，把所有情况的结果取并集，最后得到的才是不等式的解集.当只含有一个绝对值符号的式子内是关于的一次或者二次的式子时，如果不等号后面的式子是常数，还可以用公式法去绝对值来解.
题型三：
形如c<||【例5-3】解下列关于的不等式：
解析：
这种类型的不等式基本的解法是化为上述最基本的绝对值不等式（组）来解，但是，如果用初中的知识点讨论去绝对值来解，则会有意想不到的收获.
总结：
解与绝对值有关的题目的一个非常重要的思路是“讨论去绝对值”，在去掉绝对值后，这样就可以变为最基本的题型来做了.要注意：
一种情况内部取交集，所有情况的结果取并集，最后得到的才是（不）等式的解集.这类题中常考的是题
（1）的形式，对于这种形式的题目，还可以进一步简化解题步骤.如题
（1）还可以直接得出：
！
题型四：
形如||±|c+d|<（或=）e或||±|c+d|>（或=）e形式的绝对值（不）等式题型的解法总结（其中，b，c，d，e为常数，且0,c0）
【根据绝对值的几何意义，或数形结合思想方法】
【例5-4】解下列关于的（不）等式：
解析：
这是含有两个绝对值符号的（不）等式，并且（不）等号后面为常数的题型.这种题型的基本解法有两种：
讨论去绝对值和利用绝对值的几何意义来解.
方法二，利用绝对值的几何意义：
.
如：
.
对于
（2）（3）（4）这三题，以上两种方法都可以用，读者可以自己试着做一做.
参考答案：
.
总结：
在解这种题型时，分类讨论去绝对值的原则是：
令绝对值内的式子为0时，所得到的值把数轴分为几部分，与此相对应我们就分几种情况来讨论.要注意：
一种情况内部取交集，把所有情况的结果取并集，最后得到的才是（不）等式的解集.
利用绝对值的几何意义来解这类题时，一定要牢记：
.
比较这两种方法，我们可知：
利用绝对值的几何意义来解这类题,相对要好一点.
题型五：
形如||±|c+d|<（或=）或||±|c+d|>（或=）类型的绝对值不等式题型解法总结（其中，b，c，d，e，为常数，且，c，e0）.
【例5-5】解下列关于的不等式：
解析：
这类题与上一类题的共同点在于：
都含有两个绝对值符号.不同之处在于：
这类题的（不）等号后是关于的式子，而不是常数了.所以，解这种类型的题目，仍然可以用分类讨论去绝对值的方法.但是，此时不易用绝对值的几何意义来解这类题了.
对于
（2）（3）两题，利用同样的方法易做出.
参考答案：
.
总结：
这种类型的绝对值不等式的主要解法是分类讨论去绝对值的方法.这种方法也是解所有与绝对值有关的题目的基本方法.同样，要注意：
一种情况内部取交集，把所有情况的结果取并集，最后得到的才是（不）等式的解集.
题型六、形如|方法：
两边平方
【例5-6】若不等式对恒成立，则实数的取值范围为______。
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