函数的概念与表示知识点与经典题型归纳.doc
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函数的概念与表示
知识领航
1．函数的定义
一般地：
设A，B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系,使对于集合A中的任意一个数,在集合B中都有唯一确定的数和它对应，那么就称为从集合A到集合B的一个函数，记作：
.
注意：
函数概念中的关键词
（1）A，B是非空数集.
（2）任意的∈A，存在唯一的∈B与之对应.
2.函数的定义域、值域
其中，叫做自变量，的取值范围A叫做函数的定义域；与的值相对应的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域.
3.函数的三要素
定义域、值域和对应法则.
4.相等函数
如果两个函数的定义域和对应法则完全一致，则这两个函数相等；
这是判断两函数相等的依据.
5.区间的概念
设是两个实数，而且.我们规定：
（1）满足不等式的实数的集合叫做闭区间，表示为.
（2）满足不等式的实数的集合叫做开区间，表示为.
（3）满足不等式或的实数的集合叫做半开半闭区间，分别表示为，.
这里的实数都叫做相应区间的端点.
实数可以用区间表示为.“”读作“无穷大”，“”读作“负无穷大”，“”读作“正无穷大”，我们可以把满足，，，，的实数的集合分别表示为，
，，.
6.函数的表示法
（1）解析法：
用数学表达式表示两个变量之间的对应关系的方法.
（2）列表法：
列出表格来表示两个变量之间的对应关系的方法.
（3）图像法:
用图象表示两个变量之间的对应关系的方法.
用描点法画函数图象的一般步骤：
列表、描点、连线（视其定义域决定是否连线）.
7.求函数的解析式的方法
（1）待定系数法:
适用于已知函数的模型（如一次函数、二次函数、反比例函数等.
（2）换元法:
适用于已知的解析式,求.
（3）消元法:
适用于同时含有和，或和.
8.分段函数
在它的定义域中，对于自变量的不同取值范围，对应关系不同，这种函数通常称为分段函数.
9.映射的概念
设A，B是两个非空的集合，如果按照某种对应法则,使对于集合A中的任意一个元素,在集合B中都有唯一确定的元素与之对应，那么就称对应为从集合A到集合B的一个映射。
注意：
由映射的定义可以看出，映射是函数概念的推广，函数是一种特殊的映射，要注意构成函数的两个集合A、B必须是非空数集.
e线聚焦
【例1】下列图象中不能作为函数的是（）.
ABCD
解：
答案为B.因为B中存在，使得有两个与之对应.
【例2】已知函数.
（1）求函数的定义域.
（2）求,的值.
（3）当时，求,的值.
解：
（1）使得有意义的实数的集合是，
使得有意义的实数的集合是，
所以，这个函数的定义域就是.
（2）
（3）因为，所以，有意义，
【例3】已知的定义域为，求的定义域.
解：
由题意知，，所以
所以的定义域为
【例4】求下列函数的值域.
（1）
（2）
（3）
（4）
解：
（1）因为，所以，
所以的值域为.（观察法）
（2）配方，得
又，所以，
所以的值域为.（配方法）
（3）
因为，所以
所以的值域为.（分离常数法）
（4）设，则且
所以即
所以的值域为.（换元法）
【例4】下列函数中哪个与函数相等（）
A.B.C.D.
解：
函数的定义域为，对应法则为.
A中的定义域为，所以与不是同一个函数；
B中的定义域为，且；与的定义域和对应法则都相同，所以为同一函数；
C中的定义域为，但，所以与不是同一个函数；
D中的定义域为，所以与不是同一个函数.
所以，应选B.
【例4】某种笔记本的单价是5元，买个笔记本需要元.试用函数的三种表示法表示函数.
解：
这个函数的定义域是数集
用解析法表示为
列表法表示如下：
笔记本数
1
2
3
4
5
钱数
5
10
15
20
25
用图象法可将函数表示如下图：
注意：
（1）函数的图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等等。
（2）函数的定义域是函数存在的前提，写函数解析式的时候，一般要写出函数的定义域。
【例5】已知，求和.
解：
令，则，
所以，
所以，
所以.
注意：
此方法为换元法.
【例6】已知是一次函数，，求的解析式.
解：
设，
则
对比系数得解得或
所以函数的解析式为或.
注意：
此方法为待定系数法，适用于已知函数的模型（如一次函数、二次函数、反比例函数等）.
【例7】已知，求的解析式.
解：
用代替得
所以消去
解得
注意：
此方法为消元法求函数的解析式，适用于同时含有和，或和.
【例8】已知函数
（1）求的值.
（2）若，求的值.
解：
（1）
（2）①若，则，解得，不满足，舍去；
②若，则，解得或，不满足，舍去；
所以；
③若，则，解得，不满足，舍去.
【例9】画出函数的图象.
解：
根据这个函数解析式，可画出函数图象，如下图:
【例10】某市“招手即停”公共汽车的票价按下列规则制定：
（1）5公里以内（含5公里），票价2元；
（2）5公里以上，每增加5公里，票价增加1元（不足5公里的按5公里计算）.
如果某条线路的总里程为20公里，请根据题意，写出票价与里程之间的函数解析式，并画出函数的图象.
解：
设票价为元，里程为公里，由题意可知，自变量的取值范围是（0，20].
由“招手即停”公共汽车票价的制定规定，可得到以下函数解析式：
根据这个函数解析式，可画出函数图象，如下图:
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u仔细读题，一定要选择最佳答案哟！
1．下列说法正确的是（ ）
A．函数值域中每一个数在定义域中一定只有一个数与之对应
B．函数的定义域和值域可以是空集
C．函数的定义域和值域一定是数集
D．函数的定义域和值域确定后，函数的对应关系也就确定了
2．下列说法中正确的为（ ）
A．y＝f（x）与y＝f（t）表示同一个函数
B．y＝f（x）与y＝f（x＋1）不可能是同一函数
C．f（x）＝1与f（x）＝x0表示同一函数
D．定义域和值域都相同的两个函数是同一个函数
3．下列函数完全相同的是（ ）
A．f（x）＝|x|，g（x）＝（）2
B．f（x）＝|x|，g（x）＝
C．f（x）＝|x|，g（x）＝
D．f（x）＝，g（x）＝x＋3
4．图中
（1）
（2）（3）（4）四个图象各表示两个变量x，y的对应关系，其中表示y是x的函数关系的有________．
5．下列集合A到集合B的对应f是函数的是（ ）
A．A＝{－1,0,1}，B＝{0,1}，f：
A中的数平方
B．A＝{0,1}，B＝{－1,0,1}，f：
A中的数开方
C．A＝Z，B＝Q，f：
A中的数取倒数
D．A＝R，B＝{正实数}，f：
A中的数取绝对值
6.下列两个函数是否表示同一个函数
（1）
（2）
（3）
（4）
7.求下列函数的定义域
（1）
（2）
8.已知函数的定义域为，求的定义域.
9.求下列函数的值域
（1）
（2）
（3）
10．已知f（x）＝（x∈R且x≠－1），g（x）＝x2＋2（x∈R）．
（1）求f
（2），g
（2）的值；
（2）求f（g
（2））的值．
11．已知函数y＝（a＜0且a为常数）在区间（－∞，1]上有意义，求实数a的取值范围．
12．画出下列函数的图象:
（1）
（2）
13．已知二次函数的图象过点，，其对称轴为，求其解析式．
14.已知，求的解析式.
15．已知，求的解析式.
16．已知，求的值.
17.已知，求使得成立的的取值范围.
18.某市居民自来水收费标准如下：
每户每月用水不超过4吨为每吨1.80元，当用水超过4吨，超过部分每吨3.00元，某月甲、乙两户居民共缴水费元，已知甲、乙两户的用水量分别为、（吨）.
（1）求关于的函数；
（2）若甲、乙两户该月共缴水费26.40元，分别求出甲、乙两户该月的用水量和水费.
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