立体几何中的折叠问题题目.doc
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折叠问题
解决折叠问题的时候，特别要注意哪些角度和长度在折叠前后是不变的！
1、如图
（1），是等腰直角三角形，，、分别为、的中点，将沿折起，使在平面上的射影恰为的中点，得到图
（2）．
（1）求证：
；
（2）求三棱锥的体积．
2.如图，在等腰梯形中，为边上一点，且将沿折起，使平面⊥平面．
（Ⅰ）求证：
⊥平面；
（Ⅱ）若是侧棱中点，求截面把几何体分成的两部分的体积之比.
3.如图1,在直角梯形中,,,.将沿折起,使平面平面,得到几何体,如图2所示.
A
B
C
D
图2
（Ⅰ）求证:
平面；
B
A
C
D
图1
（Ⅱ）求几何体的体积.
4.高.考.资.源.网如图1，在直角梯形中（图中数字表示线段的长度），将直角梯形沿折起，使平面平面，连结部分线段后围成一个空间几何体，如图2．高.考.资.源.网
（Ⅰ）求证：
平面；高.考.资.源.网
图１
图２
（Ⅱ）求三棱锥的体积．高.考.资.源.网
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1、
（1）证明：
在中，是等腰直角的中位线，-----2分
在四棱锥中，，，----4分
又平面，-----5分
又平面,------6分
（2）在直角梯形中，,----8分
又垂直平分，-----10分
∴-----12分
2.（Ⅰ）证明：
依题意知，
又∥……………………3分
又∵平面⊥平面，平面平面，由面面垂直的性质定理知，平面…………………………………….………………………………6分
（Ⅱ）解：
设是的中点，连结,依题意，,,所以，
面,因为∥，所以面.………………………………8分
………………………………10分
…………11分
所以，……………12分
两部分体积比为………………………………14分
3.解:
（Ⅰ）在图1中,可得,从而,故
取中点连结,则,又面面,
面面,面,从而平面,……4分
∴
又,,
∴平面……6分
另解:
在图1中,可得,从而,故
∵面面,面面,面,从而平面
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知为三棱锥的高.，……9分
所以……11分
由等积性可知几何体的体积为……12分
4.高.考.资.源.网证明：
（Ⅰ）证法一：
取中点为，连结，中，…………1分
∵，∴且…………2分
又∵且，
∴且…………3分
四边形为平行四边形，∴…………4分
∵平面，平面，
∴平面， ………………7分
证法二：
由图1可知，…………1分
折叠之后平行关系不变
∵平面，平面，
∴平面，
同理平面 …………4分
∵，平面，
∴平面平面 …………6分
∵平面，∴平面…………7分
（Ⅱ）解法1:
∵…………8分
由图1可知
∵平面平面，平面平面
平面，
∴平面， …………11分
由图1可知…………12分
∴
解法2:
由图1可知，
∵
∴平面，…………9分
∵
点到平面的距离等于点到平面的距离为1，…………11分
由图1可知…………12分
∴
解法3:
过作,垂足为,…………8分
由图1可知
∵平面平面，
平面平面
平面，
∴平面，
∵平面∴，
平面…………11分
由，，
，…………12分
在中,由等面积法可得…………13分
∴…………14分
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