传染病的扩散和传播模型(hgp).doc
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流行病毒的扩散与传播的控制问题
摘要
本文以微分方程为理论基础，建立流行病毒的扩散与传播的控制模型，进而对疫情的蔓延趋势进行分析。
对问题一，首先将人群划分为五类：
正常人、疑似患者、确诊患者、治愈者、死亡者，前三类组成传染系统。
假设疑似患者包括病毒携带者（潜伏期患者）和非病毒携带者（最终为正常人）两部分，潜伏期患者最终都会被确诊，由此建立各类人群数量之间的变化关系。
然后将疫情变化分为两个阶段：
控制前和控制后。
在控制前阶段，由于病人未被隔离，相当于自由传染源，其每人每天接触的个人都会成为疑似病例，因此疫情发展较迅速。
在控制后阶段，疑似病例被隔离，确诊病人得到有效治疗，传染源减少，传染源每天接触的人数减少，治愈人数增多，退出传染系统者增多，最终疫情得到有效控制。
由上，建立起微分方程模型。
对问题二，代入题中限制条件求解模型得到潜伏期人数和确诊患者人数随时间变化的曲线图，控制前时，潜伏期人数增至，确诊患者人数增至为4062，并且两者增长速度很快，控制后四五天，潜伏期人数和确诊患者人数增到最大值，，而后逐渐下降，在时潜伏期人数几乎为零，当时确诊患者人数几乎为零。
这时，疫情已经被控制。
对问题三，提前一天开始控制，时，潜伏期人数达到最大值；时确诊患者人数达到最大，而后也逐渐降低，到第十一天潜伏期的人数几乎为零，第十二天患病者人数几乎为零。
对问题四，将隔离强度增强改为0.9，重复求解得：
高峰期潜伏者人数确诊患者人数。
到第九天潜伏期人数减为零，到第十天确诊患者人数减为零，并根据以上分析结合实际给出一份建议报告。
关键词：
传染病微分方程潜伏期
一、问题重述
近来猪流感在墨西哥爆发，引起全世界人的关注。
流行病毒的扩散与传播的控制问题得到各国领导人和世界卫生组织的重视。
各国都采取各种措施预防猪流感病毒的传播和蔓延。
假设该病毒的潜伏期为d1至d2天，得病患者经治疗经过d3天可以治愈，严重的可能引起患者死亡。
该病毒可通过直接接触、口腔飞沫进行传播、扩散。
设人群中每人每天的接触人数为r。
人群中的人可以分为5类：
确诊患者、疑似患者、治愈者、死亡人和正常人，可控制参数是隔离措施强度，即潜伏期内的患者及疑似患者被隔离的百分数。
1.建立流行病病毒扩散与传播的控制模型；
2.利用所建立的模型针对如下数据进行模拟：
条件1.的d1=2,d2=7,d3=20,r=15；
条件2.已经知道出事发病人数为50人，疑似患者280人；
条件3.隔离强度p=75%；
条件4.患者2天后入院治疗；疑似患者2天后被隔离。
试给出患者人数随时间变化的曲线图，并标识图中的一些特殊点的具体数据，分析结果的合理性。
3.若将2中条件4改为患者1天后入院治疗，疑似患者1天后隔离，模拟结果如何变化？
4.若将2中条件3改为隔离强度p=90%模拟结果如何变化？
分析问题中参数对计算结果的敏感性。
5.针对以上数据给政府部门写一份建议报告。
二、问题分析
首先，将人群分为五类：
正常人、疑似患者、确诊患者、治愈者、死亡者。
正常人，即没患过该传染病的人；疑似患者，即与确诊患者接触的人；确诊患者，即被诊断患该传染病的人；治愈者，即患了该病但被治愈的人；死亡者，即因该病而死的人。
其中，疑似患者中包括一部分健康人群和一部分潜伏期人群。
猪流感病毒的传播过程大致为：
疑似患者
病毒携带者（潜伏期）
确诊患者
非病毒携带者
正常人
治愈者
死亡者
正常人
通过分析各类人群之间的转化关系，可以建立微分方程模型来刻画猪流感传染规律。
三、模型假设
1、假设人口基数不变，不受病毒传播的影响；
2、假设潜伏期的病人不具备传染性；
3、假设潜伏期的病人最终一定会被确诊为患者；
4、假设治愈者不会被再次感染，属于传染系统退出者；
5、假设将猪流感所有的传播路径都视为与确诊患者的直接接触。
四、符号说明
：
时刻传染系统内的总人数；
：
时刻确诊患者的人数；
：
时刻疑似患者的人数；
：
时刻处于潜伏期的人数；
：
时刻退出传染系统的人数（包括治愈者和死亡者）；
:
疑似患者中潜伏期患者速战的比例；
：
每个自由传染源每天接触的人数；
：
潜伏期人数中每日被确诊患病的人数占潜伏期人数的比例；
：
每日退出传染系统的人数。
五、模型的建立与求解
问题一：
模型建立
1、控制前阶段
分析控制前阶段时间内，疫情的发展与变化。
a.正常人-----疑似患者：
控制前阶段病人尚未被隔离，所以疫情发展比较迅速，此时病人人均每天接触个正常人，假设时刻病人人数为，则新增疑似患者人数为，。
b.疑似患者------潜伏期：
疑似患者中包括病毒携带者和非病毒携带者，病毒携带者会进入潜伏期，而非病毒携带者最终还是正常人。
设疑似患者中病毒携带者占疑似患者的比例为，假设时刻疑似患者人数为，潜伏期患者人数为，则，故新增潜伏期人数为。
c.潜伏期------确诊患者：
因为每日潜伏期病人变为确诊患者的数量呈指数增长，用表示这一特性。
那么新增确诊患者人数为，现在要确定，如果潜伏期天数为到，假设其变化到了一个稳定阶段，那么随着天数的增加潜伏期的病人越来越多，其概率分布呈指数稳步增长，则每天有概率的人变为猪流感患者，即。
所以新增患者人数：
。
d.确诊患者------治愈、死亡：
设T为退出系统人数（治愈者和死亡者），如果治愈天数设为，那么天后病人要么死亡要么被治愈，而被治愈的人产生抗体，不再会被传染，所以被治愈的人和死亡的人都算作退出系统的人。
设系统退出率为，则有退出人数。
的求解方法与相同，即随着天数的增加退出传染系统的人数也越来越多，则。
故新退出传染系统的人数。
根据上述a、b、c、d、的式子可进一步得出：
所以得出以下：
2、控制后阶段
分析控制后阶段时间内，疫情的发展与变化。
a.正常人------疑似患者：
控制后阶段，病人开始被隔离，所以疫情发展开始变慢，并受隔离强度影响，此时病人每天接触的正常人数目也在变小，假设病人的数目为，则疑似患者数目。
又因为接触率与隔离强度有关，也呈指数分布，所以，故新增疑似患者的数目。
b.疑似患者-------潜伏期：
控制后阶段，疑似患者中病毒携带者占疑似患者的比例不会改变。
假设时刻疑似患者人数为，潜伏期患者人数为，故新增潜伏期人数为。
c.潜伏期------确诊患者：
潜伏期患者变为确诊患者的过程与控制前时刻相同，所以新增患者人数。
d.确诊患者------治愈者、死亡者：
同样退出传染系统的人数不变，则新增退出传染系统的人数。
根据上述a、b、c、d可进一步求得出：
整理后得：
建立好了数学模型，要对实际情况求解。
问题二的求解：
条件1.的d1=2,d2=7,d3=20,r=15；
条件2.已经知道出事发病人数为50人，疑似患者280人；
条件3.隔离强度p=75%；
条件4.患者2天后入院治疗；疑似患者2天后被隔离。
根据上述条件可得到的方程为：
控制前阶段：
，即
控制后阶段
用MatLab求解可得下图：
（程序见附录）
图1控制前潜伏期和确诊患者的人数随时间的变化
由MatLab求解可得当天时，，。
由图1图象可以看出，当流行病毒开始传播而政府还没有采取措施时，病毒迅速传播，潜伏期人数和患病人数随着时间而快速增长，与实际相符，控制前模型合理。
图2控制后阶段潜伏期人数和确诊患者人数随时间的变化
时，潜伏期人数达到最大值，；
时，确诊患者人数达到最大值，。
由图2图象可以看出流行病毒传染两天后，政府开始控制，在第四天潜伏期人数和患病者都达到高峰期。
此后，两者都开始下降，到达第十一天疫情基本被控制住，到第十二天左右潜伏期人数几乎为零，到第十四天患病人数几乎为零。
与实际相符，控制后模型合理。
问题三求解
政府在疫情发生一天后开始控制：
控制前阶段：
，即
控制后阶段:
同上一问用MatLab求解微分方程可得下图:
图3控制前潜伏期和确诊患者人数随时间的变化
由MatLab求的当天时，Q=1584,I=370
图4控制后潜伏期和确诊患者人数随时间的变化
时，潜伏期人数达到最大值；时确诊患者人数达到最大
观察图4图象可以看出疫情发生一天后就开始控制时，第三天疫情到达高峰期，到第九天疫情基本得到控制，到第十一天潜伏期的人数几乎为零，第十二天患病者人数几乎为零。
与两天后开始控制相比较，先控制可以提前到达高峰期且高峰期人数比前者明显减少，疫情发展明显没有前者严重，说明政府着手开始控制疫情越早越可以减小流行病毒的传染。
这与现实相符，更证明模型较合理。
问题四求解
将时，重复求解。
图5时控制后的疑似患者和确诊患者的人数随时间的变化
观察上图可知：
隔离强度加强变为后，高峰期时的潜伏者人数，确诊患者人数，与时相比潜伏期人数减少1195，确诊患者人数减少1074。
并且潜伏期人数提前2天减为零，确诊患者人数提前1天减为零。
由于政府加强隔离强度可以减小每人每天的接触人数，从而可以更有效的控制疫情。
这与实际相符合，模型正确。
问题五：
建议报告
随着社会的进步，科学技术的创新，越来越多的传染病得到有效的控制和治
疗，但新的传染病层出不穷，面对新发的某些不完全确知的具有传染性的病毒的突袭，我们要了解该病毒的传播方式，做好相应的防范措施。
由本模型可知，人群的接触人数值越大，正常人被感染的几率越大，疫情扩散的越快，因此在疫情期间，要避免去人群密集区，减少公共活动，降低病毒的传播率。
隔离措施强度相比较可知，值越小病情越难控制，所以政府要加强隔离措施强度，且要降低拖延患者去住院的时间，让患者及时住院治疗，从而遏制病毒的扩散。
另外，医疗是帮助确诊病人恢复健康的重要因素。
但由于现阶段很多地方医疗保健措施还不得当，导致出现不能及时就医的情况，不利于对流感的预防和治疗，从而增强了疫情蔓延的趋势，所以完善医疗结构，确保健康生活非常重要。
六、模型的评价
模型优点：
1、该模型的关键在于对人群进行了合理的分类。
然后根据这些分类对各个参与运算的因素（正常人、疑似患者、确诊患者、治愈者和死亡者）用微分方程进行动态模拟，方法是合理的。
并且，参与运算的因素及得出的结果都比较准确。
2、该模型针对不同隔离强度进行分段研究，能够方便有效的预测疫情趋势，只需对参数进行估计，给出初值带入模型即可。
模型缺点：
1、模型没有考虑随着疫情的发展有效接触率的变化；
2、模型没有考虑不同年龄段对病毒的抵抗力不同。
参考文献：
[1]韩中庚.数学建模方法及其应用.北京：
高等教育出版社，2005.
[2]陈理荣.数学建模导论.北京：
北京邮电大学出版社，1992.
[3]胡守信，李柏年.基于MATLAB的数学实验.北京：
科学出版社,2004.
附录
问题二程序
functionodefun=dydx（t,x）
odefun=[15*0.8*x
（2）-（1-（0.8）*exp（-t））*x
（1）
（1-0.8*exp（-t））*x
（1）-（1-（19/20）*exp（-t））*x
（2）];
x0=[22450];
tspan=[02];
[t,x]=ode45（'dydx',tspan,x0）;
subplot（1,2,1）;
plot（t,x（:
1））;
title（'控制潜伏期人数'）;
subplot（1,2,2）;
plot（t,x（:
2））;
title（'控
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