正弦定理知识点.doc
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1.1.1正弦定理
课上讲解:
1.正弦定理:
在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等,即
=2R
其中R为三角形外接圆半径。
2.正弦定理的基本作用:
①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边,如;
②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值,如。
一般地,已知三角形的某些边和角,求其他的边和角的过程叫作解三角形。
3.常用变形:
①
②
③
题型一:
已知两角和一边(唯一确定)
例1.已知在.
变式练习1:
1.已知ΔABC,已知A=600,B=300,a=3;求边b=():
A.3B.2C.D.
2.已知ΔABC已知A=450,B=750,b=8;求边a=()
A.8B.4C.4-3D.8-8
3.已知a+b=12,B=450,A=600则a=_____,b=_____
题型二:
已知两边和其中一边所对的角(两种情况,由y=sinx的性质决定)
例2.在
变式练习1:
变式练习2:
变式练习3:
在中,已知角,则角A的值是
A.B.C.D.或
变式练习4:
在中,若,则A=。
题型三:
外接圆问题
例3.试推导在三角形中===2R其中R是外接圆半径
变式练习1:
在△ABC中,,则k为()
A2RBRC4RD(R为△ABC外接圆半径)
变式练习2:
在中,,则为()
A、 B、 C、 D、
变式练习3:
在中,()
A、 B、
C、 D、
变式练习4:
设△ABC的外接圆半径为R,且已知AB=4,∠C=45°,则R=________.
题型四:
比例问题
例4.在中,已知判断的形状.
变式练习1:
已知ABC满足条件,判断ABC的类型。
变式练习2:
△ABC中,sin2A=sin2B+sin2C,则△ABC为()
A直角三角形B等腰直角三角形C等边三角形D等腰三角形
变式练习3:
在三角形ABC中,A为锐角,,则三角形ABC是()
A、等腰三角形B、等边三角形C、直角三角形D、等腰直角三角形
例5.在中,三个内角之比,那么等于____
变式练习1:
在△ABC中,
变式练习2:
在△ABC中,A:
B:
C=4:
1:
1,则a:
b:
c=()
A4:
1:
1B2:
1:
1C:
1:
1D:
1:
1
变式练习2:
在中,B=135,C=15,a=5则此三角形的最大边长为_____
变式练习3:
已知在ΔABC中,三内角的正弦比为4:
5:
6,有三角形的周长为7.5,则其三边长分别为________
变式练习4:
在△ABC中,6:
5:
4,则(2b+c):
(3c+a):
(a+4b)=_______________
变式练习5:
△的三个内角、、所对的边分别为、、,.求
例6.在中,已知,求的度数
变式练习1:
在△ABC中,若a=2bsinA,则∠B为()
A.B.C.或D.或
技巧的应用:
例7.在△ABC中,a,b,c分别为角A,B,C的对边,且.
(1)求∠A的大小;
(2)若a=,b+c=3,求b和c的值.
变式练习1:
△ABC中,若sin(A+B)sin(A-B)=sin2C,则△ABC是()
A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形
变式练习2:
若△ABC的三内角ÐA,ÐB,ÐC满足sinA=2sinCcosB,则△ABC为_______三角形.
变式练习3:
已知a,b,c分别是△ABC的三个内角A,B,C所对的边,若a=1,b=,A+C=2B,则sinC=.
变式练习4:
在中,,
1)求的值;
2)设,求的面积.
题型五:
面积问题
例8.在△ABC中,,则三角形ABC的面积为
变式练习1:
在△ABC中,b=8,c=,S△ABC=,则∠A等于()
A.30ºB.60ºC.30º或150ºD.60º或120º
变式练习2:
已知△ABC中,AB=6,∠A=30°,∠B=120°,则△ABC的面积为()
A.9 B.18C.9 D.18
变式练习3:
若△ABC的三边长分别为4,5,7,则△ABC的面积=,内切圆半径=.
变式练习4:
如图△ABC中,点D在边BC上,且BD=2,DC=1,∠B=60°,∠ADC=150°,求AC的长及△ABC的面积.
提高题:
1.如图,在ΔABC中,∠A的平分线AD与边BC相交于点D,求证:
A
B
C
D
高考真题:
1.(2011·浙江高考文科·T5)在中,角所对的边分别为.若,则
2、(2011·新课标全国高考理科·T16)在中,,则的最大值为.
3、(2011·北京高考理科·T9)在中,若,则;
4、(2011·北京高考文科·T9)在中,若,则=.
5、(2009·广东高考)已知△ABC中,∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c.若a=c=+,且∠A=75°,则b=
6、在锐角△ABC中,BC=1,B=2A,则的值等于______,AC的取值范围为________.
7、在△ABC中,已知2sinAcosB=sinC,那么△ABC一定是三角形
8、.在△ABC中,AB=,AC=1,B=,则△ABC的面积等于
9、锐角△ABC中,若A=2B,则的取值范围是;
10、(浙江高考)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足cos=,·=3.求△ABC的面积
11、已知a,b,c为△ABC的三个内角A,B,C的对边,向量m=(,-1),n=(cosA,sinA),若m⊥n,且acosB+bcosA=csinC,则角B=________.
12、(2011·安徽高考文科·T16)在中,a,b,c分别为内角A,B,C所对的边长,a=,b=,,求边BC上的高
.
13.(2011·辽宁高考文科·T17)(本小题满分12分)△的三个内角,,所对的边分别为、、,.求;
14、(2011·山东高考文科·T17)(本小题满分12分)
在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知.求的值;
15、(2011·湖南高考理科·T17)(12分)在角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足csinA=acosC.
(1)求角C的大小;
(2)求的最大值,并求取得最大值时角A,B的大小.
16、(2011·浙江高考理科·T18)(本题满分14分)在中,角所对的边分别为a,b,c.已知且.(Ⅰ)当时,求的值;