1、111正弦定理课上讲解:1.正弦定理:在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等,即=2R其中R为三角形外接圆半径。2.正弦定理的基本作用:已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边,如;已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值,如。一般地,已知三角形的某些边和角,求其他的边和角的过程叫作解三角形。3.常用变形:题型一:已知两角和一边(唯一确定)例1. 已知在.变式练习1:1.已知ABC,已知A=600,B=300,a=3;求边b=():A.3 B.2 C. D.2.已知ABC 已知A=450,B=750,b=8;求边()A.8 B.4 C.4-3 D.8-83.已知a+b=1
2、2,B=450,A=600则a=_,b=_题型二:已知两边和其中一边所对的角(两种情况,由y=sin x的性质决定)例2.在变式练习1:变式练习2:变式练习3: 在中,已知角,则角A的值是A. B. C. D.或变式练习4:在中,若,则A= 。题型三:外接圆问题例3. 试推导在三角形中=2R其中R是外接圆半径变式练习1:在ABC中,,则k为( )A2R BR C4R D(R为ABC外接圆半径)变式练习2:在中,则为 ( )A、B、C、D、变式练习3:在中, ( )A、B、C、D、变式练习4:设ABC的外接圆半径为R,且已知AB4,C45,则R_题型四:比例问题例4.在中,已知判断的形状变式练习
3、1:已知ABC满足条件,判断ABC的类型。 变式练习2:ABC中,sin2A = sin2B +sin2C,则ABC为( )A直角三角形 B等腰直角三角形C等边三角形 D等腰三角形变式练习3:在三角形ABC中,A为锐角,则三角形ABC是 ( ) A、等腰三角形 B、等边三角形 C、直角三角形 D、等腰直角三角形例5.在中,三个内角之比,那么等于_变式练习1:在ABC中, 变式练习2:在ABC中,A:B:C=4:1:1,则a:b:c= ( )A 4:1:1 B 2:1:1 C :1:1 D :1:1变式练习2:在中,B=135,C=15,a=5则此三角形的最大边长为_变式练习3:已知在ABC中,
4、三内角的正弦比为4:5:6,有三角形的周长为7.5,则其三边长分别为_变式练习4:在ABC中, 6:5:4,则(2b+c):(3c+a):(a+4b) =_变式练习5:的三个内角、所对的边分别为、,求例6.在中,已知,求的度数变式练习1:在ABC中,若a = 2b sin A,则B为( )A. B. C.或 D.或技巧的应用:例7.在ABC中,a,b,c分别为角 A,B,C的对边,且. (1)求A的大小;(2)若a =,b + c = 3,求b和c的值.变式练习1:ABC中,若 sin(A + B)sin(A - B)= sin2 C,则ABC 是( )A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C.
5、 钝角三角形 D. 等腰三角形变式练习2: 若ABC的三内角A,B,C满足 sin A = 2sinCcos B,则ABC为 _三角形.变式练习3:已知a,b,c分别是ABC的三个内角A,B,C所对的边,若a=1,b=, A+C=2B,则sinC= .变式练习4:在中, 1)求的值;2)设,求的面积.题型五:面积问题例8.在ABC中,,则三角形ABC的面积为 变式练习1:在ABC 中,b = 8,c =,SABC =,则A 等于( )A. 30 B. 60 C. 30 或 150 D. 60 或120变式练习2:已知ABC中,AB6,A30,B120,则ABC的面积为 ( )A9 B18 C9
6、 D18变式练习3:若ABC的三边长分别为4,5,7,则ABC的面积 = , 内切圆半径 = . 变式练习4: 如图ABC中,点D在边 BC上,且BD = 2,DC = 1,B = 60,ADC = 150,求AC的长及ABC的面积.提高题:1.如图,在ABC中,A的平分线AD与边BC相交于点D,求证: ABCD高考真题:1.(2011浙江高考文科5)在中,角所对的边分别为.若,则 2、(2011新课标全国高考理科16)在中,则的最大值为 .3、(2011北京高考理科T9)在中,若,则 ;4、(2011北京高考文科T9)在中,若,则= .5、(2009广东高考)已知ABC中,A,B,C的对边分
7、别为a,b,c.若ac,且A75,则b 6、在锐角ABC中,BC1,B2A,则的值等于_,AC的取值范围为_7、在ABC中,已知2sinAcosBsinC,那么ABC一定是 三角形8、.在ABC中,AB,AC1,B,则ABC的面积等于 9、锐角ABC中,若A2B,则的取值范围是 ;10、(浙江高考)在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足cos,3.求ABC的面积 11、已知a,b,c为ABC的三个内角A,B,C的对边,向量m(,1),n(cosA,sinA),若mn,且acosBbcosAcsinC,则角B_.12、(2011安徽高考文科16)在中,a,b,c分别为内角A,B,C所对的边长,a=,b=,求边BC上的高. 13.(2011辽宁高考文科17)(本小题满分12分)的三个内角,所对的边分别为、,求;14、(2011山东高考文科17)(本小题满分12分)在ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知.求的值;15、(2011湖南高考理科T17)(12分)在角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足csinA=acosC.(1)求角C的大小; (2)求的最大值,并求取得最大值时角A,B的大小.16、(2011浙江高考理科18)(本题满分14分)在中,角所对的边分别为a,b,c.已知且. ()当时,求的值;
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