期望方差(完美知识点试题).doc
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数学
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数学期望
知识内容
1．离散型随机变量及其分布列
⑴离散型随机变量
如果在试验中，试验可能出现的结果可以用一个变量来表示，并且是随着试验的结果的不同而变化的，我们把这样的变量叫做一个随机变量．随机变量常用大写字母表示．
如果随机变量的所有可能的取值都能一一列举出来，则称为离散型随机变量．
⑵离散型随机变量的分布列
将离散型随机变量所有可能的取值与该取值对应的概率列表表示：
…
…
…
…
我们称这个表为离散型随机变量的概率分布，或称为离散型随机变量的分布列．
2．几类典型的随机分布
⑴两点分布
如果随机变量的分布列为
其中，，则称离散型随机变量服从参数为的二点分布．
二点分布举例：
某次抽查活动中，一件产品合格记为，不合格记为，已知产品的合格率为，随机变量为任意抽取一件产品得到的结果，则的分布列满足二点分布．
两点分布又称分布，由于只有两个可能结果的随机试验叫做伯努利试验，所以这种分布又称为伯努利分布．
⑵超几何分布
一般地，设有总数为件的两类物品，其中一类有件，从所有物品中任取件，这件中所含这类物品件数是一个离散型随机变量，它取值为时的概率为
，为和中较小的一个．
我们称离散型随机变量的这种形式的概率分布为超几何分布，也称服从参数为，，的超几何分布．在超几何分布中，只要知道，和，就可以根据公式求出取不同值时的概率，从而列出的分布列．
⑶二项分布
1．独立重复试验
如果每次试验，只考虑有两个可能的结果及，并且事件发生的概率相同．在相同的条件下，重复地做次试验，各次试验的结果相互独立，那么一般就称它们为次独立重复试验．次独立重复试验中，事件恰好发生次的概率为．
2．二项分布
若将事件发生的次数设为，事件不发生的概率为，那么在次独立重复试验中，事件恰好发生次的概率是，其中．于是得到的分布列
…
…
…
…
由于表中的第二行恰好是二项展开式
各对应项的值，所以称这样的散型随机变量服从参数为，的二项分布，
记作．
二项分布的均值与方差：
若离散型随机变量服从参数为和的二项分布，则
，．
⑷正态分布
1．概率密度曲线：
样本数据的频率分布直方图，在样本容量越来越大时，
直方图上面的折线所接近的曲线．在随机变量中，如果把样本中的任一数据看作随机变量，则这条曲线称为的概率密度曲线．
曲线位于横轴的上方，它与横轴一起所围成的面积是，而随机变量落在指定的两个数之间的概率就是对应的曲边梯形的面积．
2．正态分布
⑴定义：
如果随机现象是由一些互相独立的偶然因素所引起的，而且每一个偶然因素在总体的变化中都只是起着均匀、微小的作用，则表示这样的随机现象的随机变量的概率分布近似服从正态分布．
服从正态分布的随机变量叫做正态随机变量，简称正态变量．
正态变量概率密度曲线的函数表达式为，，其中，是参数，且，．
式中的参数和分别为正态变量的数学期望和标准差．期望为、标准差为的正态分布通常记作．
正态变量的概率密度函数的图象叫做正态曲线．
⑵标准正态分布：
我们把数学期望为，标准差为的正态分布叫做标准正态分布．
⑶重要结论：
①正态变量在区间，，内，取值的概率分别是，，．
②正态变量在内的取值的概率为，在区间之外的取值的概率是，故正态变量的取值几乎都在距三倍标准差之内，这就是正态分布的原则．
⑷若，为其概率密度函数，则称为概率分布函数，特别的，，称为标准正态分布函数．
．
标准正态分布的值可以通过标准正态分布表查得．
分布函数新课标不作要求，适当了解以加深对密度曲线的理解即可．
3．离散型随机变量的期望与方差
1．离散型随机变量的数学期望
定义：
一般地，设一个离散型随机变量所有可能的取的值是，，…，，这些值对应的概率是，，…，，则，叫做这个离散型随机变量的均值或数学期望（简称期望）．
离散型随机变量的数学期望刻画了这个离散型随机变量的平均取值水平．
2．离散型随机变量的方差
一般地，设一个离散型随机变量所有可能取的值是，，…，，这些值对应的概率是，，…，，则叫做这个离散型随机变量的方差．
离散型随机变量的方差反映了离散随机变量的取值相对于期望的平均波动的大小（离散程度）．
的算术平方根叫做离散型随机变量的标准差，它也是一个衡量离散型随机变量波动大小的量．
3．为随机变量，为常数，则；
4．典型分布的期望与方差：
⑴二点分布：
在一次二点分布试验中，离散型随机变量的期望取值为，在次二点分布试验中，离散型随机变量的期望取值为．
⑵二项分布：
若离散型随机变量服从参数为和的二项分布，则，．
⑶超几何分布：
若离散型随机变量服从参数为的超几何分布，
则，．
4．事件的独立性
如果事件是否发生对事件发生的概率没有影响，即，
这时，我们称两个事件，相互独立，并把这两个事件叫做相互独立事件．
如果事件，，…，相互独立，那么这个事件都发生的概率，等于每个事件发生的概率的积，即，并且上式中任意多个事件换成其对立事件后等式仍成立．
5．条件概率
对于任何两个事件和，在已知事件发生的条件下，事件发生的概率叫做条件概率，用符号“”来表示．把由事件与的交（或积），记做（或）．
典例分析
【例1】投掷1枚骰子的点数为，则的数学期望为（）
A． B． C． D．
【例2】同时抛掷枚均匀硬币次，设枚硬币正好出现枚正面向上，枚反面向上的次数为，则的数学期望是（）
A．B．C．D．
【例3】从这6个数中任取两个，则两数之积的数学期望为．
【例4】一射手对靶射击，直到第一次命中为止，每次命中率为，现共有颗子弹，命中后尚余子弹数目的期望为（）
A．B．C．D．
【例5】一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为，得2分的概率为，不得分的概率为（、、），已知他投篮一次得分的数学期望为2（不计其它得分情况），则的最大值为（）
A． B． C． D．
【例6】甲乙两人独立解出某一道数学题的概率依次为，已知该题被甲或乙解出的概率为，甲乙两人同时解出该题的概率为，求：
⑴；
⑵解出该题的人数的分布列及．
【例7】甲、乙、丙三人参加了一家公司的招聘面试，面试合格者可正式签约，甲表示只要面试合格就签约．乙、丙则约定：
两人面试都合格就一同签约，否则两人都不签约．设每人面试合格的概率都是，且面试是否合格互不影响．求签约人数的数学期望．
【例8】某批发市场对某种商品的周销售量（单位：
吨）进行统计，最近周的统计结果如下表所示：
周销售量
2
3
4
频数
20
50
30
⑴根据上面统计结果，求周销售量分别为2吨，3吨和4吨的频率；
⑵已知每吨该商品的销售利润为千元，表示该种商品两周销售利润的和（单位：
千元）．若以上述频率作为概率，且各周的销售量相互独立，求的分布列和数学期望．
【例9】某项考试按科目、科目依次进行，只有当科目成绩合格时，才可继续参加科目的考试．已知每个科目只允许有一次补考机会，两个科目成绩均合格方可获得证书．现某人参加这项考试，科目每次考试成绩合格的概率均为，科目每次考试成绩合格的概率均为．假设各次考试成绩合格与否均互不影响．在这项考试过程中，假设他不放弃所有的考试机会，记他参加考试的次数为，求的数学期望．
【例10】某同学如图所示的圆形靶投掷飞镖，飞镖落在靶外（环数记为0）的概率为，飞镖落在靶内的各个点是椭机的．已知圆形靶中三个圆为同心圆，半径分别为、、，飞镖落在不同区域的环数如图中标示．设这位同学投掷一次一次得到的环数这个随机变量，求的分布列及数学期望．
【例11】某项选拔共有三轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考核，否则即被淘汰．已知某选手能正确回答第一、二、三轮的问题的概率分别为、、，且各轮问题能否正确回答互不影响．
⑴求该选手被淘汰的概率；
⑵该选手在选拔中回答问题的个数记为，求随机变量的分布列与数学期望．
（注：
本小题结果可用分数表示）
【例12】在某次测试中，甲、乙、丙三人能达标的概率分别为，，，在测试过程中，甲、乙、丙能否达标彼此间不受影响．
⑴求甲、乙、丙三人均达标的概率；
⑵求甲、乙、丙三人中至少一人达标的概率；
⑶设表示测试结束后达标人数与没达标人数之差的绝对值，求的概率分布及数学期望．
【例13】在1，2，3，…，9这个自然数中，任取个数．
⑴求这个数中恰有个是偶数的概率；
⑵设为这个数中两数相邻的组数（例如：
若取出的数为1，2，3，则有两组相邻的数1，2和2，3，此时的值是2）．求随机变量的分布列及其数学期望．
【例14】甲、乙、丙三人参加了一家公司的招聘面试，面试合格者可正式签约，甲表示只要面试合格就签约．乙、丙则约定：
两人面试都合格就一同签约，否则两人都不签约．设甲面试合格的概率为，乙、丙面试合格的概率都是，且面试是否合格互不影响．求：
⑴至少有人面试合格的概率；
⑵签约人数的分布列和数学期望．
【例15】某公司“咨询热线”电话共有8路外线，经长期统计发现，在8点到10点这段时间内，外线电话同时打入情况如下表所示：
电话同时打入个数
0
1
2
3
4
5
6
7
8
概率
0
0
⑴若这段时间内，公司只安排了2位接线员（一个接线员一次只能接一个电话）．
①求至少一种电话不能一次接通的概率；
②在一周五个工作日中，如果至少有三个工作日的这段时间（8点至10点）内至少一路电话不能一次接通，那么公司的形象将受到损害，现用该事件的概率表示公司形象的“损害度”，求上述情况下公司形象的“损害度”．
⑵求一周五个工作日的这段时间（8点至10点）内，电话同时打入数的期望．
【例16】某先生居住在城镇的处，准备开车到单位处上班，若该地各路段发生堵车事件都是独立的，且在同一路段发生堵车事件最多只有一次，发生堵车事件的概率，如图．（例如：
算作两个路段：
路段发生堵车事件的概率为，路段发生堵车事件的概率为）．记路线中遇到堵车次数为随机变量，求的数学期望．
【例17】如图所示，甲、乙两只小蚂蚁分别位于一个单位正方体的点和点处，每只小蚂蚁都可以从每一个顶点处等可能地沿各条棱向每个方向移动，但不能按原路线返回．如：
甲在时可沿，，三个方向移动，概率都是，到达点时，可沿，两个方向移动，概率都是．已知小蚂蚁每秒钟移动的距离为1个单位．
⑴如果甲、乙两只小蚂蚁都移动1秒，则它们所走的路线是异面直线的概率是多少？
⑵若乙蚂蚁
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