普通高等学校招生全国统一考试数学理全国1卷.docx

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2015年全国卷Ⅰ理

一、选择题（共12小题；共60分）

1.设复数z满足1+z1−z=i，则z=  

A.1 B.2 C.3 D.2

2.sin20∘cos10∘−cos160∘sin10∘=  

A.−32 B.32 C.−12 D.12

3.设命题p:

∃n∈N，n2>2n，则¬p为  

A.∀n∈N，n2>2n B.∃n∈N，n2≤2n

C.∀n∈N，n2≤2n D.∃n∈N，n2=2n

4.投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试．已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为  

A.0.648 B.0.432 C.0.36 D.0.312

5.已知Mx0,y0是双曲线C:

x22−y2=1上的一点，F1，F2是C的两个焦点．若MF1⋅MF2<0，则y0的取值范围是  

A.−33,33 B.−36,36

C.−223,223 D.−233,233

6.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：

“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺．问：

积及为米几何?

”其意思为：

“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?

”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有  

A.14斛 B.22斛 C.36斛 D.66斛

7.设D为△ABC所在平面内一点，BC=3CD，则  

A.AD=−13AB+43AC B.AD=13AB−43AC

C.AD=43AB+13AC D.AD=43AB−13AC

8.函数fx=cosωx+φ的部分图象如图所示，则fx的单调递减区间为  

A.kπ−14,kπ+34，k∈Z B.2kπ−14,2kπ+34，k∈Z

C.k−14,k+34，k∈Z D.2k−14,2k+34，k∈Z

9.执行右面的程序框图，如果输入的t=0.01，则输出的n=  

A.5 B.6 C.7 D.8

10.x2+x+y5的展开式中，x5y2的系数为  

A.10 B.20 C.30 D.60

11.圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r）组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示．若该几何体的表面积为16+20π，则r=  

A.1 B.2 C.4 D.8

12.设函数fx=ex2x−1−ax+a，其中a<1，若存在唯一的整数x0使得fx0<0，则a的取值范围是  

A.−32e,1 B.−32e,34 C.32e,34 D.32e,1

二、填空题（共4小题；共20分）

13.若函数fx=xlnx+a+x2为偶函数，则a= ．

14.一个圆经过椭圆x216+y24=1的三个顶点，且圆心在x轴的正半轴上，则该圆的标准方程为 ．

15.若x，y满足约束条件x−1≥0,x−y≤0,x+y−4≤0,则yx的最大值为 ．

16.在平面四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=75∘，BC=2，则AB的取值范围是 ．

三、解答题（共8小题；共104分）

17.Sn为数列an的前n项和，已知an>0，an2+2an=4Sn+3．

（1）求an的通项公式；

（2）设bn=1anan+1，求数列bn的前n项和．

18.如图，四边形ABCD为菱形，∠ABC=120∘，E，F是平面ABCD同一侧的两点，BE⊥平面ABCD，DF⊥平面ABCD，BE=2DF，AE⊥EC．

（1）证明：

平面AEC⊥平面AFC；

（2）求直线AE与直线CF所成角的余弦值．

19.某公司为确定下一年度投入某产品的宣传费，需了解年宣传费x（单位：

千元）对年销售量y（单位：

t）和年利润z（单位：

千元）的影响．对近8年的年宣传费xi和年销售量yii=1,2,⋯,8数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．

xywxi−x2i=18wi−w2i=18xi−xi=18yi−ywi−wi=18yi−y46.65636.8289.81.61.469108.8

表中wi=xi，w=18wii=18．

附：

对于一组数据u1,v1，u2,v2，⋯，un,vn，其回归直线v=α+βu的斜率和截距的最小二乘估计分别为β=ui−ui=1nvi−vui−u2i=1n，α=v−βu．

（1）根据散点图判断，y=a+bx与y=c+dx哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型?

（给出判断即可，不必说明理由）

（2）根据

（1）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；

（3）已知这种产品的年利润z与x，y的关系为z=0.2y−x．根据

（2）的结果回答下列问题：

（i）年宣传费x=49时，年销售量及年利润的预报值是多少?

（ii）年宣传费x为何值时，年利润的预报值最大?

20.在直角坐标系xOy中，曲线C:

y=x24与直线l:

y=kx+aa>0交于M,N两点．

（1）当k=0时，分别求C在点M和N处的切线方程；

（2）y轴上是否存在点P，使得当k变动时，总有∠OPM=∠OPN?

说明理由．

21.已知函数fx=x3+ax+14，gx=−lnx．

（1）当a为何值时，x轴为曲线y=fx的切线；

（2）用minm,n表示m，n中的最小值，设函数hx=minfx,gxx>0，讨论hx零点的个数．

22.如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，BC交⊙O于点E．

（1）若D为AC的中点，证明：

DE是⊙O的切线；

（2）若OA=3CE，求∠ACB的大小．

23.在直角坐标系xOy中，直线C1:

x=−2，圆C2:

x−12+y−22=1，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．

（1）求C1，C2的极坐标方程；

（2）若直线C3的极坐标方程为θ=π4ρ∈R，设C2与C3的交点为M，N，求△C2MN的面积．

24.已知函数fx=x+1−2x−a，a>0．

（1）当a=1时，求不等式fx>1的解集；

（2）若fx的图象与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围．

答案

第一部分

1.A

2.D

3.C

4.A 【解析】至少投中2次，包括“投中2次”和“投中3次两种情况”，p=C320.62×0.4+0.63=0.648．

5.A

【解析】如图，设MF1=m，MF2=n，则m−n=22，当MF1⊥MF2时，m2+n2=∣F1F2∣2=12，可求得mn=2．

由S△MF1F2=12F1F2y0=12mn可得y0=±33．

当MF1⋅MF2<0时，∠F1MF2是钝角或平角，此时y0的取值范围为−33,33．

6.B 【解析】这个米堆是四分之一圆锥，由题意可求得它的底面半径为8π2=163，

所以它的体积为3209，所以米堆的米有3209×1.62≈22（斛）．

7.A 【解析】BC=AC−AB，CD=AD−AC，

因为BC=3CD，

所以AC−AB=3AD−AC，整理得AD=−13AB+43AC．

8.D 【解析】由图可知fx最小正周期为254−14=2；又可推得图中fx的一个最低点为34,−1，一个最高点为−14,1，所以fx的单调递减区间为−14+2k,34+2k，k∈Z．

9.C 【解析】经过计算可发现规律S=12k时，m=12k+1，n=k．

所以当S=127时，n=7，此时刚好有S≤0.01，输出n=7．

10.C

【解析】x2+x+y5=x2+x+y5的通项公式为Tr+1=C5r⋅x25−r⋅x+yr，又x+yr的通项公式为Tk+1=Crk⋅xr−k⋅yk，所以x2+x+y5的通项公式为C5r⋅Crk⋅x10−r−k⋅yk（0≤k≤r≤5），令k=210−r−k=5得r=3，所以x5y2的系数为C53⋅C32=30．

11.B 【解析】提示：

此组合体是过圆柱对称轴的平面截圆柱所得的半个圆柱和一个半球组成的组合体．

12.D 【解析】法一：

考虑函数gx=ex2x−1，以及函数hx=ax−1，则题意要求存在唯一的整数x0使得gx0

注意到gʹx=ex2x+1，尤其注意到y=x−1为y=gx在0,−1处的切线，如图．

于是可以确定符合题意的唯一整数x0=0，则f0<0f1≥0f−1≥0，解得32e≤a<1．

法二：

首先f0=−1+a<0，所以唯一的整数为0．

而f−1=−3e+2a≥0，解得a≥32e．

又a<1，对fx求导得fʹx=ex2x+1−a，

当x<−12时，fʹx<0；

当x>0时，fʹx>0．

从而fx在−∞,−12上单调递减，在0,+∞上单调递增．

而当a≥32e时，有f−1≥0，f0<0，f1>0，

故在−∞,−1∪1,+∞上fx≥0，f0<0，满足题意．

所以满足条件的a的取值范围为32e,1．

第二部分

13.1

【解析】因为fx是偶函数，而y=x是奇函数，所以gx=lnx+a+x2是奇函数，所以g0=0，解得a=1．

14.x−322+y2=254

【解析】提示：

因为圆心在x轴正半轴上，所以圆经过点0,−2，0,2，4,0．

15.3

【解析】

yx表示可行域中的点和原点连线的斜率，由图可知，取A1,3点时，yx最大，最大值为3．

16.6−2,6+2

【解析】延长BA，CD，交于点A2，作CA1∥DA交AB于点A1，则BA1

在△A1BC中BCsin∠BA1C=BA1sin∠BCA1，求得BA1=6−2；

在△A2BC中，BA2sin∠BCD=BCsin∠A2，求得BA2=6+2．

所以，AB的取值范围为6−2,6+2．

第三部分

17.

（1）由题意得an2+2an=4Sn+3，所以an−12+2an−1=4Sn−1+3n≥2．

两式相减整理得an+an−1an−an−1−2=0．

又an>0，所以an=an−1+2．

又由a12+2a1=4S1+3=4a1+3得a1=3（负值舍去）．

所以an是首项为3，公差为2的等差数列，故an=2n+1．

（2）由

（1）知bn=12n+12n+3=1212n+1−12n+3．

于是数列bn的前n项和

Sn=1213−15+15−17+⋯+12