新高一暑期课程第一讲至第八讲.doc

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新高一暑假课程

二、课程内容与教学时间

节次

课程内容

第一讲

数与式的运算

第二讲

因式分解

第三讲

一元二次方程的根与系数的关系

第四讲

不等式

第五讲

二次函数与一元二次方程和一元二次不等式

第六讲

简单的二元二次方程组

第七讲

分式方程与无理方程的解法及圆的四心

第八讲

集合

第九讲

函数及其表示

第十讲

函数的基本性质

第十一讲

指数函数

第十二讲

对数函数

第十三讲

幂函数

第十四讲

函数与方程

第十五讲

函数模型及其应用

课程讲义使用说明

本课程上的开发目的是为各地在做初、高中衔接教学提供模板和内容素材，故各地在使用过程中可以根据当地的具体情况适当的取舍、添加内容，也可以重新排列各讲的次序，也可以根据学生和教学学时，对课时内容进行压缩或合并。

在教学过程中灵活处理课后自我检测题，可以利用课堂的一部分时间指导学生进行研究、探讨，以提高课堂教学的时效性，同时提高学生的自信心，增强学生的积极性和主动性，为提高教学成绩奠定基础。

第一讲数与式的运算

在初中，我们已学习了实数，知道字母可以表示数用代数式也可以表示数，我们把实数和代数式简称为数与式．代数式中有整式（多项式、单项式）、分式、根式．它们具有实数的属性，可以进行运算．在多项式的乘法运算中，我们学习了乘法公式（平方差公式与完全平方公式），并且知道乘法公式可以使多项式的运算简便．

由于在高中学习中还会遇到更复杂的多项式乘法运算，因此本节中将拓展乘法公式的内容，补充三个数和的完全平方公式、立方和、立方差公式．在根式的运算中，我们已学过被开方数是实数的根式运算，而在高中数学学习中，经常会接触到被开方数是字母的情形，但在初中却没有涉及，因此本节中要补充．基于同样的原因，还要补充“繁分式”等有关内容．

一、乘法公式

【公式1】

证明：

等式成立

【例1】计算：

解：

原式＝

说明：

多项式乘法的结果一般是按某个字母的降幂或升幂排列．

【公式2】（立方和公式）

证明:

说明:

请同学用文字语言表述公式2.

【例2】计算：

解：

原式＝

我们得到：

【公式3】（立方差公式）

请同学观察立方和、立方差公式的区别与联系，公式1、2、3均称为乘法公式．

【例3】计算：

（1）

（2）

（3） （4）

解：

（1）原式＝

（2）原式＝

（3）原式＝

（4）原式＝

说明：

（1）在进行代数式的乘法、除法运算时，要观察代数式的结构是否满足乘法公式的结构．

（2）为了更好地使用乘法公式，记住1、2、3、4、…、20的平方数和1、2、3、4、…、10的立方数，是非常有好处的．

【例4】已知，求的值．

解：

原式＝

说明：

本题若先从方程中解出的值后，再代入代数式求值，则计算较烦琐．本题是根据条件式与求值式的联系，用整体代换的方法计算，简化了计算．请注意整体代换法．本题的解法，体现了“正难则反”的解题策略，根据题求利用题知，是明智之举．

【例5】已知，求的值．

解：

原式＝

①

②，把②代入①得原式＝

说明：

注意字母的整体代换技巧的应用．

引申：

同学可以探求并证明：

二、根式

式子叫做二次根式，其性质如下：

（1）

（2）

（3） （4）

【例6】化简下列各式：

（1）

（2）

解：

（1）原式＝

（2）原式＝

说明：

请注意性质的使用：

当化去绝对值符号但字母的范围未知时，要对字母的取值分类讨论．

【例7】计算（没有特殊说明，本节中出现的字母均为正数）：

（1）

（2） （3）

解：

（1）原式＝

（2）原式＝

（3）原式＝

说明：

（1）二次根式的化简结果应满足：

①被开方数的因数是整数，因式是整式；②被开方数不含能开得尽方的因数或因式．

（2）二次根式的化简常见类型有下列两种：

①被开方数是整数或整式．化简时，先将它分解因数或因式，然后把开得尽方的因数或因式开出来；②分母中有根式（如）或被开方数有分母（如）．这时可将其化为形式（如可化为），转化为“分母中有根式”的情况．化简时，要把分母中的根式化为有理式，采取分子、分母同乘以一个根式进行化简．（如化为，其中与叫做互为有理化因式）．

【例8】计算：

（1）

（2）

解：

（1）原式＝

（2）原式＝

说明：

有理数的的运算法则都适用于加法、乘法的运算律以及多项式的乘法公式、分式二次根式的运算．

【例9】设，求的值．

解：

原式＝

说明：

有关代数式的求值问题：

（1）先化简后求值；

（2）当直接代入运算较复杂时，可根据结论的结构特点，倒推几步，再代入条件，有时整体代入可简化计算量．

三、分式

当分式的分子、分母中至少有一个是分式时，就叫做繁分式，繁分式的化简常用以下两种方法：

（1）利用除法法则；

（2）利用分式的基本性质．

【例10】化简

解法一：

原式

＝

解法一：

原式＝

说明：

解法一的运算方法是从最内部的分式入手，采取通分的方式逐步脱掉繁分式，解法二则是利用分式的基本性质进行化简．一般根据题目特点综合使用两种方法．

【例11】化简（题目有错）

解：

原式＝

说明：

（1）分式的乘除运算一般化为乘法进行，当分子、分母为多项式时，应先因式分解再进行约分化简；

（2）分式的计算结果应是最简分式或整式．

课后自我检测

A组

1．二次根式成立的条件是（ ）

A． B． C． D．是任意实数

2．若，则的值是（ ）

A．－3 B．3 C．－9 D．9

3．计算：

（1）

（2）

（3） （4）

4．化简（下列的取值范围均使根式有意义）：

（1）

（2）

（3） （4）

5．化简：

（1）

（2）

B组

1．若，则的值为（ ）：

A． B． C． D．

2．计算：

（1）

（2）

3．设，求代数式的值．

4．当，求的值．

5．设、为实数，且，求的值．

6．已知，求代数式的值．

7．设，求的值．

8．展开

9．计算

10．计算

11．化简或计算：

（1）

（2）

（3）

（4）

课后自我检测参考答案

A组

1．C2．A

3．

（1）

（2）

（3） （4）

4．

5．

B组

1．D2．3．

4． 5． 6．3 7．

8．

9．

10．

11．

第二讲因式分解

因式分解是代数式的一种重要的恒等变形，它与整式乘法是相反方向的变形．在分式运算、解方程及各种恒等变形中起着重要的作用．是一种重要的基本技能．

因式分解的方法较多，除了初中课本涉及到的提取公因式法和公式法（平方差公式和完全平方公式）外，还有公式法（立方和、立方差公式）、十字相乘法和分组分解法等等．

一、公式法（立方和、立方差公式）

在第一讲里，我们已经学习了乘法公式中的立方和、立方差公式：

（立方和公式）

（立方差公式）

由于因式分解与整式乘法正好是互为逆变形，所以把整式乘法公式反过来写，就得到：

这就是说，两个数的立方和（差），等于这两个数的和（差）乘以它们的平方和与它们积的差（和）．

运用这两个公式，可以把形式是立方和或立方差的多项式进行因式分解．

【例1】用立方和或立方差公式分解下列各多项式：

（1）

（2）

分析：

（1）中，，

（2）中．

解：

（1）

（2）

说明：

（1）在运用立方和（差）公式分解因式时，经常要逆用幂的运算法则，如，这里逆用了法则；

（2）在运用立方和（差）公式分解因式时，一定要看准因式中各项的符号．

【例2】分解因式：

（1）

（2）

分析：

（1）中应先提取公因式再进一步分解；

（2）中提取公因式后，括号内出现，可看着是或．

解：

（1）．

（2）

二、分组分解法

从前面可以看出，能够直接运用公式法分解的多项式，主要是二项式和三项式．而对于四项以上的多项式，如既没有公式可用，也没有公因式可以提取．因此，可以先将多项式分组处理．这种利用分组来因式分解的方法叫做分组分解法．分组分解法的关键在于如何分组．

1．分组后能提取公因式

【例3】把分解因式．

分析：

把多项式的四项按前两项与后两项分成两组，并使两组的项按的降幂排列，然后从两组分别提出公因式与，这时另一个因式正好都是，这样可以继续提取公因式．

解：

说明：

用分组分解法，一定要想想分组后能否继续完成因式分解，由此合理选择分组的方法．本题也可以将一、四项为一组，二、三项为一组，同学不妨一试．

【例4】把分解因式．

分析：

按照原先分组方式，无公因式可提，需要把括号打开后重新分组，然后再分解因式．

解：

说明：

由例3、例4可以看出，分组时运用了加法结合律，而为了合理分组，先运用了加法交换律，分组后，为了提公因式，又运用了分配律．由此可以看出运算律在因式分解中所起的作用．

2．分组后能直接运用公式

【例5】把分解因式．

分析：

把第一、二项为一组，这两项虽然没有公因式，但可以运用平方差公式分解因式，其中一个因式是；把第三、四项作为另一组，在提出公因式后，另一个因式也是.

解：

【例6】把分解因式．

分析：

先将系数2提出后，得到，其中前三项作为一组，它是一个完全平方式，再和第四项形成平方差形式，可继续分解因式．

解：

说明：

从例5、例6可以看出：

如果一个多项式的项分组后，各组都能直接运用公式或提取公因式进行分解，并且各组在分解后，它们之间又能运用公式或有公因式，那么这个多项式就可以分组分解法来分解因式．

三、十字相乘法

1．型的因式分解

这类式子在许多问题中经常出现，其特点是：

（1）二次项系数是1；

（2）常数项是两个数之积；（3）一次项系数是常数项的两个因数之和．

因此，

运用这个公式，可以把某些二次项系数为1的二次三项式分解因式．

【例7】把下列各式因式分解：

（1）

（2）

解：

（1）

．

（2）

说明：

此例可以看出，常数项为正数时，应分解为两个同号因数，它们的符号与一次项系数的符号相同．

【例8】把下列各式因式分解：

（1）

（2）

解：

（1）

（2）

说明：

此例可以看出，常数项为负数时，应分解为两个异号的因数，其中绝对值较大的因数与一次项系数的符号相同．

【例9】把下列各式因式分解：

（1）

（2）

分析：

（1）把看成的二次三项式，这时常数项是，一次项系数是，把分解成与的积，而，正好是一次项系数．

（2）由换元思想，只要把整体看作一个字母，可不必写出，只当作分解二次三项式．

解：

（1）

（2）

2．一般二次三项式型的因式分解

大家知道，．

反过来，就得到：

我们发现，二次项系数分解成，常数项分解成，把写成，这里按斜线交叉相乘，再相加，就得到，如果它正好等于的一次项系数，那么就可以分解成，其中位于上一行，位于下一行．

这种借助画十字交叉线分解系数，从而将二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法．

必须注意，分解因数及十字相乘都有多种可能情况，所以往往