放缩法证明不等式学生用.doc

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用放缩法证明不等式（学生用）

所谓放缩法就是利用不等式的传递性，对照证题目标进行合情合理的放大和缩小的过程，在使用放缩法证题时要注意放和缩的“度”，否则就不能同向传递了，此法既可以单独用来证明不等式，也可以是其他方法证题时的一个重要步骤。

下面举例谈谈运用放缩法证题的常见题型。

一.“添舍”放缩通过对不等式的一边进行添项或减项以达到解题目的，这是常规思路。

例1.已知a、b、c不全为零，求证：

增大（减小）不等式一边的所有项将不等式一边的各项都增大或减小,从而达到放缩的目的.

例2．（02年全国卷理科第21题）设数列满足,且,

求证：

分式放缩一个分式若分子变大则分式值变大，若分母变大则分式值变小；一个真分式，分子、分母同时加上同一个正数则分式值变大，利用这些性质，可达到证题目的。

例3.．设，求证：

练习1：

设，则与1的大小关系是.提示：

A<1

例4已知a、b、c为三角形的三边，求证：

。

练习：

1．设，，则的大小关系是（）

A.B.C.D.

1．B提示：

2．已知三角形的三边长分别为，设，则与的大小关系是（）

A.B.C.D.

D提示：

由，得，

3．若a,b,c,dÎR+，求证：

二.裂项放缩若欲证不等式含有与自然数n有关的n项和，可采用数列中裂项求和等方法来解题。

例5：

求证：

练习:

设求证：

解析又（只将其中一个变成，进行部分放缩），，于是

例6:

已知,求证：

（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）.

练习：

设，则的整数部分为.

练习：

设，求证：

.

提示：

由，累加即得.

练习：

设，求证：

提示：

，累加即得.

练习：

已知,证明

三：

适度放缩，

1、限制放缩的项和次数，若对不等式中的每一项都进行放缩,很可能造成放得过大或缩得太小,若限制放缩的项,保留一些特定项不变,可以通过这样来调整放缩的“度”,逼近欲证明的目标,这与第一部分的1.1.3也是相通的.

例7求证

例8：

已知正项数列{an}满足a0＝，an＝an－1＋a（n∈N*），求证：

（1）－<；

（2）an

点评：

应用放缩法证明不等式，必须先依题意明确放缩目标，即是放大还是缩小，是整体放缩还是局部放缩，是逐项放缩还是选择部分放缩，同时还要把握放缩的“尺度”，并注意及时调整．

2、.均值不等式利用已知的公式或恒不等式，把欲证不等式变形后再放缩，可获简解。

根据所证不等式的结构特征来选取所需要的重要不等式，这里

例9：

已知且，求证：

对所有正整数n都成立。

练习：

lg9•lg11<1提示：

练习：

提示：

练习：

已知为整数,并且求证：

提示：

（当且仅当时取等号）.

3、利用有用结论

例10：

求证

注：

例9是1985年上海高考试题，以此题为主干添“枝”加“叶”而编拟成1998年全国高考文科试题；进行升维处理并加参数而成理科姊妹题。

如理科题的主干是：

证明（可考虑用贝努利不等式的特

4、利用函数的性质利用一般函数的单调性和有界性进行放缩.

例11：

求证时,

例12：

已知

（1）求f（x）的单调区间；

（2）求证：

x>y>0,有f（x+y）

（3）若求证：

练习：

已知不等式对n∈N+都成立，则实数M的取值范围是__________。

提示：

记,则,

最大.M>1