排列组合典型题汇总.doc
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排列、组合题型与解题方法
撰写人：
胡清涛
一：
可重复排列求幂法
1、有4名同学报名参加，数学、物理、化学三科竞赛，每人限报一科，有多少种不同的报名方法？
解析：
本题题意是让4同学选择3个科目，人是主动的，科目是被选的是被动的，于是完成这件事，需要4个步骤
第一步：
同学甲从3个科目中选择一科有3种选择。
第二步：
同学乙从3个科目中选择一科有3种选择。
第三步：
同学丙从3个科目中选择一科有3种选择。
第四步：
同学丁从3个科目中选择一科有3种选择。
完成这件事共有种方法
2、有4名学生参加争夺数学、物理、化学竞赛冠军，多少种不同的结果？
解析：
每科的冠军都产生于这4名同学中，所以3科竞赛的冠军是主动的，而4名同学是被选的，是被动的。
于是完成这件事，分3个步骤
第一步：
数学科目的冠军是从4名同学中选1名有4种选择
第二步：
物理科目的冠军是从4名同学中选1名有4种选择
第三步：
化学科目的冠军是从4名同学中选1名有4种选择
完成这件事共有种方法
解决这种问题的关键在于分清哪个是主动哪个是被动，再按照分步计数原理的方法将每个步骤中的方法数相乘，从而得到所求结果。
3、将3封不同的信投入4个不同的邮筒，则有多少种不同投法？
4、把6名实习生分配到7个车间实习共有多少种不同方法？
5、8名同学争夺3项冠军，获得冠军的可能性有多少种？
6、一个六位的密码，每一位都是由0到9十个数字中的一个所构成，一共能组成多个密码？
二：
多排问题单排法
12、6个人排成前后两排，每排3个元素，有多少种不同的排法？
解析：
6个人站成两排每排三个，可以看做是将6个人排成一列，再从中间断成两段，分为前后两排，因此：
总的排法数为种
另解：
第一步排列前排：
从6个人中选出3个人排列，即
第二步排列后排：
剩余的3个人排列，即
总的排法数为种
13、6个人排成前后两排，前排2人，后排4人，有多少种不同的排法？
解析：
第一步前排：
从6个人中选出2个人排列，即
第二步后排：
剩余的4人排列，即
总的排法数为相当于6人排成一直排.
14、把15人分成前后三排，每排5人，有多少种不同的排法？
解析：
第一步前排：
第二步中排：
第三步后排：
总排法数为种
15、把15人分成前、中、后三排，前排4人，中排5人，后排6人，有多少种不同的排法？
解析：
第一步前排：
第二步中排：
第三步后排：
总排法数为种
以上问题都是求“将n个元素排成若干排”的问题，有上面各题的难
得出这样的结论：
“无论排成几排，无论每排中元素有几个，都可以当做
将这n个不同的元素排成一个直排来看待”
16、8个不同的元素排成前后两排，每排4个元素，，有多少种不同排法？
17、8个不同的元素排成前后两排，每排4个元素，其中某2个元素要排在前排，某1个元素排在后排，有多少种不同排法？
解析：
先按照排成一排来看待，则相当于有八个位置。
如图：
————————︱————————
左边4个位置相当于前排,右边4个位置相当于后排，先从前排的4个位置中选择两个位置排列这两个人，即；再从右边的4个位置选择一个位置排列另外1人，即；其余的5个人随便排列，即
总的排法数为
三、相同元素的分配问题隔板法
18、10个三好学生名额分到7个班级，每个班级至少一个名额，有多少种不同分配方案？
解析：
本题题意就是将10个名额，分给7个班级，每班都能分到名额。
由于名额与名额之间无任何差别。
因此本题即是10个相同的元素分成7堆。
具体操作如下：
。
。
。
。
。
。
。
。
。
。
这10个小圆圈就相当于10个相同的元素，可以想象将木板插在这10个元素之间空当中，就可以将这10个元素分成若干份。
本题中要求分成7分，所以只需要6块木板就可以了，10个元素之间形成了9个空，所以只需将这6块木板插到这9个空中即可。
一种木板的插入方式就对应着一种名额的分配方式。
因此有多少种插法就有多少种分配方法。
于是：
不同分配方案共有种。
能够用“隔板法“解决的拍列组合问题是：
“对n个相同的元素分成m份”。
这里要特别注意的是:
“所研究的元素必须是相同的。
”
19、某校要组建一个12人的篮球队，这12个人分别由8个班的学生组成，每班至少一名，共有多少种选派方案？
20、6名同学带13瓶百事去春游，每人至少带一瓶，有多少种不同的带法？
21、方程正整数解有多少组？
22、把20个相同的球全放入编号分别为1，2，3的三个盒子中，要求每个盒子中的球数不少于其编号数，则有多少种不同的放法？
解析：
由题意可知，1号盒里至少放1个球；2号盒里至少放2个球；3号盒里至少放3个球。
要保证上述条件只需先将1号盒里放0个球；2号盒里放1个球；3号盒里放2个球，其余的17个球在进行隔板，即:
将17个球用2块木板隔成3分。
共有种不同的放法。
23、25个相同的小球，分别投到编号为1、2、3、4的四个盒子中，要求每个盒子中的球数不少于盒子的编号数，有多少种不同的方法？
四、相邻问题捆绑法
24、A、B、C、D、E五人站成一排，其中 A、B必须相邻，有多少种不同的排法？
解析：
既然A、B必须相邻，则把它们捆绑到一起看成是一个元素，这样一来五个人可以看成是4个元素排列，但是在捆绑A、B的时候，二者也有顺序，所以在捆绑的同时也要把A、B进行排列。
总的排法数为
25、A、B、C、D、E五人站成一排，其中 A、B必须相邻，且A必须在B的左边，有多少种不同的排法？
解析：
分析方法同上题相同，唯一不同的是在本题中，捆绑A、B的同时不需要对A、B进行排列，因为A必须在B的左边，这实际上已经确定了A、B的顺序，所以本题直接将5个人看成是4个不同的元素排列。
总的排法数为
在解决两个或多个元素相邻问题时我们选择“捆绑法”，在捆绑的时候
要注意，“被捆绑的的元素与元素之间是否有顺序，如果有则需要在捆
绑的同时，先将元素排列。
”
26、3名男生5名女生站成一排，3名男生必须站在一起，有多少种不同的排法
27、4名男生和3名女生并坐在一起，男生相邻，女生也相邻，共有多少种不同的坐法？
五、不相邻问题插空法
28、七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，有多少种不同的排法？
解析：
由于甲乙两人不相邻，除去甲乙还有5个人，先将这5个人排列，此时5个人之间包括两端共有6个空位，将甲乙两个元素分别插入到这6个空中即可。
总排法数为
29、4名男生，3名女生，站成一排，3名女生互不相邻，有多少种不同排法？
解析：
仿照上题，3名女生不相邻，则先排列4名男生，4名男生之间包括两端共有5个空位，再将3名女生分别插入到这5个空位中。
总排法数为
在解决两个或多个元素不相邻问题时我们选择“插空法”，需要注意的是：
“在插空时是用不相邻的元素去插其他元素的空”
30、4名男生，3名女生，站成一排，男女生相间，有多少种不同排法？
解析：
“男女生相间”即是“男生不相邻女生也不相邻”
先排4个男生；再把3个女生插空，但此时的插空同上题不同的是，女生能可以选择的空位只能是中间的3个空，不能选择两端的两个空，因为如果选择了两端的两个空位，必然会使其中的两名男生相邻，即。
总的排法数为
本题中应当注意的是，“男生女生相间”的意思是“男生不相邻且女生也不相邻”，此时插空时要注意不能选择两端的两个空位。
31、4名男生，4名女生，站成一排，男女生相间，有多少种不同排法？
解析：
本题也是男女生相间问题，但与上题不同的是：
男生人数与女生人数相等，则先把男生和女生分别排列，再插空。
如下图：
男男男男
女女女女
或
女女女女
男男男男
总的排法数为
如果男生女生人数相同时，要求那女相间，要注意有两种不同的情况，一是男生打头，二是女生打头。
31、用1、2、3、4、5五个数字组成没有重复数字的五位数，且1、2不
相邻，这样的五位数共有多少个？
32、班学要安排毕业晚会的4各音乐节目，2个舞蹈节目和1个曲艺节目
的演出顺序，要求两个舞蹈节目不连排，有多少种不同排法？
33、在马路上有编号为1、2、3、4、5、6、7、8、9的九盏路灯，为了节约用电需要关掉其中的3盏路灯，但是不能关掉相邻的两盏或三盏，也不能关掉两端的两盏，共有多少种不同的关灯方法？
解析：
关掉其中的三盏，则还有六盏灯亮着，那么我们只需用三盏关掉的路灯，去插亮着的六盏灯的空，由于要求不能关掉两端的两盏，所以，只能选择六盏亮着的路灯之间的5个空，另外我们要知道，关掉的路灯之间没有区别，亮着的路灯之间也没有区别，所以灯与灯之间没有顺序，于是：
关灯的方法共有
34、3个人坐在一排8把椅子上，若每个人的两边都有空位，共有多少种不同的坐法？
解析：
解法1、先将3个人（各带一把椅子）全排列有A，○*○*○*○，
在四个空中分别放一把椅子，还剩一把椅子再去插空有A种，所以每个
人左右两边都空位的排法有=24种.
解法2：
先拿出5个椅子排成一排，在5个椅子中间出现4个空，
*○*○*○*○*再让3个人每人带一把椅子去插空，于是有A=24种.
六：
捆绑法和插空法的综合问题
35、4名男生和3名女生站成一排，要求3名女生中有2名站在一起，有多少种不同的站法？
36、停车场划出一排12个停车位置，今有8辆车需要停放.要求空车位置连在一起，不同的停车方法有多少种？
37、停车场划出一排12个停车位置，今有8辆车需要停放.要求4个空车位中的3个空车位连在一起，不同的停车方法有多少种？
38、某人射击8枪，命中4枪，4枪命中恰好有3枪连在一起的情形有多少种？
39、计划展出10幅不同的画,其中1幅水彩画,４幅油画,５幅国画,排成一行陈
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