必修一全部知识点及典型例题.doc

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第一部分集合知识点

一集合的含义

1．集合的中元素的三个特性：

元素确定性元素的互异性元素的无序性

2.集合的表示：

{…}

集合的表示方法

1）列举法：

{a,b,c……}

2）描述法：

{xÎR|x-3>2},{x|x-3>2}

3）语言描述法：

例：

{不是直角三角形的三角形}

4）Venn图:

3．集合的分类：

有限集无限集空集

4．常见集合表示

R实数集Q有理数集N自然数集Z整数集N*正整数集C复数集

二集合间的基本关系

1.“包含”关系—子集

注意：

有两种可能

（1）A是B的一部分，；

（2）A与B是同一集合。

反之:

集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作AB或BA

2．“相等”关系：

A=B（5≥5，且5≤5，则5=5）

实例：

设A={x|x2-1=0}B={-1,1}“元素相同则两集合相等”

①任何一个集合是它本身的子集。

AÍA

②真子集:

如果AÍB,且A¹B那就说集合A是集合B的真子集，记作AB或BA

③如果AÍB,BÍC,那么AÍC

④如果AÍB同时BÍA那么A=B

3.不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ

规定:

空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。

u有n个元素的集合，含有2n个子集，2n-1个真子集

三、集合的运算

运算类型

交集

并集

补集

定义

由所有属于A且属于B的元素所组成的集合,叫做A,B的交集．记作AB，即AB=｛x|xA，且xB｝．

由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做A,B的并集．记作：

AB，即AB={x|xA，或xB}）．

设S是一个集合，A是S的一个子集，由S中所有不属于A的元素组成的集合，叫做S中子集A的补集，记作，CSA=

韦

恩

图

示

S

A

性

质

AA=AAΦ=Φ

AB=BAABA

ABB

AA=AAΦ=A

AB=BAABＡ

ABB

（CuA）（CuB）=Cu（AB）

（CuA）（CuB）=Cu（AB）

A（CuA）=UA（CuA）=Φ．

第二部分函数知识点

一.函数.

1、映射

（1）映射：

设A、B是两个集合，如果按照某种映射法则f，对于集合A中的任一个元素，在集合B中都有唯一的元素和它对应，则这样的对应（包括集合A、B以及A到B的对应法则f）叫做集合A到集合B的映射，记作f：

A→B。

（象与原象P36）

注意:

对映射定义的理解。

判断一个对应是映射的方法。

一对多不是映射，多对一是映射

2、函数

构成函数概念的三要素①定义域②对应法则③值域（注意区间表示方法）

两个函数是同一个函数的条件：

三要素有两个相同

1、下列各对函数中，相同的是（）

A、B、

C、D、f（x）=x，

2、给出下列四个图形，其中能表示从集合M到集合N的函数关系的有（）

A、0个B、1个C、2个D、3个

x

x

x

x

1

2

1

1

1

2

2

2

1

1

1

1

2

2

2

2

y

y

y

y

3

O

O

O

O

3函数，若，则=

二、函数的解析式与定义域

1、求函数定义域的主要依据：

（1）分式的分母不等于零；

（2）偶次方根的被开方数不小于零；

（3）对数式的真数必须大于零；

（4）指数、对数式的底必须大于零且不等于1.

（5）如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合.

（6）指数为零底不可以等于零，

（7）实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.

u相同函数的判断方法：

①表达式相同（与表示自变量和函数值的字母无关）；②定义域一致（两点必须同时具备）

练习.函数的定义域.

2求函数定义域的两个难点问题

（1）

（2）

练习.设，则的定义域为__________

变式练习：

，求的定义域。

三、函数的值域

1求函数值域的方法

①直接法：

从自变量x的范围出发，推出y=f（x）的取值范围，适合于简单的复合函数；

②换元法：

利用换元法将函数转化为二次函数求值域，适合根式内外皆为一次式；

③判别式法：

运用方程思想，依据二次方程有根，求出y的取值范围；适合分母为二次且∈R的分式；

④分离常数：

适合分子分母皆为一次式（x有范围限制时要画图）；

⑤单调性法：

利用函数的单调性求值域；

⑥图象法：

二次函数必画草图求其值域；

⑦利用对号函数

⑧几何意义法：

由数形结合，转化距离等求值域。

主要是含绝对值函数

1．（直接法）

2．

3．（换元法）

4.（Δ法）

5.

6.（分离常数法）①②

7.（单调性）

8.①，②（结合分子/分母有理化的数学方法）

9．（图象法）

10．（对号函数）

11.（几何意义）

四．函数的奇偶性

1．定义:

　设y=f（x），x∈A，如果对于任意∈A，都有，则称y=f（x）为偶函数。

如果对于任意∈A，都有，则称y=f（x）为奇函数。

2．函数的奇偶性也可以通过下面方法证明：

奇函数

偶函数

3.性质：

①y=f（x）是偶函数y=f（x）的图象关于轴对称,　　y=f（x）是奇函数y=f（x）的图象关于原点对称,

②若函数f（x）的定义域关于原点对称，则f（0）=0

③奇±奇=奇偶±偶=偶奇×奇=偶偶×偶=偶奇×偶=奇[两函数的定义域D1，D2，D1∩D2要关于原点对称]

4．奇偶性的判断

①看定义域是否关于原点对称　　　　　②看f（x）与f（-x）的关系

1已知函数是定义在上的偶函数.当时，，则当时，

2已知定义域为的函数是奇函数。

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围；

3已知在（－1，1）上有定义，且满足

证明：

在（－1，1）上为奇函数；

4若奇函数满足，，则_______

五、函数的单调性

1．证明函数单调性的方法：

（Ⅰ）.定义法：

任取x1，x2∈D，且x1

作差f（x1）－f（x2）；

变形（通常是因式分解和配方）；

定号（即判断差f（x1）－f（x2）的正负）；

下结论（指出函数f（x）在给定的区间D上的单调性）．

（Ⅱ）用导数证明：

若在某个区间A内有导数，

则在A内为增函数；

在A内为减函数。

2．求单调区间的方法：

a.定义法：

b.导数法：

c.图象法：

d.复合函数在公共定义域上的单调性：

若f与g的单调性相同，则为增函数；

若f与g的单调性相反，则为减函数。

注意：

先求定义域，单调区间是定义域的子集。

3．一些有用的结论：

a.奇函数在其对称区间上的单调性相同；

b.偶函数在其对称区间上的单调性相反；

c.在公共定义域内

增函数增函数是增函数；

减函数减函数是减函数；

增函数减函数是增函数；

减函数增函数是减函数。

d.函数在上单调递增；在上是单调递减。

4设是定义在M上的函数，若f（x）与g（x）的单调性相反，则在M上是减函数；若f（x）与g（x）的单调性相同，则在M上是增函数。

（同增异减）

1判断函数的单调性。

2例函数对任意的，都有，并且当时，，

⑴求证：

在上是增函数；

⑵若，解不等式

3函数的单调增区间是________

4（高考真题）已知是上的减函数，那么的取值范围是（）

（A） （B） （C） （D）

5．函数的单调性通常也可以以下列形式表达：

单调递增

单调递减

六．函数的周期性：

1．（定义）若是周期函数，T是它的一个周期。

说明：

nT也是的周期

（推广）若，则是周期函数，是它的一个周期

对照记忆

说明：

说明：

2．若；；；则周期是2

1已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x+2）=－f（x）,则,f（6）的值为

（A）－1（B）0（C）1（D）2

2定义在R上的偶函数，满足，在区间［-2,0］上单调递减，设，则的大小顺序为_____________

3已知f（x）是定义在实数集上的函数，且则

f（2005）=.

4已知是（-）上的奇函数，，当01时，f（x）=x，则f（7.5）=________

5设是定义在R上的奇函数，且对任意实数x恒满足，当时

⑴求证：

是周期函数；

⑵当时，求的解析式；

⑶计算：

七、反函数

1.只有单调的函数才有反函数；反函数的定义域和值域分别为原函数的值域和定义域；

2.求反函数的步骤：

①求原函数，的值域B

②把看作方程，解出；

③x，y互换的的反函数为，。

3、关于反函数的性质

（1）y=f（x）和y=f-1（x）的图象关于直线y=x对称；

（2）y=f（x）和y=f-1（x）具有相同的单调性；

（3）已知y=f（x），求f-1（a），可利用f（x）=a，从中求出x，即是f-1（a）；

（4）f-1[f（x）]=x;

（5）若点（a,b）在y=f（x）的图象上，则（b,a）在y=f--1（x）的图象上；

（6）y=f（x）的图象与其反函数y=f--1（x）的图象的交点一定在直线y=x上;

1设函数的反函数为，且的图像过点，则的图像必过（）

（A）（B）（C）（D）

2：

，的反函数为。

3：

已知，求的反函数。

4：

设。

八．一次函数与正比例函数

1．正比例函数y=kx（k≠0）的图象是经过两点O（0，0），A（1，k）的一条直线；

一次函数y=kx+b（k≠0）的图象是经过两点A（0，b），的一条直线，但在取值时要根据具体情况灵活选取．因为两点确定一条直线，所以画一次函数的图象时，只要描出两点即可画出一条直线．一次函数y=kx+b的图象是恒过（0，b）点且平行于直线y=kx的一条直线，其中k叫直线y=kx+b的斜率，b是直线y=kx+b在y轴上的截距（注意：

截距b不是距离，它可以是正数，也可以是负数或零）．

2．一次函数y=kx+b（k≠0）与正比例函数y=kx（k≠0）的性质.

y=kx（k≠0）

y=kx+b（k≠0，且b≠0）

经过原点（0，0）

与两坐标轴的交点（0，b）为和（－b/k，