广东省东莞市2013-2014学年高一上学期期末数学测试题有答案.doc
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广东省东莞市2013－2014学年度第一学期高一数学测试题
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.每小题各有四个选择支，仅有一个选择支正确.）
1．已知全集，，则（）
A．B．C．D．
2．下列命题中，正确的是（）
A．经过不同的三点有仅有一个平面B．分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线
C．垂直于同一条直线的两条直线平行D．垂直于同一个平面的两条直线平行
3．已知的顶点坐标分别为，，，若，则实数的值为（）
A．或B．C．D．
4．一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的表面积与侧面积的比是（）
A．B．C．D．
5．三个数，，，则的大小关系是（）
A．B．C．D．
6．函数的零点所在的大致区间是（）
A．B．C．D．
7．已知直线，互相平行，则的值是（）
A．B．C．或D．
8．利用斜二测画法画平面内一个三角形的直观图得到的图形还是一个三角形，那么直观图三角形的面积与原来三角形面积的比是（）
A．B．C．D
9．已知点，，过点的直线与线段相交，则直线的倾斜角范围是（）
A．B．C．D．
10．已知函数．若，则实数的取值范围是（）
A．B．C．D．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
第13题图
11．幂函数的图象过点，则.
12．已知函数是定义在上的奇函数，当时，
，则.
13．一个几何体的三视图如图所示，俯视图是边长为的
正方形，正视图与侧视图是全等的等腰直角三角形，则此
几何体的侧棱长等于.
14．规定符号“”表示两个正实数、之间的运算，
即，已知，则函数
的值域是.
三、解答题（本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15．（本小题满分12分）
已知集合，，，全集为实数集．
（1）求；
（2）如果，且，求实数的取值范围．
16．（本小题满分13分）
设直线与直线交于点．
（1）当直线过点，且与直线时，求直线的方程；
（2）当直线过点，且坐标原点到直线的距离为时，求直线的方程．
17．（本小题满分13分）
某四星级酒店有客房300间，每天每间房费为200元，天天客满．该酒店欲提高档次升五星级，并提高房费．如果每天每间客的房费每增加20元，那么入住的客房间数就减少10间，若不考虑其他因素，酒店将房费提高到多少元时，每天客房的总收入最高？
18．（本小题满分14分）
如图所示，四棱锥的底面是直角梯形，底面，，，，为的中点，．
E
D
C
AB
P
第18题图
（1）证明：
平面；
（2）证明：
平面；
（3）求三棱锥的体积．
19．（本小题满分14分）
已知函数
（1）判断并证明函数的单调性；
（2）若函数为奇函数，求实数的值；
（3）在
（2）的条件下，若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围．
20．（本小题满分14分）
已知函数，（为正实数），且函数与的图象在轴上的截距相等．
（1）求的值；
（2）对于函数及其定义域，若存在，使成立，则称为的不动点．若在其定义域内存在不动点，求实数的取值范围；
（3）若为正整数，证明：
（参考数据：
，，，）
2011—2012学年度第一学期期末教学质量检查
高一数学（A卷）参考答案及评分标准
一、选择题
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
D
A
B
D
C
B
A
A
C
二、填空题
11．12．13．14．
三、解答题
15.（本小题满分12分）
解：
（1）由，得，………………………2分
，即.………………………4分
∴.…………………………6分
（2），
∴.……………………………8分
又∵，
∴，…………………………10分
∴，
即实数的取值范围是.……………………………12分
16．（本小题满分13分）
解：
由，解得点.………………………2分
（1）因为⊥，所以直线的斜率，……………………………4分
又直线过点，故直线的方程为：
，即.…………………………6分
（2）因为直线过点，当直线的斜率存在时，可设直线的方程为，即.…………………7分
所以坐标原点到直线的距离，解得，…………9分
因此直线的方程为：
，即.…………10分
当直线的斜率不存在时，直线的方程为，验证可知符合题意．……12分
综上所述，所求直线的方程为或.………………13分
17．（本小题满分13分）
解：
设酒店将房费提高到元，每天的客房的总收入为元.…………1分
则每天入住的客房间数为间,……………3分
由及，…………………4分
得：
.……………………5分
依题意知：
……………………8分
=
=.……………………10分
因为，所以当时,有最大值为80000元.………………12分
答:
酒店将房费提高到元时，每天客房的总收入最高.……………………13分
Q
E
D
C
AB
P
第18题图
18．（本小题满分14分）
（1）证明：
取中点,连结、.……………1分
为的中点，
且.………………2分
又且，
且.…………………3分
四边形是平行四边形，
.…………………………4分
又平面，平面，
平面.…………………………5分
（2）证明：
底面，
.…………………………6分
又，且,
平面，
.…………………………7分
，为的中点，
，…………………………8分
平面.…………………………9分
，
平面.…………………………10分
（3）解法一
∵为的中点，
∴＝＝.…………………………11分
底面，
∴点E到面BCD的距离.…………………………12分
.…………………………13分
，
为的中点，
∴.…………………………14分
解法二
由前面证明可知：
是三棱锥的高，.
在中，
，.………………11分
，…………………………12分
…………………………13分
.…………………………14分
19．（本小题满分14分）
（1）函数为R上的增函数．证明如下：
……………………………1分
证明：
函数的定义域为R，对任意，，设，则
…………………………2分
.…………………3分
因为是R上的增函数，且，所以＜０，……………………4分
所以＜０即，函数为R上的增函数.……………5分
（2）解：
∵函数为奇函数，
∴，…………………………6分
∴.…………………………7分
当时，＝.
＝＝－＝－，…………8分
此时，为奇函数，满足题意．
所以，．…………………………9分
（3）解：
因为是奇函数，从而不等式对任意的恒成立等价于不等式对任意的恒成立．…………………………10分
又因为在上为增函数，
所以等价于不等式对任意的恒成立，
即不等式对任意的恒成立．…………………………11分
所以必须有，…………………………12分
即，…………………………13分
所以实数的取值范围．…………………………14分
20．（本小题满分14分）
解：
⑴∵函数与的图象在轴上的截距相等，
∴，即．……………………………1分
又，
∴．……………………………2分
⑵由
（1）知，．
当时，若存在不动点，则有，即．………………………3分
∵，∴，此时．………………………4分
当时，若存在不动点，
则有，即……………………5分
∵，∴，此时．………………………6分
故要使得在其定义域内存在不动点，则实数的取值范围应为．…………………………………………………………7分
⑶设．
因为为正整数，
∴．………………………8分
∴．………………………9分
当时，，即，亦即，∴．………………………11分
由于为正整数，因此当时，单调递增；当时，单调递减．
∴的最大值是．………………………12分
又，，
………………………13分
∴．………………………14分
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