届高考数学一轮复习第一章集合与常用逻辑用语第3讲简单的逻辑联结词全称量词与存在量词精选教案理.docx
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届高考数学一轮复习第一章集合与常用逻辑用语第3讲简单的逻辑联结词全称量词与存在量词精选教案理
第3讲 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
考纲要求
考情分析
命题趋势
1.了解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义.
2.理解全称量词与存在量词的意义.
3.能正确地对含有一个量词的命题进行否定.
2017·北京卷,13
2017·山东卷,3
2016·浙江卷,4
2015·全国卷Ⅰ,3
1.含有逻辑联结词的命题的真假判断,常结合函数、不等式、三角形问题等其他知识考查.
2.全称命题的否定,特称命题的否定.
3.常以不等式、函数为载体判断命题真假,或已知命题真假求参数的取值范围.
分值:
5分
1.命题p∧q,p∨q,¬p的真值表
p
q
p∧q
p∨q
¬p
真
真
__真__
__真__
__假__
真
假
__假__
__真__
__假__
假
真
__假__
__真__
__真__
假
假
__假__
__假__
__真__
2.全称量词和存在量词
量词名称
常见量词
符号表示
全称量词
所有、一切、任意、全部、每一个等
__∀__
存在量词
存在一个、至少一个、有些、某些等
__∃__
3.全称命题和特称命题
名称
形式
全称命题
特称命题
结构
对M中的任意一个x,有p(x)成立
存在M中的一个x0,使p(x0)成立
简记
__∀x∈M,p(x)__
__∃x0∈M,p(x0)__
否定
__∃x0∈M__,¬p(x0)
__∀x∈M__,¬p(x)
4.含逻辑联结词命题的真假判断
(1)p∧q中一假则假,全真才真.
(2)p∨q中一真则真,全假才假.
(3)p与¬p真假性相反.
5.必会结论
(1)“p∨q”的否定是“(¬p)∧(¬q)”;“p∧q”的否定是“(¬p)∨(¬q)”.
(2)“且”“或”“非”三个逻辑联结词对应着集合中的“交”“并”“补”,所以含有逻辑联结词的问题常常转化为集合问题处理.
1.思维辨析(在括号内打“√”或“×”).
(1)命题“5>6或5>2”是假命题.( × )
(2)p∧q为真的充分必要条件是p为真或q为真.( × )
(3)“长方形的对角线相等”是特称命题.( × )
(4)命题“菱形的对角线相等”的否定是“菱形的对角线不相等”.( × )
解析
(1)错误.命题p∨q中有一真,则p∨q为真.
(2)错误.p∧q为真,则p,q同时为真.
(3)错误.命题“长方形的对角线相等”可叙述为“任意长方形的对角线相等”,是全称命题.
(4)错误.“菱形的对角线相等”是全称命题,其否定为“有的菱形的对角线不相等”.
2.下列命题中的假命题是( C )
A.∃x∈R,lgx=0 B.∃x∈R,tanx=1
C.∀x∈R,x3>0 D.∀x∈R,2x>0
解析 当x=1时,lgx=0;当x=时,tanx=1,所以A项,B项均为真命题,显然D项为真命题.当x=0时,x3=0,所以C项为假命题,故选C.
3.已知命题p:
若实数x,y满足x2+y2=0,则x,y全为0;命题q:
若a>b,则<.给出下列四个命题:
①p且q;②p或q;③¬p;④¬q.
其中真命题的个数是( B )
A.1 B.2
C.3 D.4
解析 ∵命题p为真命题,q为假命题,∴p或q,¬q为真命题,故选B.
4.已知命题p:
∃n∈N,2n>1000,则¬p为( A )
A.∀n∈N,2n≤1000 B.∀n∈N,2n>1000
C.∃n∈N,2n≤1000 D.∃n∈N,2n<1000
解析 由于特称命题的否定是全称命题,因而¬p:
∀n∈N,2n≤1000,故选A.
5.在一次跳伞训练中,甲、乙两位学员各跳一次,设命题p是“甲降落在指定范围”,q是“乙降落在指定范围”,则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为( A )
A.(¬p)∨(¬q) B.p∨(¬q)
C.(¬p)∧(¬q) D.p∨q
解析 因为p是“甲降落在指定范围”,q是“乙降落在指定范围”,则¬p是“甲没有降落在指定范围”,¬q是“乙没有降落在指定范围”,所以命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为(¬p)∨(¬q),故选A.
一 含逻辑联结词命题的真假判断
(1)判断含有逻辑联结词命题真假的步骤:
①先判断简单命题p,q的真假.
②再根据真值表判断含有逻辑联结词命题的真假.
(2)含逻辑联结词命题真假的等价关系:
①p∨q真⇔p,q至少有一个真⇔(¬p)∧(¬q)假.
②p∨q假⇔p,q均假⇔(¬p)∧(¬q)真.
③p∧q真⇔p,q均真⇔(¬p)∨(¬q)假.
④p∧q假⇔p,q至少有一个假⇔(¬p)∨(¬q)真.
⑤¬p真⇔p假;¬p假⇔p真.
【例1】
(1)已知命题p:
若x>y,则-x<-y;命题q:
若x>y,则x2>y2.在命题①p∧q;②p∨q;③p∧(¬q);④(¬p)∨q中,真命题是( C )
A.①③ B.①④
C.②③ D.②④
(2)“p或q”为真命题是“p且q”为真命题的__必要不充分__条件.
解析
(1)当x>y时,-x<-y,故命题p为真命题,从而¬p为假命题.当x>y时,x2>y2不一定成立,故命题q为假命题,从而¬q为真命题.由真值表知,①p∧q为假命题;②p∨q为真命题;③p∧(¬q)为真命题;④(¬p)∨q为假命题.
(2)p或q为真命题p且q为真命题;p且q为真命题⇒p或q为真命题.
二 全称命题与特称命题
(1)全称命题与特称命题真假的判断方法:
命题名称
真假
判断方法一
判断方法二
全称命题
真
所有对象使命题真
否定为假
假
存在一个对象使命题假
否定为真
特称命题
真
存在一个对象使命题真
否定为假
假
所有对象使命题假
否定为真
(2)全称命题与特称命题的否定:
①否定量词:
确定命题所含量词的类型,省去量词的要结合命题的含义加上量词,再对量词进行否定.
②否定结论:
对原命题的结论进行否定.
【例2】
(1)(2017·山东卷)已知命题p:
∀x>0,ln(x+1)>0;命题q:
若a>b,则a2>b2.下列命题为真命题的是( B )
A.p∧q B.p∧¬q
C.¬p∧q D.¬p∧¬q
(2)命题“全等三角形的面积一定都相等”的否定是( D )
A.全等三角形的面积不一定都相等
B.不全等三角形的面积不一定都相等
C.存在两个不全等三角形的面积相等
D.存在两个全等三角形的面积不相等
解析
(1)当x>0时,x+1>1,因此ln(x+1)>0,即p为真命题;取a=1,b=-2,这时满足a>b,显然a2>b2不成立,因此q为假命题.易知B项为真命题.
(2)命题是省略量词的全称命题,故选D.
【例3】
(1)下列命题中的假命题是( B )
A.∀x∈R,2x-1>0 B.∀x∈N*,(x-1)2>0
C.∃x0∈R,lnx0<1 D.∃x0∈R,tanx0=2
(2)已知命题p:
∀x>0,x+≥4;命题q:
∃x0∈(0,+∞),2x0=,则下列判断正确的是( C )
A.p是假命题 B.q是真命题
C.p∧(¬q)是真命题 D.(¬p)∧q是真命题
解析
(1)因为2x-1>0,对∀x∈R恒成立,所以A项是真命题;当x=1时,(x-1)2=0,所以B项是假命题;存在0(2)当x>0时,x+≥2=4,p是真命题;当x>0时,2x>1,q是假命题,所以p∧(¬q)是真命题,(¬p)∧q是假命题.
三 根据命题的真假求参数的取值范围
根据命题的真假求参数取值范围的求解策略
(1)含有逻辑联结词的命题要先确定构成命题的(一个或两个)简单命题的真假,求出此时命题成立的参数的取值范围,再求出含逻辑联结词的命题成立的参数的取值范围.
(2)全称命题可转化为恒成立问题.
【例4】已知命题p:
函数y=x2-2x+a在区间(1,2)上有1个零点,命题q:
函数y=x2+(2a-3)x+1的图象与x轴交于不同的两点,如果p∧q是假命题,p∨q是真命题,求a的取值范围.
解析 若命题p为真,则函数y=x2-2x+a在区间(1,2)上有1个零点.因为二次函数图象开口向上,对称轴为x=1,
所以所以0若命题q为真,则函数y=x2+(2a-3)x+1的图象与x轴交于不同的两点,则Δ=(2a-3)2-4>0,得4a2-12a+5>0,
解得a<或a>.
因为p∧q是假命题,p∨q是真命题,所以p,q一真一假.
①若p真q假,则所以≤a<1;
②若p假q真,则所以a≤0或a>.
故实数a的取值范围是(-∞,0]∪∪.
1.(2018·四川资阳模拟)下列命题,为真命题的是( D )
A.∃x∈R,x2≤x-2
B.∀x∈R,2x>2-x2
C.函数f(x)=是定义域上的减函数
D.“被2整除的整数都是偶数”的否定是“至少存在一个被2整除的整数不是偶数”
解析 x2-x+2=2+>0,即x2>x-2,故A项错误;当x=0时,20<2-02,故B项错误;函数f(x)=在其定义域上不是单调函数,故C项错误,只有D项正确.
2.(2018·河南许昌二模)命题“∀x≥0且x∈R,2x>x2”的否定是( C )
A.∃x0≥0且x0∈R,2x0>x
B.∀x≥0且x∈R,2x≤x2
C.∃x0≥0且x0∈R,2x0≤x
D.∃x0<0且x0∈R,2x0≤x
解析 因为命题是全称命题,根据全称命题的否定是特称命题,所以命题的否定为:
∃x0≥0且x0∈R,2x0≤x,故选C.
3.若命题“∃x0∈R,x-2x0+m≤0”是假命题,则实数m的取值范围是__(1,+∞)__.
解析 由题意,命题“∀x∈R,x2-2x+m>0”是真命题,故Δ=(-2)2-4m<0,即m>1.
4.(2018·河北邯郸一模)已知三个命题p,q,m中只有一个是真命题,课堂上老师给出了三个判断:
A:
p是真命题;B:
p∨q是假命题;C:
m是真命题.老师告诉学生三个判断中只有一个是错误的,那么三个命题q,p,m中的真命题是__m__.
解析 ①若A是错误的,则p是假命题,q是假命题,m是真命题,满足条件;②若B是错误的,则p是真命题,m是真命题,不满足条件;③若C是错误的,则p是真命题,p∨q不可能是假命题,不满足条件.故真命题是m.
易错点1 混淆否命题与命题的否定
错因分析:
否命题既要否定条件,又要否定结论,而命题的否定只否定结论.
【例1】写出命题“若a2+b2=0,则实数a,b全为零”的否定及否命题.
解析 命题的否定:
若a2+b2=0,则实数a,b不全为零.
命题的否命题:
若a2+b2≠0,则实数a,b不全为零.
【跟踪训练1】命题p的否定是“对所有正数x,>x+1”,则命题p可写为!
!
!
∃x0∈(0,+∞),≤x0+1 ###.
解析 因为p是¬p的否定,所以只需将全称命题变为特称命题,再对结论否定即可.
易错点2 不会判断全称命题、特称命题的真假
错因分析:
判断全称命题为真时需给出严格的证明,为假时只需举出一个反例;判断特称命题为真时,只需找出满足的一个对象,为假时可用反证法.
【例2】下列命题中,真命题是( )
A.∃m∈R,使函数f(x)=x2+mx(x∈R)是偶函数