常见不等式通用解法.doc

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常见不等式通用解法总结

一、基础的一元二次不等式，可化为类似一元二次不等式的不等式

①基础一元二次不等式

如，，对于这样能够直接配方或者因式分解的基础一元二次不等式，重点关注解区间的“形状”。

当二次项系数大于0，不等号为小于（或小于等于号）时，解区间为两根的中间。

的解为

当二次项系数大于0，不等号为大于（或大于等于号）时，解区间为两根的两边。

的解为

当二次项系数小于0时，化成二次项系数大于0的情况考虑。

②可化为类似一元二次不等式的不等式（换元）

如，令，原不等式就变为，再算出t的范围，进而算出x的范围

又如，令，再对a进行分类讨论来确定不等式的解集

③含参数的一元二次不等式

解法步骤总结：

序号

步骤

1

首先判定二次项系数是否为0，为0则化为一元一次不等式，再分类讨论

2

二次项系数非0，将其化为正的，讨论判别式的正负性，从而确定不等式的解集

3

若可以直接看出两根，或二次式可以因式分解，则无需讨论判别式，直接根据不同的参数值比较两根大小

4

综上，写出解集

如不等式，首先发现二次项系数大于0，而且此不等式无法直接看出两根，所以，讨论的正负性即可。

此不等式的解集为

又如不等式，发现其可以通过因式分解化为，所以只需要判定和的大小即可。

此不等式的解集为

又如不等式，注意：

有些同学发现其可以因式分解，就直接写成，然后开始判断两根和的大小关系，这样做是有问题的。

事实上，这个题目中并没有说此不等式一定是一元二次不等式，所以参数是有可能为0的。

讨论完的情况再讨论和的情况。

所以此不等式的解集应该是：

注意，和时解区间的状况不同，一种为中间，一种为两边。

二、数轴标根法（又名穿针引线法）解不等式

这种问题的一般形式是（或）

步骤：

①将不等式化为标准式，一段为0，另一端为一次因式的乘积（注意！

系数为正）或二次不可约因式（二次项系数为正）。

②画出数轴如下，并从最右端上方起，用曲线自右向左一次由各根穿过数轴。

③记数轴上方为正，下方为负，根据不等式的符号写出解集。

例如，求不等式的解集，画出图如下，发现解集为

为什么数轴标根法是正确的呢？

对于不等式来说，要满足四项相乘为正，说明①四项均正，解集为②两正两负，只能是正，负，此时解集为③四项均负，解集为。

综上，解集为这三种情况的并集。

当不等式左侧有奇数项的时候同理。

由此可知，遇到奇数个一次项系数为负的情况，如果不把系数化为正的，结果一定是错误的。

注意，这种方法要灵活使用，若不等式为，使用数轴标根法得到的解集显然和上述不一样，因为是偶次项，必然非负，所以在“穿针引线”时，可以忽略，或者可以记住口诀“奇穿偶不穿”。

的示意图见下。

三、解分式不等式

分式不等式的解题思路，前面讲了一些不等式的求解，都是讲不等式的一边化为0，另一边为含x的多项式。

把一个分式不等式经过移项和通分处理，最终总能化为（或的形式），此时解就可以解出原不等式的解集。

特别地，若要解，则解即可。

例如，移项化简得，使用穿针引线法得到解集为，一定要注意分母不为零，而分子可以为零。

例：

一道比较复杂的题，求的解集，现写出此题的完整解题过程。

解：

原不等式通过移项通分可化为，由于，所以可以进一步化为，两根为和。

当时，解集为两根的两边，显然有，所以此时解集为

当时，解集为两根中间，此时必须根据的取值判断两根范围。

①当时，，此时解集为

②当时，，此时解集为

③当时，，此时解集为

至此，的所有值都讨论完毕，所以这道题讨论到这样就结束了

当然，如果这道题不给的限制条件，只需要再讨论一下时的解集情况即可。

补充内容：

一类经典但易错的分式不等式问题

①求的解集

②求的解集

③求的解集

④求的解集

⑤求的解集

解答：

①②③④⑤，注意①②的区别

四、绝对值不等式

对于含有绝对值的不等式，解题思想为

①直接脱去绝对值符号

，

②构造函数，数形结合

③在不等式的一端有多个绝对值时，使用零点分段法分类讨论（分类讨论思想随处可见）

④平方法（不等式两边都是非负时才能用，慎用）

例：

图形法某经典问题，解不等式，先画出的图像如下，然后分类讨论的取值，通过观察和的图像，来确定不等式的解集情况。

①当时，的图像在的图像上方，除了点，此时显然不等式无解

②当时，的图像与的图像交点为，此时的解集为

③当时，的图像与的图像交点横坐标为，此时解集为

④当时，的图像与的图像交点横坐标为，此时解集为

当然此题使用也可以做，化成，只是在讨论的时候需要细心，考虑到的所有取值。

绝对值不等式的零点分段法，以及特别的做题技巧

例如，发现不等号左边有两个绝对值，所以应该根据两个不同的零点分段讨论

①当时，原不等式化为，解得

②当时，原不等式化为，显然无解

③当时，原不等式化为，解得

综上，原不等式的解集为三种情况下的并集（注意，为什么是并集而不是交集？

），

技巧：

可以将绝对值看成距离，也就是将看成数轴上点到点1的距离，将看成到-2的距离，若画出数轴，发现位于区间的点（绿色点）到区间端点的距离之和为3，位于区间之外的点到区间端点的距离之和大于3，特别地，在2处和-3处距离之和为5，所以令继续远离区间，发现距离之和大于5。

也就是说的取值范围是

同理，遇到减号的情况，例如，发现其取值范围是

此技巧常用于填空题，既可以求不等式解集，又可以求参数的范围。

例1：

若存在实数使得不等式成立，则的取值范围是？

（答案）

例2：

不等式的解集是？

（答案）

五、无理不等式

无理不等式能出的考题较少，主要是要注意偶次根号下式子要非负。

（终于可以用平方法了，但是也要讨论不等式两端的正负性才能使用）。

对于奇次根号，由于不需考虑根号下式子的正负性，直接打开根号即可。

或（注意这里为什么没有写？

）