基本不等式练习题.doc

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3.4基本不等式

重难点：

了解基本不等式的证明过程；会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题．

考纲要求：

①了解基本不等式的证明过程．

②会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题．

经典例题：

若a，b，c都是小于1的正数，求证：

，，不可能同时大于．

当堂练习：

1.若，下列不等式恒成立的是　　　　　　　　　　（　　）

A．　　　B．　　C．　D．

2.若且，则下列四个数中最大的是　　　　　（）

Ａ．　　　　　Ｂ．　　　　　Ｃ．2ab　　　　　　Ｄ．a

3.设x>0,则的最大值为（　　）

Ａ．3　　　　　　Ｂ．　　　　Ｃ．　　　　Ｄ．－1

4.设的最小值是（）

A.10B.C.D.

5.若x,y是正数，且，则xy有　　　　　　　　　（　　）

Ａ．最大值16　Ｂ．最小值Ｃ．最小值16　　Ｄ．最大值

6.若a,b,c∈R，且ab+bc+ca=1,则下列不等式成立的是（）

A．B．

C．D．

7.若x>0,y>0,且x+y4,则下列不等式中恒成立的是（）

A．B．C．D．

8.a,b是正数，则三个数的大小顺序是　（　　）

Ａ．　　Ｂ．　　

Ｃ．　　Ｄ．

9.某产品的产量第一年的增长率为p，第二年的增长率为q，设这两年平均增长率为x，则有（　　）　

Ａ．　　　Ｂ．　　Ｃ．　　Ｄ．

10.下列函数中，最小值为4的是　　　　（　　）

Ａ．Ｂ．

Ｃ．　　　　Ｄ．

11.函数的最大值为.

12.建造一个容积为18m3,深为2m的长方形无盖水池，如果池底和池壁每m2的造价为200元和150元，那么池的最低造价为元.

13.若直角三角形斜边长是1，则其内切圆半径的最大值是.

14.证明：

若x,y为非零实数，代数式的值恒为正.

15.已知：

求mx+ny的最大值.

16.已知．若、,

试比较与的大小，并加以证明.

17.已知正数a,b满足a+b=1

（1）求ab的取值范围;

（2）求的最小值.

18.设.证明不等式对所有的正整数n都成立.

参考答案：

经典例题：

【解析】证法一假设，，同时大于，

∵1－a>0，b>0，∴≥，

同理，.三个不等式相加得，不可能，

∴（1－a）b，（1－b）c，（1－c）a不可能同时大于.

证法二假设，，同时成立，

∵1－a>0，1－b>0，1－c>0，a>0，b>0，c>0，∴，

即.（*）又∵≤，

同理≤，≤，

∴≤与（*）式矛盾，

故不可能同时大于.

当堂练习：

1.A;2.B;3.C;4.D;5.C;6.A;7.B;8.C;9.C;10.C;11.;12.3600;

13.;14.对;

15．

16.【解析】．

∵、，∴．

当且仅当＝时，取“＝”号．

当时，有．

∴．．

即．

当时，有．

即

17.

（1）

（2）

18．【解析】证明由于不等式

对所有的正整数k成立,把它对k从1到n（n≥1）求和,得到

又因以及

因此不等式对所有的正整数n都成立.