圆与方程高考历年真题精选.doc

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圆与方程高考真题精选

2009年考题

1.（2009辽宁）已知圆C与直线x－y=0及x－y－4=0都相切，圆心在直线x+y=0上，

则圆C的方程为（）

（A）（B）

（C）（D）

【解析】选B.圆心在x＋y＝0上,排除C、D,再结合图象,或者验证A、B中圆心到两直线的距离等于半径即可.

2.（2009浙江）已知三角形的三边长分别为，则它的边与半径为的圆的公共点个数最多为（）

A．B．C．D．

【解析】选B.由于3，4，5构成直角三角形S，故其内切圆半径为r=,当该圆运动时，最多与直角三角形S的两边也有4个交点。

3.（2009上海）.过圆的圆心，作直线分别交x、y正半轴于

点A、B，被圆分成四部分（如图），若这四部分图形面积满足

则直线AB有（）

（A）0条（B）1条（C）2条（D）3条

【解析】选B.由已知，得：

，第II，IV部分的面积是定值，所以，为定值，即为定值，当直线AB绕着圆心C移动时，只可能有一个位置符合题意，即直线AB只有一条，故选B。

4.（2009湖南）已知圆：

+=1，圆与圆关于直线对称，则圆的方程为（）

（A）+=1（B）+=1

（C）+=1（D）+=1

【解析】选B.设圆的圆心为（a，b），则依题意，有，

解得：

，对称圆的半径不变，为1，故选B.

5.（2009陕西高考）过原点且倾斜角为的直线被圆学所截得的弦长为科网

（A）（B）2（C）（D）2w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

【解析】选D.过原点且倾斜角为60°的直线方程为

6.（2009重庆高考）直线与圆的位置关系为（）

A．相切 B．相交但直线不过圆心C．直线过圆心 D．相离

【解析】选B.圆心为、到直线，即的距离，而，选B。

7.（2009重庆高考）圆心在轴上，半径为1，且过点（1，2）的圆的方程为（）

A． B．

C． D．

【解析】选A.方法1（直接法）：

设圆心坐标为，则由题意知，解得，

故圆的方程为。

方法2（数形结合法）：

由作图根据点到圆心的距离为1易知圆心为（0，2），故圆的方程为

方法3（验证法）：

将点（1，2）代入四个选择支排除B，D，又由于圆心在轴上，排除C。

8.（2009上海高考）过点与圆相交的所有直线中，被圆截得的弦最长时的直线方程是（）

（A）.（B）.（C）.（D）.

【解析】选C.点在圆内，圆心为C（1，0），截得的弦最长时的直线为CP，方程是，即。

9.（2009广东高考）以点（2，）为圆心且与直线相切的圆的方程是.

【解析】将直线化为,圆的半径,

所以圆的方程w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

答案:

10.（2009天津高考）若圆与圆（a>0）的公共弦的长为，

则___________w.w.w.k.s.5.u.c.o.m。

【解析】由知的半径为，由图可知

解之得

答案:

1.

11.（2009全国Ⅱ）已知为圆:

的两条相互垂直的弦，垂足为,

则四边形的面积的最大值为。

【解析】设圆心到的距离分别为,则.

四边形的面积

答案:

5.

12.（2009全国Ⅱ）已知圆O：

和点A（1，2），则过A且与圆O相切的直线与两坐标轴围成的三角形的面积等于

【解析】由题意可直接求出切线方程为y-2=（x-1），即x+2y-5=0,从而求出在两坐标轴上的截距分别是5和，所以所求面积为。

答案:

13.（2009湖北高考）过原点O作圆x2+y2－6x－8y＋20=0的两条切线，设切点分别为P、Q，

则线段PQ的长为。

【解析】可得圆方程是又由圆的切线性质及在三角形中运用正弦定理得

答案:

4

14.（2009四川高考）若⊙与⊙相交于A、B两点，

且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长度是.w

【解析】由题知，且，又，所以

，∴。

答案:

4.

15.（2009福建高考）已知直线l:

3x+4y-12=0与圆C:

（为参数）试判断他们的公共点个数.

【解析】圆的方程可化为.

其圆心为,半径为2.

圆心到直线的距离

故直线与圆的公共点个数为2.

答案：

2

16.（2009海南、宁夏高考）已知曲线C：

（t为参数），C：

（为参数）。

（1）化C，C的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；

（2）若C上的点P对应的参数为，Q为C上的动点，求的中点到直线

（t为参数）距离的最小值。

w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

【解析】（Ⅰ）

为圆心是（，半径是1的圆.

为中心是坐标原点，焦点在x轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆.

（Ⅱ）当时，

为直线

从而当时，

17.（2009江苏高考）在平面直角坐标系中，已知圆和圆.

（1）若直线过点，且被圆截得的弦长为，求直线的方程；

（2）设P为平面上的点，满足：

存在过点P的无穷多对互相垂直的直线和，它们分别与圆和圆相交，且直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P的坐标。

【解析】本小题主要考查直线与圆的方程、点到直线的距离公式，考查数学运算求解能力、综合分析问题的能力。

满分16分。

（1）设直线的方程为：

，即

由垂径定理，得：

圆心到直线的距离，

结合点到直线距离公式，得：

w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

化简得：

求直线的方程为：

或，

即或

（2）设点P坐标为，直线、的方程分别为：

，即：

因为直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等，两圆半径相等。

由垂径定理，得圆心到直线与直线的距离相等。

w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

故有：

，

化简得：

关于的方程有无穷多解，有：

w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

解之得：

点P坐标为或。

2008年考题

1、（2008山东高考）若圆的半径为1，圆心在第一象限，且与直线和轴相切，则该圆的标准方程是 （）

A． B．

C． D．

【解析】选B.设圆心为由已知得

2、（2008广东高考）经过圆的圆心C，且与直线垂直的直线方程是（）

A．x＋y＋1＝0 B．x＋y－1＝0 C．x－y＋1＝0 D．x－y－1＝0

【解析】选C.易知点C为，而直线与垂直，我们设待求的直线的方程为，

将点C的坐标代入马上就能求出参数的值为，故待求的直线的方程为（或由图象

快速排除得正确答案）。

3、（2008山东高考）已知圆的方程为x2＋y2－6x－8y＝0.设该圆过点（3，5）的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为 （）

A．10 B．20 C．30 D．40

【解析】选B。

将方程化成标准方程，过点的最长弦（直径）为

最短弦为

4、（2008全国Ⅰ）若直线＝1与圆有公共点，则（）

A．B．C．D．

【解析】选D.本题主要考查了直线与圆的位置关系的判断，由相切或相交得：

，

，．

5、（2008安徽高考）若过点的直线与曲线有公共点，则直线的斜率的取

值范围为（）

A． B． C． D．

【解析】选C.方法一：

数形结合法（如图）

另外，数形结合画出图象也可以判断C正确。

方法二：

利用距离与半径的关系

点在圆外，因此斜率必存在。

设直线方程为，

即，直线与曲线有公共点，

圆心到直线的距离小于等于半径，

得.

6、（2008上海高考）如图，在平面直角坐标系中，是一个与x轴的正半轴、y轴的正半轴分别相切于点C、D的定圆所围成区域（含边界），A、B、C、D是该圆的四等分点，若点、满足且，则称P优于，如果中的点Q满足：

不存在中的其它点优于Q，那么所有这样的点Q组成的集合是劣弧（）

A．B．C．D．

【解析】选D.由题意知，若P优于，则P在的左上方，

当Q在上时，左上的点不在圆上，

不存在其它优于Q的点，Q组成的集合是劣弧。

7、（2008天津高考）已知圆的圆心与点关于直线对称．直线与圆相交于两点，且，则圆的方程为．

【解析】本小题主要考查直线方程中的对称问题，圆中有关弦长的计算两方面的知识．

由已知可求圆心的坐标为，所以，圆的方程为．

答案:

8、（2008宁夏海南高考）已知直线和圆.

（Ⅰ）求直线斜率的取值范围；

（Ⅱ）直线能否将圆分割成弧长的比值为的两段圆弧？

为什么？

【解析】（Ⅰ），

∴当k≠0时，解得且k≠0

又当k＝0时，m＝0，方程有解，所以，综上所述

（Ⅱ）假设直线能将圆分割成弧长的比值为的两段圆弧．设直线与圆交于A，B两点

则∠ACB＝120°．∵圆，∴圆心C（4，-2）到l的距离为1．

故有，整理得．

∵，∴无实数解．

因此直线不可能将圆分割成弧长的比值为的两段圆弧．

9、（2008江苏高考）在平面直角坐标系中，二次函数（）与两坐标轴有三个交点．记过三个交点的圆为圆．

（Ⅰ）求实数b的取值范围；

（Ⅱ）求圆的方程；

（Ⅲ）圆是否经过定点（与的取值无关）？

证明你的结论．

【解析】（Ⅰ）令x=0，得抛物线于y轴的交点是（0，b）

令f（x）=0，得x2+2x+b=0，由题意b≠0且△>0，解得b<1且b≠0

（Ⅱ）设所求圆的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0

令y=0，得x2+Dx+F=0，这与x2+2x+b=0是同一个方程，故D=2，F=b

令x=0，得y2+Ey+b=0，此方程有一个根为b，代入得E=-b-1

所以圆C的方程为x2+y2+2x-（b+1）y+b=0

（Ⅲ）圆C必过定点（0，1），（-2，1）

证明如下：

将（0，1）代入圆C的方程，得左边=02+12+2×0-（b+1）×1+b=0，右边=0

所以圆C必过定点（0，1）；

同理可证圆C必过定点（-2，1）．

10、（2008北京高考）已知菱形的顶点在椭圆上，对角线所在直线的斜率为1．

（Ⅰ）当直线过点时，求直线的方程；

（Ⅱ）当时，求菱形面积的最大值．

【解析】（Ⅰ）由题意得直线的方程为．

因为四边形为菱形，所以．

于是可设直线的方程为．

由得．

因为在椭圆上，

所以，解得．

设两点坐标分别为，

则，，，．

所以．

所以的中点坐标为．

由四边形为菱形可知，点在直线上，

所以，解得．

所以直线的方程为，即．

（Ⅱ）因为四边形为菱形，且，

所以．

所以菱形的面积．

由（Ⅰ）可得，

所以．

所以当时，菱形的面积取得最大值．

11、（2008湖北高考）如图，在以点为圆心，为直径的半圆中，

，是半圆弧上一点，，曲线是满足

为定值的动点的轨迹，且曲线过点.

（Ⅰ）建立适当的平面直角坐标系，求曲线的方程；

（Ⅱ）设过点的直线l与曲线相交于不同的两点、.

若△的面积不小于，求直线斜率的取值范围.

【解析】（Ⅰ）方法1：

以O为原点，AB、OD所在直线分别为x轴、y轴，建立平面直角坐标系，则A（-2，0），B（2，0），D（0,2）,P（），依题意得

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