含参数导数问题的三个基本讨论点.doc

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含参数导数问题的三个基本讨论点

导数是研究函数图像和性质的重要工具，自从导数进入高中数学教材以来，有关导数问题是每年高考的必考试题之一。

随着高考对导数考查的不断深入，含参数的导数问题又是历年高考命题的热点。

由于含参数的导数问题在解答时往往需要对参数进行讨论，因而它也是绝大多数考生答题的难点，具体表现在：

他们不知何时开始讨论、怎样去讨论。

对这一问题不仅高中数学教材没有介绍过，而且在众多的教辅资料中也难得一见，本文就来讨论这一问题，供大家参考。

一、求导后，考虑导函数为零是否有实根（或导函数的分子能否分解因式），从而引起讨论。

例1（2008年高考广东卷（理科）设，函数，

试讨论函数的单调性。

解：

。

考虑导函数是否有实根，从而需要对参数的取值进行讨论。

（一）若，则。

由于当时，无实根，而当时，有实根，

因此，对参数分和两种情况讨论。

（1）当时，在上恒成立，所以函数在上为增函数；

（2）当时，。

由，得，因为，所以。

由，得；由，得。

因此，当时，函数在上为减函数，在上为增函数。

（二）若，则。

由于当时，无实根，而当时，有实根，因此，对参数分和两种情况讨论。

（1）当时，在上恒成立，所以函数在上为减函数；

（2）当时，。

由，得；由，得。

因此，当时，函数在上为减函数，在上为增函数。

综上所述：

（1）当时，函数在上为减函数，在上为增函数，在上为减函数。

（2）当时，函数在上为增函数，在上为减函数。

（3）当时，函数在上为增函数，在上为减函数，在上为增函数。

二、求导后，导函数为零有实根（或导函数的分子能分解因式），但不知导函数为零的实根是否落在定义域内，从而引起讨论。

例2（2008高考浙江卷理科）已知是实数，函数

（Ⅰ）求函数的单调区间；

（Ⅱ）设为在区间上的最小值。

（）写出的表达式；（）求的取值范围，使得。

解：

（Ⅰ）函数的定义域为，，由得。

考虑是否落在导函数的定义域内，需对参数的取值分及两种情况进行讨论。

（1）当时，则在上恒成立，所以的单调递增区间为。

（2）当时，由，得；由，得。

因此，当时，的单调递减区间为，的单调递增区间为。

（Ⅱ）（）由第（Ⅰ）问的结论可知：

（1）当时，在上单调递增，从而在上单调递增，所以。

（2）当时，在上单调递减，在上单调递增，所以：

①当，即时，在上单调递减，在上单调递增，

所以。

②当，即时，在上单调递减，所以。

综上所述，

（）令。

①若，无解；

②若，由解得；

③若，由解得。

综上所述，的取值范围为。

三、求导后，导函数为零有实根（或导函数的分子能分解因式）,导函数为零的实根也落在定义域内，但不知这些实根的大小关系，从而引起讨论。

例3（2007年高考天津理科卷）已知函数，其中。

（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；

（Ⅱ）当时，求函数的单调区间与极值。

解：

（Ⅰ）当时，曲线在点处的切线方程为。

（Ⅱ）由于，所以。

由，得。

这两个实根都在定义域R内，但不知它们之间的大小。

因此，需对参数的取值分和两种情况进行讨论。

（1）当时，则。

易得在区间，内为减函数，在区间为增函数。

故函数在处取得极小值；函数在处取得极大值。

（2）当时，则。

易得在区间，内为增函数，在区间为减函数。

故函数在处取得极小值；函数在处取得极大值。

以上三点即为含参数导数问题的三个基本讨论点，在求解有关含参数的导数问题时，可按上述三点的顺序对参数进行讨论。

因此，对含参数的导数问题的讨论，还是有一定的规律可循的。

当然，在具体解题中，可能要讨论其中的两点或三点，这时的讨论就更复杂一些了，需要灵活把握。

例4（07高考山东理科卷改编）设函数，其中，求函数的极值点。

解：

由题意可得的定义域为，，的分母在定义域

上恒为正，方程是否有实根，需要对参数的取值进行讨论。

（1）当，即时，方程无实根或只有唯一根，所以

在上恒成立，则在上恒成立，所以函数在上单调递增，从而函数在上无极值点。

（2）当，即时，方程，即有两个不相等的实根：

。

这两个根是否都在定义域内呢？

又需要对参数的取值分情况作如下讨论：

（ⅰ）当时，，所以。

此时，与随的变化情况如下表：

0

递减

极小值

递增

由此表可知：

当时，有唯一极小值点。

（ⅱ）当时，，所以。

此时，与随的变化情况如下表：

递增

极大值

递减

极小值

递增

由此表可知：

当时，有一个极大值点和一个极小值点。

综上所述：

（1）当时，有唯一极小值点；

（2）当时，有一个极大值点和一个极小值点；

（3）当时，无极值点。

从以上诸例不难看出，在对含参数的导数问题的讨论时，只要把握以上三个基本讨论点，那么讨论就有了方向和切入点，即使问题较为复杂，讨论起来也会得心应手、层次分明，从而使问题迎刃而解。

（2010重庆文数）（19）（本小题满分12分）,（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问7分.）

已知函数（其中常数a,b∈R）,是奇函数.

（Ⅰ）求的表达式;

（Ⅱ）讨论的单调性，并求在区间[1,2]上的最大值和最小值.

（2010山东文数）（21）（本小题满分12分）已知函数

（I）当时，求曲线在点处的切线方程；（II）当时，讨论的单调性.

解：

（Ⅰ）当所以

因此，即曲线

又所以曲线

（Ⅱ）因为，

所以，

令

（1）当

所以，当，函数单调递减；

当时，，此时单调递

（2）当即，解得

①当时，恒成立，

此时，函数在（0，+∞）上单调递减；

②当

时，单调递减；

时，单调递增；

，此时，函数单调递减；

③当时，由于

时，，此时，函数单调递减；

时，，此时，函数单调递增。

综上所述：

当时，函数在（０，１）上单调递减；

函数在（１，＋∞）上单调递增；

当时，函数在（0，+∞）上单调递减；

当时，函数在（0，1）上单调递减；

函数在上单调递增；

函数上单调递减，

（2010山东理数）（22）（本小题满分14分）

已知函数.

（Ⅰ）当时，讨论的单调性；

（Ⅱ）设当时，若对任意，存在，使

，求实数取值范围.

解：

（Ⅰ）因为，

所以，

令，

①当时，恒成立，此时，函数在上单调递减；

②当，

时，，此时，函数单调递减；

时，此时，函数单调递增；

时，，此时，函数单调递减；

③当时，由于，

，,此时，函数单调递减；

时，，此时，函数单调递增.

综上所述：

0

（Ⅱ）因为a=，由（Ⅰ）知，=1，=3，当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增，所以在（0，2）上的最小值为。

由于“对任意，存在，使”等价于

“在上的最小值不大于在（0,2）上的最小值”（*）

又=，，所以

①当时，因为，此时与（*）矛盾

②当时，因为，同样与（*）矛盾

③当时，因为，解不等式8-4b，可得

综上，b的取值范围是。

（2010辽宁文数）（21）（本小题满分12分）已知函数.（Ⅰ）讨论函数的单调性；

（Ⅱ）设，证明：

对任意，.

解：

（Ⅰ）f（x）的定义域为（0,+），.

当a≥0时，＞0，故f（x）在（0,+）单调增加；

当a≤－1时，＜0,故f（x）在（0,+）单调减少；

当－1＜a＜0时，令＝0,解得x=.当x∈（0,）时,＞0；

x∈（，+）时，＜0,故f（x）在（0,）单调增加，在（，+）单调减少.

（Ⅱ）不妨假设x1≥x2.由于a≤－2,故f（x）在（0，+）单调减少.

所以等价于

≥4x1－4x2,

即f（x2）+4x2≥f（x1）+4x1.

令g（x）=f（x）+4x,则

+4

＝.

于是≤＝≤0.

从而g（x）在（0，+）单调减少，故g（x1）≤g（x2），

即　f（x1）+4x1≤f（x2）+4x2，故对任意x1,x2∈（0,+），.　　

（2010辽宁理数）（21）（本小题满分12分）已知函数

（I）讨论函数的单调性；

（II）（II）设.如果对任意，，求的取值范围。

解：

（Ⅰ）的定义域为（0，+∞）..

当时，＞0，故在（0，+∞）单调增加；

当时，＜0，故在（0，+∞）单调减少；

当-1＜＜0时，令=0，解得.

则当时，＞0；时，＜0.

故在单调增加，在单调减少.

（Ⅱ）不妨假设，而＜-1，由（Ⅰ）知在（0，+∞）单调减少，从而

，

等价于，①

令，则

①等价于在（0，+∞）单调减少，即.

从而故a的取值范围为（-∞，-2].

（2010北京理数）（18）（本小题共13分）已知函数（）=In（1+）-+（≥0）。

（Ⅰ）当=2时，求曲线=（）在点（1，

（1））处的切线方程；（Ⅱ）求（）的单调区间。

解：

（I）当时，，

由于，，所以曲线在点处的切线方程为

即

（II），.

当时，.所以，在区间上，；在区间上，.

故得单调递增区间是，单调递减区间是.

当时，由，得，

所以，在区间和上，；在区间上，

故得单调递增区间是和，单调递减区间是.

当时，故得单调递增区间是.

当时，，得，.

所以没在区间和上，；在区间上，

故得单调递增区间是和，单调递减区间是

（2010江苏卷）20、（本小题满分16分）

设是定义在区间上的函数，其导函数为。

如果存在实数和函数，其中对任意的都有>0，使得，则称函数具有性质。

（1）设函数，其中为实数。

（i）求证：

函数具有性质；（ii）求函数的单调区间。

（2）已知函数具有性质。

给定设为实数，

，，且，

若||<||，求的取值范围。

[解析]本小题主要考查函数的概念、性质、图象及导数等基础知识，考查灵活运用数形结合、分类讨论的思想方法进行探索、分析与解决问题的综合能力。

满分16分。

（1）（i）

∵时，恒成立，

∴函数具有性质；

（ii）（方法一）设，与的符号相同。

当时，，，故此时在区间上递增；

当时，对于，有，所以此时在区间上递增；

当时，图像开口向上，对称轴，而，

对于，总有，，故此时在区间上递增；

（方法二）当时，对于，

所以，故此时在区间上递增；

当时，图像开口向上，对称轴，方程的两根为：

，而

当时，，，故此时在区间上递减；同理得：

在区间上递增。

综上所述，当时，在区间上递增；

当时，在上递减；在上递增。

（2）（方法一）由题意，得：

又对任意的都有>0，

所以对任意的都有，在上递增。

又。

当时，，且，

综合以上讨论，得：

所求的取值范围是（0，1）。

（方法二）由题设知，的导函数，其中函数对于任意的都成立。

所以，当时，，从而在区间上单调递增。

①当时，有，

，得，同理可得，所以由的单调性知、，

从而有||<||，符合题设。

②当时，，

，于是由及的单调性知，所以||≥||，与题设不符。

③当时，同理可得，进而得||≥||，与题设不符。

因此综合①、②、③得所求的的取值范围是（0，1）。