北京市海淀区2018-2019学年高一上学期期末考试数学试题及参考答案.doc
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海淀区2018－2019高一年级期末统一考试
数学
2019.01
学校班级姓名成绩0
一、选择题：
本大题共8小题，每小题4分，共32分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
（1）已知集合，，则（）
（A） （B） （C） （D）
（2）已知向量，，且，则（）
（A） （B） （C） （D）
（3）下列函数中，既是奇函数又在上是增函数的是（）
（A） （B） （C） （D）
（4）命题，则是（）
（A） （B）
（C） （D）
（5）已知，，则（）
（A） （B） （C） （D）
（6）若角的终边经过点，则下列三角函数值恒为正的是（）
（A） （B） （C） （D）
（7）为了得到函数的图象，只需把函数的图象上的所有点（）
（A）向左平移个单位长度 （B）向左平移个单位长度
（C）向右平移个单位长度 （D）向右平移个单位长度
（8）如图，在平面直角坐标系中，角以为始边，终边与单位圆相交于点．过点的圆的切线交轴于点，点的横坐标关于角的函数记为．则下列关于函数的说法正确的是（）
（A）的定义域是
（B）的图象的对称中心是
（C）的单调递增区间是
（D）对定义域内的均满足
二、填空题：
本大题共6小题，每小题4分，共24分，把答案填在题中横线上．
（9）已知，则．
（10）已知，，则______；______．
（11）已知集合，，集合满足，．则一个满足条件的集合是．
（12）已知是定义域为的偶函数，当时，，则不等式的解集是．
（13）如图，扇形中，半径为1，的长为2，则所对的圆心角的大小为弧度；若点是上的一个动点，则当取得最大值时，．
（14）已知函数
（Ⅰ）若函数没有零点，则实数的取值范围是________；
（Ⅱ）称实数为函数的包容数，如果函数满足对任意，都存在，使得．
在①；②；③；④；⑤中，函数的包容数是________．（填出所有正确答案的序号）
三、解答题：
本大题共4小题，共44分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
（15）（本小题共11分）
已知函数．
（Ⅰ）求的最小正周期；
（Ⅱ）求的单调递增区间；
（Ⅲ）在给定的坐标系中作出函数的简图，并直接写出函数在区间上的取值范围．
（16）（本小题共10分）
已知函数，存在不等于1的实数使得．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）判断函数在上的单调性，并用单调性定义证明；
（Ⅲ）直接写出与的大小关系．
（17）（本小题共11分）
如图，在四边形中，，，，且．
（Ⅰ）用表示；
（Ⅱ）点在线段上，且，求的值．
（18）（本小题共12分）
设函数定义域为，对于区间，如果存在，，使得，则称区间为函数的ℱ区间．
（Ⅰ）判断是否是函数的ℱ区间；
（Ⅱ）若是函数（其中）的ℱ区间，求的取值范围；
（Ⅲ）设为正实数，若是函数的ℱ区间，求的取值范围．
附加题：
（本题满分5分。
所得分数可计入总分，但整份试卷得分不超过100分）
声音靠空气震动传播，靠耳膜震动被人感知．声音可以通过类似于图①和图②的波形曲线来描述，图①和图②是一位未成年女性和一位老年男性在说“我爱中国”四个字时的声波图，其中纵坐标表示音量（单位：
50分贝），横坐标代表时间（单位：
秒）．
①②
声音的音调由其频率所决定，未成年女性的发声频率大约为老年男性发声频率的2倍．下面的图③和图④依次为上面图①和图②中相同读音处的截取的局部波形曲线，为了简便起见，在截取时局部音量和相位做了调整，使得二者音量相当，且横坐标从0开始．已知点位于图④中波形曲线上．
③④
（Ⅰ）描述未成年女性声音的声波图是_____；（填写①或②）
（Ⅱ）请你选择适当的函数模型，来模仿图④中的波形曲线：
___________________________（函数模型中的参数取值保留小数点后2位）．
高一年级期末统一练习
数学
参考答案及评分标准2019.01
一、选择题：
本大题共8小题，每小题4分，共32分．
题号
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
（7）
（8）
答案
A
D
B
C
D
B
A
B
二、填空题：
本大题共6小题，每小题4分，共24分．
（9）（10）；（11）（或或）
（12）或（13）；0（14）或；②③
注：
两空的题，每空2分；（12）题对一半（只答出，或），给2分；（14）题第一空，答对一半给1分，第二空，有错选，此空得0分，若只少选一个给1分。
三、解答题：
本大题共4小题，共44分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
（15）（本小题满分11分）
解：
（Ⅰ）．……………………2分
（Ⅱ）由，得……………………4分
，．
所以函数的单调递增区间是：
，．……………………6分
（Ⅲ）函数的简图如图所示．
……………………8分
函数在区间上的取值范围是．
……………………11分
注：
中每一个端点正确给1分，括号正确1分。
（16）（本小题满分10分）
解：
（Ⅰ）因为实数使得，
所以，……………………1分
即．
因为，
所以，即．……………………3分
经检验，满足题意，所以．
（Ⅱ）函数在上单调递增，证明如下：
……………………4分
任取，，当时，．
所以．……………………6分
所以……………………7分
，即．
所以函数在上单调递增．……………………8分
（Ⅲ）当时，；
当时，．……………………10分
注：
直接答，给2分；若只有，给1分。
（17）（本小题满分11分）
（Ⅰ）因为，
所以．……………………1分
因为，
所以……………………3分
．……………………5分
（Ⅱ）因为，
所以．……………………6分
因为，
所以点共线．
因为，
所以．
以为坐标原点，所在的直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系．
因为，，，
所以．
所以，．……………7分
因为点在线段上，且，
所以．……………………8分
所以．……………………9分
因为，
所以．……………………11分
（18）（本小题满分12分）
解：
（Ⅰ）不是函数的ℱ区间，理由如下：
……………………1分
因为对，，
所以．……………………2分
所以均有，
即不存在，，使得．
所以不是函数的ℱ区间．………………………3分
（Ⅱ）由是函数（其中）的ℱ区间，可知
存在，，使得．
所以．……………………4分
因为
所以，即．……………………5分
又因为且，
所以．……………………6分
（Ⅲ）因为是函数的ℱ区间，
所以存在，，使得．
所以……………………7分
所以存在，使得
不妨设．又因为，
所以．
所以．
即在区间内存在两个不同的偶数．……………………8分
①当时，区间的长度，
所以区间内必存在两个相邻的偶数，故符合题意．……………………9分
②当时，有，
所以．
（i）当时，有即．
所以也符合题意．……………………10分
（ii）当时，有即．
所以符合题意．
（iii）当时，有即此式无解．
综上所述，的取值范围是．……………………12分
附加题
（Ⅰ）②……………………2分
（Ⅱ）（答案不唯一）……………………5分
注：
对于其它正确解法，相应给分．
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