几类数列典型例题分析2013.10.doc

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平邑实验中学高三复习阅读材料数列典型题目

几类数列典型例题分析

高考风向标：

数列的概念．等差数列及其通项公式、前n项和公式；等比数列及其通项公式、前n项和公式．数学归纳法及其应用．通项与前n项和之间的关系是高考常考的热点内容，递推数列在各地的高考中闪亮登场．

典型题选讲：

例１若数列{an}满足若，则的值（）

A．B．C．D．

讲解　逐步计算，可得,

这说明数列{an}是周期数列，而,所以．应选B．

点评分段数列问题是一种新问题，又涉及到周期数列，显示了以能力立意，题活而不难的特色．

例2　设数列{an}前n的项和为Sn，且其中m为常数，

（1）求证：

{an}是等比数列；

（2）若数列{an}的公比满足q=f（m）且，为等差数列，并求．

讲解

（1）由，得

两式相减，得是等比数列．

点评　为了求数列的通项，用取＂倒数＂的技巧，得出数列的递推公式，从而将其转化为等差数列的问题．

例3如图,一粒子在区域上运动,在第一秒内它从原点运动到点,接着按图中箭头所示方向在x轴、y轴及其平行方向上运动，且每秒移动一个单位长度．

（1）设粒子从原点到达点时，所经过的时间分别为，试写出的通相公式；

（2）求粒子从原点运动到点时所需的时间；

（3）粒子从原点开始运动，求经过2004秒后，它所处的坐标．

讲解　

（1）由图形可设，

当粒子从原点到达时，有

…　　　　　　　　　…

∴＝,.,．

,即.

（2）有图形知，粒子从原点运动到点时所需的时间是到达点所经过得时间再加（44－16）＝28秒，所以秒．

（3）由2004，解得，取最大得n=44,

经计算，得＝1980<2004，从而粒子从原点开始运动，经过1980秒后到达点，再向左运行24秒所到达的点的坐标为（20，44）．

点评　从起始项入手，逐步展开解题思维．由特殊到一般，探索出数列的递推关系式，这是解答数列问题一般方法，也是历年高考命题的热点所在．

例4　已知数列的前项和满足.

（1）写出数列的前三项；

（2）求数列的通项公式；

（3）证明：

对任意的整数，有.

讲解　（１）为了计算前三项的值，只要在递推式中，对取特殊值，就可以消除解题目标与题设条件之间的差异．

　由由

由

（２）为了求出通项公式，应先消除条件式中的．事实上

当时，有

即有　从而　

　　　……

接下来，逐步迭代就有

经验证a1也满足上式，故知

其实，将关系式和课本习题作联系，容易想到：

这种差异的消除，只要对的两边同除以，便得　　　　　．令就有，于是，

这说明数列是等比数列，公比　首项，从而，得

　　，即　，

故有

（３）由通项公式得当且n为奇数时，

当为偶数时，

当为奇数时，为偶数，可以转化为上面的情景

故任意整数m>4，有

点评　主要考查数列的通项公式，等比数列的前n项和以及不等式的证明．考查灵活运用数学知识分析问题和解决问题的能力．当中的第2小题，显然与课本上的问题有着相同的本质．而第３小题又有着明显的高等数学的背景，体现了知识与技能的交汇，方法与能力的提升，显示了较强的选拔功能．