二倍角及半角的正弦余弦和正切.doc

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高一年级数学

第6课时课题：

二倍角及半角的正弦、余弦和正切

【教学目标】

（1）掌握三角比相关公式及其应用；

（2）掌握解决相关题型、题目.

【教学重难点】

理解并熟练掌握几种三角比相关公式及其应用；

【知识点归纳】

二倍角的正弦：

二倍角的余弦：

二倍角的正切：

【例题解析】

例1、用角的三角比表示下列各式：

（1）

（2）（3）

例2、按要求计算：

（1）用表示

（2）用表示

二倍角的正弦、余弦、正切

例1、（公式巩固性练习）求值：

1．sin22°30’cos22°30’=

2．

3．

4．

例2、1．

2．

3．

4．

例3、若tanq=3，求sin2q-cos2q的值。

例4、条件甲：

，条件乙：

，那么甲是乙的什么条件？

例5、已知，求sin2a，cos2a，tan2a的值。

二倍角公式的应用

例1、（板演或提问）化简下列各式：

1．2．

3．2sin2157．5°-1=

4．

5．cos20°cos40°cos80°=

例2、求证：

[sinq（1+sinq）+cosq（1+cosq）]×[sinq（1-sinq）+cosq（1-cosq）]=sin2q

例3、求函数的值域。

例4、求证：

的值是与a无关的定值。

例5、化简：

例6、求证：

例7、利用三角公式化简：

续二倍角公式的应用，推导万能公式

一、半角公式

在倍角公式中，“倍角”与“半角”是相对的

例1、求证：

二、万能公式

例1、求证：

例2、已知，求3cos2q+4sin2q的值。

补充：

1．已知sina+sinb=1，cosa+cosb=0，试求cos2a+cos2b的值。

2．已知，，tana=，tanb=，求2a+b的大小。

3．已知sinx=，且x是锐角，求的值。

4．下列函数何时取得最值？

最值是多少？

1°

2°

3°

5．若a、b、g为锐角，求证：

a+b+g=

6．求函数在上的最小值。

倍角公式，推导“和差化积”及“积化和差”公式

例1、已知，，tana=，tanb=，求2a+b

例2、已知sina-cosa=，，求和tana的值

【拓展解析】

积化和差公式的推导

sin（a+b）+sin（a-b）=2sinacosbÞsinacosb=[sin（a+b）+sin（a-b）]

sin（a+b）-sin（a-b）=2cosasinbÞcosasinb=[sin（a+b）-sin（a-b）]

cos（a+b）+cos（a-b）=2cosacosbÞcosacosb=[cos（a+b）+cos（a-b）]

cos（a+b）-cos（a-b）=-2sinasinbÞsinasinb=-[cos（a+b）-cos（a-b）]

这套公式称为三角函数积化和差公式，熟悉结构，不要求记忆，它的优点在于将“积式”化为“和差”，有利于简化计算。

（在告知公式前提下）

例1、求证：

sin3asin3a+cos3acos3a=cos32a

和差化积公式的推导

若令a+b=q，a-b=φ，则，代入得：

∴

这套公式称为和差化积公式，其特点是同名的正（余）弦才能使用，它与积化和差公式相辅相成，配合使用。

例1、已知cosa-cosb=，sina-sinb=，求sin（a+b）的值

综合训练题

1、函数的最小值。

（辅助角）

2、已知（角变换）

3、计算：

（1+）tan15°-（公式逆用）

4、已知sin（45°-a）=，且45°

（角变换）

5、已知q是三角形中的一个最小的内角，且，求a的取值范围。

6、试求函数的最大值和最小值，若呢？

7、已知tana=3tan（a+b），，求sin（2a+b）的值。

基础练习

1．已知，则。

2．。

3．已知，则。

4．若，则。

5．求证：

。

6．已知，求的值。

7．若，则。

8．若，则。

9．已知，求。

10．已知，求的值。

半角的正弦、余弦和正切公式

应用举例

例1、用表示下列各式：

（1）；

（2）；（3）。

例2、用表示下列各式：

（1）；

（2）；（3）。

基础练习

1．已知，则；。

2．若，则。

3．计算。

4．已知，则。

5．若，则（）

A．B．C．D．

【附加题】

（1）求证：

（2）求值：

（3）求证：

（4）化简：

（5）设，求的值？

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