届高考数学二轮复习文数数列推理与证明专题四 第3讲学案含答案全国通用.docx

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届高考数学二轮复习文数数列推理与证明专题四第3讲学案含答案全国通用

第3讲　数列的综合问题

1.数列的综合问题，往往将数列与函数、不等式结合，探求数列中的最值或证明不等式．

2．以等差数列、等比数列为背景，利用函数观点探求参数的值或范围．

3．将数列与实际应用问题相结合，考查数学建模和数学应用能力．

热点一　利用Sn，an的关系式求an

1．数列{an}中，an与Sn的关系

an＝

2．求数列通项的常用方法

（1）公式法：

利用等差（比）数列求通项公式．

（2）在已知数列{an}中，满足an＋1－an＝f（n），且f

（1）＋f

（2）＋…＋f（n）可求，则可用累加法求数列的通项an.

（3）在已知数列{an}中，满足＝f（n），且f

（1）·f

（2）·…·f（n）可求，则可用累乘法求数列的通项an.

（4）将递推关系进行变换，转化为常见数列（等差、等比数列）．

例1　（2017·运城模拟）正项数列{an}的前n项和为Sn，满足a＋3an＝6Sn＋4.

（1）求{an}的通项公式；

（2）设bn＝2nan，求数列{bn}的前n项和Tn.

解　

（1）由a＋3an＝6Sn＋4，①

知a＋3an＋1＝6Sn＋1＋4，②

由②－①，得

a－a＋3an＋1－3an＝6Sn＋1－6Sn＝6an＋1，

即（an＋1＋an）（an＋1－an－3）＝0，

∵an>0，∴an＋1＋an>0，

∴an＋1－an－3＝0，即an＋1－an＝3.

又a＋3a1＝6S1＋4＝6a1＋4，

即a－3a1－4＝（a1－4）（a1＋1）＝0，∵an>0，∴a1＝4，

∴{an}是以4为首项，以3为公差的等差数列，

∴an＝4＋3（n－1）＝3n＋1.

（2）bn＝2nan＝（3n＋1）·2n，

故Tn＝4·21＋7·22＋10·23＋…＋（3n＋1）·2n，

2Tn＝4·22＋7·23＋10·24＋…＋（3n＋1）·2n＋1，

∴－Tn＝4·21＋3·22＋3·23＋…＋3·2n－（3n＋1）·2n＋1

＝21＋3（2＋22＋23＋…＋2n）－（3n＋1）·2n＋1

＝21＋3·－（3n＋1）·2n＋1

＝－（3n－2）·2n＋1－4，

∴Tn＝（3n－2）·2n＋1＋4.

思维升华　给出Sn与an的递推关系，求an，常用思路：

一是利用Sn－Sn－1＝an（n≥2）转化为an的递推关系，再求其通项公式；二是转化为Sn的递推关系，先求出Sn与n之间的关系，再求an.

跟踪演练1　（2017届湖南省娄底市二模）设数列{an}的前n项和Sn＝2n＋1－2，数列{bn}满足bn＝＋22n－1.

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）求数列{bn}的前n项和Tn.

解　

（1）当n＝1时，a1＝S1＝2，

由Sn＝2n＋1－2，得Sn－1＝2n－2（n≥2），

∴an＝Sn－Sn－1＝2n＋1－2n＝2n（n≥2），

又a1也符合，∴an＝2n（n∈N*）．

（2）bn＝＋22n－1

＝＋22n－1

＝＋22n－1，

Tn＝＋（2＋23＋25＋…＋22n－1）

＝＋

＝－－.

热点二　数列与函数、不等式的综合问题

数列与函数的综合问题一般是利用函数作为背景，给出数列所满足的条件，通常利用点在曲线上给出Sn的表达式，还有以曲线上的切点为背景的问题，解决这类问题的关键在于利用数列与函数的对应关系，将条件进行准确的转化．数列与不等式的综合问题一般以数列为载体，考查最值问题，不等关系或恒成立问题．

例2　设fn（x）＝x＋x2＋…＋xn－1，x≥0，n∈N，n≥2.

（1）求fn′

（2）；

（2）证明：

fn（x）在内有且仅有一个零点（记为an），且0＜an－＜n.

（1）解　方法一　由题设fn′（x）＝1＋2x＋…＋nxn－1，

所以fn′

（2）＝1＋2×2＋…＋（n－1）2n－2＋n·2n－1，①

则2fn′

（2）＝2＋2×22＋…＋（n－1）2n－1＋n·2n，②

由①－②得，－fn′

（2）＝1＋2＋22＋…＋2n－1－n·2n

＝－n·2n＝（1－n）2n－1，

所以fn′

（2）＝（n－1）2n＋1.

方法二　当x≠1时，fn（x）＝－1，

则fn′（x）＝，

可得fn′

（2）＝

＝（n－1）2n＋1.

（2）证明　因为fn（0）＝－1＜0，

fn＝－1＝1－2×n

≥1－2×2＞0，

所以fn（x）在内至少存在一个零点，

又f′n（x）＝1＋2x＋…＋nxn－1＞0，

所以fn（x）在内单调递增，

因此fn（x）在内有且仅有一个零点an，

由于fn（x）＝－1，

所以0＝fn（an）＝－1，

由此可得an＝＋a＞，

故＜an＜，

所以0＜an－＝a＜×n＋1＝n.

思维升华　解决数列与函数、不等式的综合问题要注意以下几点

（1）数列是一类特殊的函数，函数定义域是正整数，在求数列最值或不等关系时要特别重视．

（2）解题时准确构造函数，利用函数性质时注意限制条件．

（3）不等关系证明中进行适当的放缩．

跟踪演练2　（2016届浙江省宁波市期末）已知数列{an}满足a1＝2，an＋1＝2（Sn＋n＋1）（n∈N*），令bn＝an＋1.

（1）求证：

{bn}是等比数列；

（2）记数列{nbn}的前n项和为Tn，求Tn；

（3）求证：

－<＋＋＋…＋<.

（1）证明　a1＝2，a2＝2（2＋2）＝8，

an＋1＝2（Sn＋n＋1）（n∈N*）

an＝2（Sn－1＋n）（n≥2），

两式相减，得an＋1＝3an＋2（n≥2）．

经检验，当n＝1时上式也成立，

即an＋1＝3an＋2（n≥1）．

所以an＋1＋1＝3（an＋1），即bn＋1＝3bn，且b1＝3.

故{bn}是等比数列．

（2）解　由

（1）得bn＝3n.

Tn＝1×3＋2×32＋3×33＋…＋n×3n，

3Tn＝1×32＋2×33＋3×34＋…＋n×3n＋1，

两式相减，得

－2Tn＝3＋32＋33＋…＋3n－n×3n＋1

＝－n×3n＋1，

化简得Tn＝×3n＋.

（3）证明　由＝>，

得＋＋＋…＋>＋＋…＋

＝＝－×.

又＝＝

<

＝，

所以＋＋＋…＋

<＋

＝＋

＝＋－×<，

故－<＋＋＋…＋<.

热点三　数列的实际应用

用数列知识解相关的实际问题，关键是合理建立数学模型——数列模型，弄清所构造的数列是等差模型还是等比模型，它的首项是什么，项数是多少，然后转化为解数列问题．求解时，要明确目标，即搞清是求和，还是求通项，还是解递推关系问题，所求结论对应的是解方程问题，还是解不等式问题，还是最值问题，然后进行合理推算，得出实际问题的结果．

例3　自从祖国大陆允许台湾农民到大陆创业以来，在11个省区设立了海峡两岸农业合作试验区和台湾农民创业园，台湾农民在那里申办个体工商户可以享受“绿色通道”的申请、受理、审批一站式服务，某台商第一年年初到大陆就创办了一座120万元的蔬菜加工厂M，M的价值在使用过程中逐年减少，从第二年到第六年，每年年初M的价值比上年年初减少10万元，从第七年开始，每年年初M的价值为上年年初的75%.

（1）求第n年年初M的价值an的表达式；

（2）设An＝，若An大于80万元，则M继续使用，否则须在第n年年初对M更新，证明：

必须在第九年年初对M更新．

（1）解　当n≤6时，数列{an}是首项为120，公差为－10的等差数列，故an＝120－10（n－1）＝130－10n，

当n≥7时，数列{an}从a6开始的项构成一个以a6＝130－60＝70为首项，以为公比的等比数列，

故an＝70×n－6，

所以第n年年初M的价值an＝

（2）证明　设Sn表示数列{an}的前n项和，由等差数列和等比数列的求和公式，得

当1≤n≤6时，Sn＝120n－5n（n－1），

An＝＝120－5（n－1）＝125－5n≥95>80，

当n≥7时，由于S6＝570，

故Sn＝570＋（a7＋a8＋…＋an）＝570＋70××4×＝780－210×n－6.

因为{an}是递减数列，所以{An}是递减数列．

因为An＝＝，

A8＝≈82.734>80，

A9＝≈76.823<80，

所以必须在第九年年初对M更新．

思维升华　常见数列应用题模型的求解方法

（1）产值模型：

原来产值的基础数为N，平均增长率为p，对于时间n的总产值y＝N（1＋p）n.

（2）银行储蓄复利公式：

按复利计算利息的一种储蓄，本金为a元，每期的利率为r，存期为n，则本利和y＝a（1＋r）n.

（3）银行储蓄单利公式：

利息按单利计算，本金为a元，每期的利率为r，存期为n，则本利和y＝a（1＋nr）．

（4）分期付款模型：

a为贷款总额，r为年利率，b为等额还款数，则b＝.

跟踪演练3　一弹性小球从100m高处自由落下，每次着地后又跳回原来高度的再落下，设它第n次着地时，共经过了Sn，则当n≥2时，有（　　）

A．Sn的最小值为100B．Sn的最大值为400

C．Sn<500D．Sn≤500

答案　C

解析　第一次着地时，经过了100m；第二次着地时共经过了m；第三次着地时共经过了m；…；以此类推，第n次着地时共经过了；所以Sn＝100＋100××2＋100×2×2＋…＋100×n－1×2＝100＋＝100＋400，显然Sn是关于n的单调增函数，所以当n＝2时，Sn取得最小值S2＝，且Sn<100＋400＝500，故选C.

真题体验

1．（2016·浙江）设数列{an}的前n项和为Sn.若S2＝4，an＋1＝2Sn＋1，n∈N*，则a1＝______，S5＝______.

答案　1　121

解析　由解得a1＝1，a2＝3，

当n≥2时，由已知可得

an＋1＝2Sn＋1，①

an＝2Sn－1＋1，②

由①－②，得an＋1－an＝2an，∴an＋1＝3an，又a2＝3a1，

∴{an}是以a1＝1为首项，以q＝3为公比的等比数列．

∴S5＝＝121.

2．（2017·山东）已知{xn}是各项均为正数的等比数列，且x1＋x2＝3，x3－x2＝2.

（1）求数列{xn}的通项公式；

（2）如图，在平面直角坐标系xOy中，依次连接点P1（x1,1），P2（x2,2），…，Pn＋1（xn＋1，n＋1）得到折线P1P2…Pn＋1，求由该折线与直线y＝0，x＝x1，x＝xn＋1所围成的区域的面积Tn.

解　

（1）设数列{xn}的公比为q.

由题意得

所以3q2－5q－2＝0，

由已知得q＞0，

所以q＝2，x1＝1.

因此数列{xn}的通项公式为xn＝2n－1.

（2）过P1，P2，…，Pn＋1向x轴作垂线，垂足分别为Q1，Q2，…，Qn＋1.

由

（1）得xn＋1－xn＝2n－2n－1＝2n－1，

记梯形PnPn＋1Qn＋1Qn的面积为bn，

由题意得bn＝×2n－1＝（2n＋1）×2n－2，

所以Tn＝b1＋b2＋…＋bn

＝3×2－1＋5×20＋7×21＋…＋（2n－1）×2n－3＋（2n＋1）×2n－2，①

则2Tn＝3×20＋5×21＋7×22＋…＋（2n－1）×2n－2＋（2n＋1）×2n－1，②

由①－②，得

－Tn＝3×2－1＋（2＋22＋…＋2n－1）－（2n＋1）×2n－1

＝＋－（2n＋1）×2n－1.

所以Tn＝.

押题预测

已知数列{an}的前n项和Sn满足关系式Sn＝kan＋1，k为不等于0的常数．

（1）试判断数列{an}是否为等比数列；

（2）若a2＝，a3＝1.

①求数列{an}的通项公式及前n项和Sn的表达式；

②设bn＝log2Sn，数列{cn}满足cn＝＋bn＋2·2bn，数列{cn}的前n项和为Tn，当n>1时，求使Tn