不等式的典型例题解析.doc

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不等式的典型例题解析

【例1】 解不等式：

（1）2x3-x2-15x＞0；

（2）（x+4）（x+5）2（2-x）3＜0．

【分析】 如果多项式f（x）可分解为n个一次式的积，则一元高次不等式f（x）＞0（或f（x）＜0）可用“区间法”求解，但要注意处理好有重根的情况．

解：

（1）原不等式可化为

x（2x+5）（x-3）＞0

顺轴．然后从右上开始画曲线顺次经过三个根，其解集如图（5－1）的阴影部分．

（2）原不等式等价于

（x+4）（x+5）2（x-2）3＞0

∴原不等式解集为｛x|x＜-5或-5＜x＜-4或x＞2｝．

【说明】 用“区间法”解不等式时应注意：

①各一次项中x的系数必为正；②对于偶次或奇次重根可参照

（2）的解法转化为不含重根的不等式，也可直接用“区间法”，但注意“奇穿偶不穿”．其法如图（5－2）．

【例2】 解下列不等式：

变形

解：

（1）原不等式等价于

用“区间法”

∴原不等式解集为（-∞，-2）∪〔-1，2）∪〔6，+∞）．

用“区间法”

【例3】 解下列不等式：

【分析】 无理不等式的基本解法是转化为有理不等式（组）后再求解，但要注意变换的等价性．

解：

（1）原不等式等价于

（2）原不等式等价于

∴原不等式解集为｛x|x≥5｝．

（3）原不等式等价于

【说明】 解无理不等式需从两方面考虑：

一是要使根式有意义，即偶次根号下被开数大于或等于零；二是要注意只有两边都是非负时，两边同时平方后不等号方向才不变．此外，有的还有其他解法，如上例（3）．

原不等式化为

t2-2t-3＜0（t≥0）解得0≤t＜3

【说明】 有些题目若用数形结合的方法将更简便．

【例4】 解下列不等式：

解：

（1）原不等式等价于

令2x=t（t＞0），则原不等式可化为

（2）原不等式等价于

∴原不等式解集为（-1，2〕∪〔3，6）．

【说明】 解对数不等式需注意各真数必为正数．在利用对数性质

价性，否则会出现增解或漏解．

【例5】 解不等式|x2-4|＜x+2．

【分析】 解此题关键是去绝对值符号，而去绝对值符号主要利用

解：

原不等式等价于-（x+2）＜x2-4＜x+2．

故原不等式解集为（1，3）．

这是解含绝对值不等式常用方法．

【例6】 解下列不等式：

换底公式先化为同底对数．不等式

（2）中先解绝对值不等式，再解无理不等式．

解：

（1）原不等式等价于

log2（2x-1）〔-log2（2x-1）〕＞-2

令log2（2x-1）=t，则上述不等式变为t（-1-t）＞-2

即 t2+t-2＜0．

解之，得 -2＜t＜1，从而-2＜log2（2x-1）＜1．

【例7】 解不等式log2x2-1（3x2+2x-1）＜1．

【分析】 题目中未知数出现在底数部分，就必须对底数大于零还是位于零与1之间进行讨论．

解：

原不等式等价于

【说明】 当时数底数含有字母或未知数时，应对其进行分类讨论．

【例8】 解关于x不等式a2x+1＜ax+2+ax-2，其中a＞0且a≠1．

【分析】 题目通过变形可看作是关于ax的二次不等式．对于底数a分a＞1或0＜a＜1两种情况讨论．

解：

原不等式等价于

（ax）2-（a2+a-2）ax+1＜0

（*）

当a＞1时，a2＞a-2，于是（*）式得

a-2＜ax＜a2，即-2＜x＜2．

当0＜a＜1时，a-2＞a2，于是（*）式得

a2＜ax＜a-2，即-2＜x＜2．

综上所述，原不等式解集为（-2，2）．

【说明】 本题在化成关于ax的二次不等式后，解题关键是利用a2·a-2=1进行因式分解．

【例9】 设a＞0；a≠1解关于x的不等式xlogax＜a3x2．

【分析】 这是指数与对数的混合型不等式，可采用“取对数法”．在两边取对数的时候用到对数函数的单调性，因此必须对a进行讨论后再取对数．

解：

当a＞1时，原不等式两边取对数，得

当0＜a＜1时，原不等式等价于

①

（1）当a＞1时，①式等价于

②

（2）当0＜a＜1时，②等价于

③